配套2014青岛版数学八年级上册学案

青岛版八年级数学上册导学案

第1章 全等三角形

§1.1 全等三角形

【学习目标】

1、通过探究知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素，会用符号正

确地表示两个三角形全等.

2、知道全等三角形的性质，并会进行应用.

3、能熟练找出两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边．

【学习重、难点】

全等三角形的性质；找全等三角形的对应边、对应角. 【学习过程】

活动一 知道全等形、全等三角形及对应元素等一系列概念，会用符号表示全等 1. .观看课本美丽的图片并阅读课本P4—5的部分，思考并回答下列问题： 能够完全重合的两个平面图形叫做 大小

。

，它们的形状

2将三角板按在纸上，沿外框画出两个三角形，把这两个三角形裁下来后放在一起，观察它们能否重合。

(1) 什么是全等三角形？ 。 你能举出生活中全等形的实例吗？

(2)全等三角形有哪些对应元素？怎样记两个三角形全等？在书写时应注意什么？

1

(3)小组交流：找对应边和对应角你有什么经验？

活动二 探究全等三角形的性质

1．利用三角形纸片做如下变换：将△ABC沿直线BC平移得△DEF（图甲）；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC（图乙）；将△ABC绕点A旋转180°得△AED（图丙）．

BCADADAB丙E

2.思考：各图中的两个三角形全等吗？为什么？如果全等把它们分别表示出来.（注意书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

3.寻找上图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

独立完成后，小组交流并归纳出全等三角形的性质： ． 活动三 知识应用

1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

BC甲EF乙DCCO2

BAD

2.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

AB

DEC（提示：对应边和对应角一定在两个全等三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．）

3．已知△ABE≌△ACD，AB=7cm， AD=4cm，∠A=40o，∠B=30o，求EC的长度和∠ADC的大小.

活动四 当堂检测

1、如图，△ABC≌△DBC，∠A=80°，∠ABC=30°， 则∠DCB=

度。

3

2、如图，已知△ABC与△DCB是两个全等三角形，且AB=7cm，BD=5cm， ∠A=60°，求线段DC、AC的长和∠D的大小。

【自我反思】

这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？

4

§1.2 怎样判定三角形全等

第一课时

【学习目标】

1、知识与技能 掌握“边角边”这一三角形全等的判定方法

2、过程与方法 经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决一些简单的实际

问题

3．情感、态度与价值观 培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值 【学习重点】探究“边角边”这一判定方法，以及这一方法的应用。 【学习难点】让同学们了解三角形全等中“边边角”的辨析。 【学具准备】剪刀、三角板、直尺、长方形的纸片等 【学习过程】

（一）知识引桥 1、 什么叫全等三角形？ 2、 全等三角形有什么性质？

3 、若△ABC≌△DEF,点A与点D,点B与点E是对应点,试写出其中相等的线段和角.

问题1:在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,则△ABC和△DEF全等吗?

问题2: △ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗?请同学们完成下面的探究活动

5

（二）探究活动: （小组内合作交流）

1、只知道一条边相等的两个三角形一定全等吗？只知道一个角相等的两个三角形一定全等吗？

2、知道一条边及一个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两条边分别相等的两个三角形全等吗？

60° 60° 60° ①30?3cm30?3cm30?3cm

②30?50?30?50?

③4cm6cm4cm6cm

3、两个三角形中有三组对应相等的元素（边或角），会有哪几种可能的情况？ 在这些情况中,如果有两条边分别相等,再添上一个角对应相等,这两个三角形能全等吗？,

如图 在△ABC与△DEF中，BC=3cm，AC =2cm，∠C=60°,EF =3cm，DF=2cm，

6

∠F=60°,

△ABC与△DEF能全等吗？,

（若同时改变数值，两个三角形还能重合吗？）

由上面的探究活动猜想并归纳：

在两个三角形中,必须具备 对元素分别相等,才能保证两个三角形全等. 判定方法1:

的两个三角形全等.通常简写成 .

注意：在△ABC与△DEF中，若AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,观察△ABC与△DEF是否全等。为什么?

结论: . (三)学以致用

1. 如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC， 问题1：△ABC和△ADC全等吗？ 问题2：它们已经有了哪些元素对应相等？ 问题3：还缺什么条件？

7

2、如图，为了测量池塘边上A、B两点之间的距离，小亮设计了一个方案：先在平地上取一个能够直接到达A和B的点C，然后在射线AC上取一点D，使CD=CA，在射线BC上取一点E，使CE=CB，连接DE，那么线段DE的长就等于A、B两点之间的距离，你认为他的方案对吗？为什么？

（四）巩固练习

1、如图，已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件————，使得△ABC≌△ABD. A C B D 2、已知：AB=AD，AC=AE，△ABE和△ADC全等吗？为什么？

8

3、如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD 说明：△ABF≌ △DCE

本节课你的收获是什么？ 9

【自我反思】

第二课时

【学习目标】

1、掌握“ASA”这一三角形全等的判定方法，并能利用这些条件判别三角形是否全等。 2、经历“AAS”的探究过程，理解由“ASA”推出“AAS”，并会简单的运用“AAS”判定三角形全等。

3、通过学习进一步培养学生的合作交流能力和问题探究能力。 【学习重点】“ASA”这一判定方法的探究以及应用。

【学习难点】由“ASA”推导出“AAS”这一判定方法。并能简单运用。 【学具准备】剪刀、三角板、直尺、半圆仪、长方形的纸片等 【学习过程】

一、知识引桥

上节课我们学习了三角形的判定方法一“边角边”，这节课我们来研究两个三角形还可以具备哪些条件才全等呢?

二、 实验与探究

1、如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ 2、动手做一做

1）在纸片上画出△ABC和△A1B1C1，使∠B =∠B1，BC=B1C1，如果添一个条件∠C=∠C1，这时边BC与∠B、∠C什么关系？边B1C1与∠B1 、∠C1 呢？

2）剪下你画出的三角形，这两个三角形能重合吗？ 3、通过上面的实验,你能得到什么结论?与同学交流.

归纳： 三、学以致用

如图 已知∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，BC=EF，那么ΔABC与 ΔDEF全等吗？为什么？

10

四、交流与发现

1) 在纸片上画出△ABC和△A1B1C1，使∠B =∠B1，BC=B1C1，如果再添一个条件∠A=∠A1 ，这时边BC与∠A什么关系？边B1C1与∠A1 呢？

2) ∠C与∠C1相等吗？为什么？

3) 你能判定这两个三角形全等吗？为什么？（小组交流） 4) 由此你能得出什么结论？（小组讨论，尝试总结）

归纳： 知识应用：如图，在△ABD和△CBD中，已知∠A=∠C，再添加一个什么条件，就可以判定△ABD和△CBD全等？

五、巩固练习

1、在△ABC和△A1B1C1中，∠B =∠B1 ，∠C=∠C1 ，你能适当添加一个条件，使△ABC≌△A1B1C1吗？你有几种不同的添加方式？说明理由。

11

2、如图，已知∠1=∠2 ，∠3=∠4， △ABD和△ABC全等吗？为什么？

【自我反思】

本节课你的收获是什么？

【学习目标】

12

第三课时

1、掌握“SSS”这一三角形全等的判定方法，并能灵活运用“SSS”方法来判定三角形全

等。

2、了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性及生活中的实际应用。 3、培养学生的合作交流能力和发散思维能力。

【学习重点】“SSS”这一判定方法的探究以及应用。 【学习难点】用“SSS”判别方法来进行有关的推理论证。 【学具准备】小木条、图钉、直尺等 【学习过程】

一、知识引桥

小学时候我们就知道了三角形的稳定性这一特性，你想知道这一性质的原因吗？让

我们进行下面的实验探究来验证。

二、探究新知

探究：三角形全等的条件SSS

1、用三根木条制作一个三角形的架子?，在用四根木条钉一个四边形的架子?，分

别拉动架子?和?的边框，你有什么发现？（小组内交流）

2、如果再取与架子?的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形的架子?，这

两个三角形的架子形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形架子叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？（动手操作，实践交流）

3、通过以上实验，你能得出什么结论？（小组讨论，交流总结）

归纳： 同时，由实验我们又可得知：由于拥有对应相等三边的所有三角形将全等，所以只要三条边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，所以三角形具有稳定性，而四边形不具备这样的性质，四边形具有不稳定性。三角形稳定性和四边形的不稳定性在生活及生产实际中都很有用处。（联系实际，举例说明）

三、新知应用

1：如图，已知AD=CB，AB=CD，那么∠A=∠C吗？

13

为什么？

2、如图，已知AB=DE，BC=EF，AE=CF。 1）AC与EF相等吗？为什么？

2）指出 △ABC和△EDF中互相平行的边，并说明理由。

四、回顾与梳理

到今天为止，判定三角形的全等，我们有哪些方法了？写出简记法：

看一下有什么共同点？与同学交流一下。讨论：是不是任意三对元素对应相等，这两个三角形就全等？发表你的看法。判定三角形全等的条件是什么？

五、巩固练习

1、说明：（1）底边及一腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？

14

（2）两腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？ （3）一边相等的两个等边三角形全等吗？为什么？

2、如图，已知AB=CB，AD=CD，∠A与∠C相等吗？为什么？

【自我反思】

你对本节的学习有哪些收获，还有什么疑惑？

15

§1.3尺规作图

第一课时

【学习目标】

1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。

2、通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力。 3、通过画图，培养学生的作图能力及动手能力。

【学习重点】熟练掌握相等角的作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

【学习难点】作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

使用方法：先由学生自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成学案，

然后小组合作交流，让同学们进行展示，小组间点评，补充之后由老理由点拔。最后当堂检测，巩固知识。

【学习过程】 忆一忆：

前面我们学习了用直尺和圆规作一条线段，使它与已知线段相等，那么我们来回忆一下，是怎样用不带刻度的直尺和圆规作出线段AB=a ?

a 作法总结：_____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 学一学：

阅读教材，理解概念 学生阅读教材，并回答问题： （1）什么是尺规作图？ （2）什么是基本作图？

一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，前面我们学过的用尺规作一条线段

16

等于已知线段，这是一种基本作图，下面我们将再学习一种新的基本作图。

议一议：

如图，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠A′O′B′， 使∠A′O′B′=∠AOB。

作法：

(1)作射线O′A′.

(2)以点 ___为圆心，以 ____ 为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D. (3)以点 _____为圆心，以 ____长为半径画弧，交O′A′于点C′. (4)以点 _____为圆心，以 _____长为半径画弧，交前面的弧于点D′. (5)过点D′作射线 ______∠A′O′B′就是所求作的角. 想一想：

∠A′O′B′=∠AOB吗?如何验证?(小组交流) 【当堂检测】 做一做:

1.已知：线段AB和CD，求作线 段a,使a=AB-CD.

ACDB17

2.已知：钝角∠ABC，

求作：∠ABC′ 使∠ABC′=∠ABC .

BCA

【学后反思】

本节课你一定有很多收获,大家一起交流一下吧!

18

第二课时

【学习目标】

1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。

2、通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力。 3、通过画图，培养学生的作图能力及动手能力。

【学习重点】掌握如何作三角形，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

【学习难点】作图语言的准确应用，作图的规范与准确。 【学习过程】 忆一忆:

1、 前面我们已经学习了哪几种基本作图? 2、 你能说出这几种基本作图的作法吗？ 练一练;

1）、已知：如图，线段AB

求作：线段A`B`,使得A`B`=AB.

2）、 已知： ∠AOB。

求作： ∠A`O`B` 使∠A`O`B`=∠AOB。

ABABO19

议一议：

利用我们已经学过的基本作图，能不能构造三角形呢？三角形是由那些元素组成的？小组之间相互合作交流。

例、已知线段a,b,c

求作：ΔABC 使BC=a, AB=c, AC=b.

作法:____________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 想一想：

1、已知两边和它的夹角如何作三角形？ 2、已知两角和一边如何作三角形？ 对于1和2题学生自己探索、交流完成。 【当堂检测】 做一做：

1、 如图，已知线段a，求作边长等于a的等边三角形。

abca20

2、已知：线段a和h

求作：等腰△ABC，使底边BC=a，BC边上的高为h

【能力提升】

1、你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？小组合作并写出作法。

【学后反思】

通过本节课的学习，你有哪些收获？

ahab

21

第三课时

【学习目标】 【知识与技能】

通过教学使学生在教师的引导下探索归纳利用基本作图作“已知两角及其夹边求作三角形”与“已知两角及其中一角的对边求作三角形”的步骤方法。

【过程与方法】

学会运用程序化的思想方法探索作法和步骤． 培养认真、细心、准确的学习习惯， 发展学生的非智力因素． 提高学生的操作实践能力， 并获得成功的体验。

【情感态度与价值观】

通过作图训练，使学生体验数学的应用价值。提高学习数学的兴趣。 重点：根据已知两角和夹边作三角形。难点：正确写出作法. 【教学过程】

一 创设情境，导入新课

1、如图：已知∠α，作∠AOB=∠α(不写作法，保留作图痕迹).

α

2.如图，是一块建筑工地，三角形ABC中，由于AB，AC边被障碍物阻挡了，不方便测量，因此想要画出这块三角形地的平面图，无法用已知三边作三角形的方法，你能想出别办法吗？

方法：测量BC，∠B，∠C的大小，然后做一个三角形使它两角等于∠B，∠C,夹边等于BC。

二 、合作交流，探究新知。

ABC（1）上面问题其实就是已利用基本作图已知两角及夹边作三角形问题。与同学交流。

22

已知：∠α，∠β，线段a。

求作：△ABC,使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β.

αa作法：

β

（2）利用基本作图，如果已知两角及其中一角的对边，例如已知∠α，∠β和线段c,如何作△ABC，使∠B=∠α，∠C=∠β,AB=c？与同学交流。

（3）请用尺规完成（2）中的作图，并写出作法。

三、挑站自我

已知两边及其中一边的对角，例如已知∠β，线段b和 c，能作△ABC, 使∠B=∠β，AB=c，AC=b吗？如果能作，可以作出几个满足上述条件的不同的三角形？做后小组交流。

αcβ23

四、巩固练习

bcβ

1、如图，已知∠α，∠β，线段a,b，求作：△ABC,使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a+b。

aα

βb2、如图，已知∠α，∠β，线段c，求作：△ABC,使∠B=∠α，∠C=∠β，AB=c。

cα

五、【自我反思】

你对本节的学习有哪些收获，还有什么疑惑？

β

24

第1章 《全等三角形》的复习

【复习目标】

1．知识与能力

理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的判定，能够利用判定解决简单的问题．学会简单的尺规作图。

2．过程与方法

在探索全等三角形判定与尺规作图的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径．

3．情感、态度与价值观

培养学生的识图能力、作图能力、归纳总结能力和应用意识． 【复习重、难点】

（1）探索并掌握全等三角形的判定定理． （2）探索并掌握尺规作图的方法和步骤．

【复习过程】 一、知识点梳理

1、结合课本25页的“回顾与总结”，说说本章主要学习了哪些内容，总结一下，并与同学交流。

2、自主完成本章的【知识要点】

1._______________________________叫全等三角形,“全等”用符号“__________”表示,读作“__________”;记两个全等三角形时,通常要求__________.

2.把两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫做__________,重合的边叫做__________,重合的角叫做__________.

3.判定三角形全等的方法有 ； ； ；

. 25

简写为 或 ； 或 ； 或 ； 或 。 4.我们学习过的基本作图方法有 ， 。 二、巩固训练

1、下面的各组图形中，一定全等的是（ ） A. 所有的直角三角形

B. 两个等边三角形

C. 各有一条边相等且有一个角为100°的两个等腰三角形 D. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形

2、如图，已知AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且DF=DC，则∠ABC的大小是（ ）

A. 30° B. 45°

C. 60°

D. 无法确定

）

AEFBDC3、下列条件中，能够判定△ABC≌△A′B′C′的是（ A. AB=A′B′ AC=A′C′ ∠C=∠C′ C. AC=A′C′ BC=B′C′

∠C=∠C′

B. AB=A′B′ BC=B′C′ ∠A=∠A′ D. AC=A′C′ BC=B′C′ ∠A=∠A′

4、如图，已知线段a，b，∠α。

求作：△ABC，使BC=a，AB=b, ∠B=2∠α。

三、能力提升

1、如图，已知AB=AD,BC=DC,图中共有 abαB对全等三角形，它们分别是

。

AEDC26

2、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的角是（

A. CB=CD

）

DABCB. ∠BAC=∠DAC

C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°

3、如图，已知△ABD≌△ACE，你能判定△OBE≌△OCD吗？请说明理由。

4、如图，已知△ABC，作DE=BC再以DE为边，作出所有与△ABC全等的三角形，这样的三角形可以作几个？

. A 四：归纳总结： 五：课后作业：p26 综合练习。 【自我反思】

本章有哪些重要的知识？它们之间有何联系？还有什么疑问？

CDOAEBBCDE

27

第2章 图形的轴对称

§2.1 图形的轴对称

【学习目标】

1．经历观察、操作和比较的过程，学会认识生活实例中的轴对称现象； 2．通过实验探究，感知轴对称的特点，能找出对称轴及对称点；

3．体验数学与生活的联系，发展学生空间观念和审美观，体会生活中的对称美． 【学习重点】轴对称，两个图形关于某一条直线成轴对称。 【学习难点】两个图形关于某一条直线成轴对称 【学习过程】

（一）观察识别，交流讨论： 观察下图，作以下探究：

交流感受：你有什么感受？这些图形为什么如此美？这些图案在设计和布局方面有

什么特点？

（二）实验操作，探究规律

根据课本30页“实验与探究”，按要求作出△A′B′C′， （1）你发现△ABC与△A′B′C′全等吗？为什么？

（2）在纸上画一条直线m，在m的一侧画出五角星图案。你能以直线m为折痕，用折叠的方法，得到一个与它全等的五角星吗？

形成概念：

轴对称:______________________________________________________.

28

对称轴:______________________________________________________.

（3）观察课本31页图2-3①中两个图案，把其中一个图案以直线L为对称轴，经过轴对称后，能与另一个图案重合吗？图2-3②、图2-3③呢？

形成概念：

两个图形关于这条直线成轴对称:____________________________________

______________________________________________________.

对应点:______________________________________________________. 对称点:______________________________________________________.

（三）学以致用，体验成功

例1：如图2-4，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称.如果DE=3cm，∠A＝75度，∠E=43度，求AB的长与∠B、∠C、∠D、∠F的度数。

（四）回顾概括，反思不足 1．这一节中你学到了哪些知识？ 2．在合作探究过程中你体会到了什么？

（五）兴趣作业：

用轴对称的性质，自己设计一张美丽的贺卡赠送给好友，看谁的贺卡漂亮。

29

§2.2 轴对称的基本性质

第一课时

【学习目标】

1.通过具体事例学做轴对称图形，认识轴对称图形，探索它的基本性质，并能运用性质解决一些实际问题；

2.能够按要求画出简单平面图形经过一次轴对称后的图形； 3.能利用轴对称进行图案设计轴对称图形，培养学生的创新精神。 【重点】对轴对称基本性质的理解 【难点】轴对称基本性质的探索及运用。

【学具准备】剪纸作品（蝴蝶、五角星等）、长方形纸片等 【学习过程】

一、创设情境，感性认识轴对称图形

教师先展示剪纸作品（蝴蝶、五角星等），照片，实物等，然后让学生交流、展示各

自收集的相关图片。

二、学习新课 1.实验与探究

(1)如图所示，将一张纸片对折，扎一个小孔，然后展开铺平记得到的两个小孔为点A与A′，折痕MN，连接AA′与MN于点O.

(2)如果将纸片沿MN重新折叠，你发现线段OA与OA′有怎样的大小关系？线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？说明理由.

你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔重新试一试。

(3)把一张纸对折后扎出三个不在同一条直线上的小孔，

30

把纸展开铺平，把得到的三对对应点分别记为A与A′，B与B′，C与C′，折痕记为MN.分别连接AB，BC，CA，A′B′， B′C′，C′A′，在△ABC的一条边上任取一点D，你能说出与点D关于直线MN成轴对称的点D′的位置吗？用扎孔的方法验证你的结论.

(4)连接DD′，交MN于点P.你发现线段DD′与直线MN具有怎样的位置关系？说明理由.

轴对称的基本性质：

成轴对称的两个图形中，_____________________________________________. 2.交流与发现

(1)如图2-8①，在纸上作一条直线MN，再在直线MN的一侧取一点A，你能利用轴对称的性质，画出点A关于直线MN的对称点吗？与同学交流.

如图2-8②,过点A画直线MN的垂线AF，设垂足为点O.在OF上截取OA′= OA.点A′就是所要求画的点A关于直线MN的对称点.

(2)你能说明（1）中画一个已知点关于给定直线的对称点的方法的道理吗？ (3)如图2-9，你能画出线段AB关于直线l成轴对称的线段吗？能画出与直线AB关于直线l成轴对称的直线吗？

例1如图2-10，画出△ABC关于直线l成轴对称的图形.

图2-10

31

3.总结画轴对称图形的步骤： ①找出所给图形的关键点。

②找出图形关键点到对称轴的距离。 ③找关键点的对称点。

④按照所给图形的顺序连接各点。

三、性质应用：下图中的两个三角形关于直线l成轴对称，连接对应顶点，指出哪些线段被直线l垂直平分？

四、跟踪练习

1.作一条线段AB关于直线MN的轴对称的图形。

2.在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，四边形ADEC关于AE成 轴对称，则AE与CD的位置关系

。

五、反思小结

通过本节课的学习，你有何收获？小组交流。

32

第二课时

【学习目标】

1．在直角坐标系中能画出点的对称点，并通过探索发现坐标系内点的对称规律； 2．在直角坐标系中，能够写出给定平面图形的顶点关于坐标轴的对称坐标． 【重点】利用轴对称的性质得出坐标系内点的对称规律． 【难点】对坐标系内点的对称规律的理解 【学习过程】

一、观察与思考

(1)如图2-12，在直角坐标系中，已知点Q的坐标为(4,3)，画出点Q关于y轴的对称点Q′，写出点Q′的坐标，你发现点Q 与Q′的坐标有什么关系？利用轴对称的基本性质，说明你的理由.

(2)画出点Q关于x轴的对称点 Q′′，写出点 Q关于

x轴的对称点Q′′的坐标，你发现点Q与点 Q′′的坐标有什么关系？

(3)你能分别写出点(-1,0)关于y轴和x轴对称点的坐标吗？点(0，-1)呢？ (4)一般地，已知点P的坐标是(a，b)，按照上面发现的规律，你能分别写出点P关于y轴的对称点P′和关于x轴对称的对称点P′′的坐标吗？

坐标系内点的对称规律：

在直角坐标系中，______________________________________________________. 二、例题讲解

例2如图，在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-2，1) ，B(1.5，-4)，C(0，3).

(1)分别写出与△ABC关于y轴成轴对称的△A′B′C′的顶点坐标； (2)分别写出与△ABC关于x轴成轴对称的△A′′B′′C′′的顶点坐标；

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(3)分别画出△A′B′C′与△A′′B′′C′′.

三、跟踪练习：

1.已知A、B两点的坐标分别为A（-2,3）B（2,3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有 个

2.如果点A的坐标（3,-2），点B的坐标（3,2），那么点A和点B关于 轴对称。

3.已知点A（a，4）关于x轴的对称点B的坐标为（-2，b），分别写出点A，B 关于y轴的对称点的坐标.

四、反思与作业

本节课你学到了哪些知识？这些知识在现实生活中有哪些应用？

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§2.3 轴对称图形

【学习目标】

１、能够认识轴对称图形，并能找出对称轴

２、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系

3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。

4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值，培养学生的审美观 【学习重点】轴对称图形的概念及识别

【学习难点】轴轴对称与轴对称图形的区别和联系。 【学习过程】

（一） 旧知复习

1、 什么是轴对称？

2、 成轴对称的图形有哪些性质？

（二） 新知学习

1、问题：下列图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？

这些图片的形状是：

它们的共同特征是：把图形沿着某一条直线 ，直线两旁的部分能够 。 2、操作：

把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形； 想一想：

把纸展开后会是什么样的图形？位于折痕两侧的图案有什么关系？它是否也具有上述图形的共同特征？

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3、 归纳

一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分 ，这样的图形叫做轴对称图形。

（三）合作探究

下列图形是否是轴对称图形，如果是，请找出它的所有的对称轴。

问题（1）、判断一个图案是否是轴对称图形的关键是

问题（2）、根据轴对称图形的定义，你觉得能否用对折的方法进行检验？ 思考：正三角形有 条对称轴 正四边形有 条对称轴 正五边形有 条对称轴 正六边形有 条对称轴 圆有 条对称轴

问题：一个轴对称图形的对称轴的条数是否只有一条？ (四)展示交流

1、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个．．．．不同？

这个图形是： （写出序号即可）

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2、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是 （ ）

A． B． C． D．

3、如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。

（五）回顾概括，反思不足

1、在我们身边的轴对称图形这一节中你学到了哪些知识？ 2、在合作探究过程中你体会到了什么？

§2.4 线段的垂直平分线

第一课时

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【学习目标】

1、鼓励学生观察、操作和比较，从而认识线段的垂直平分线，提高判断能力。 2、通过多种形式的参与，感知线段的垂直平分线的特征，会用它解决相关的问题。 3、自主探究，体验数学学习的快乐。 【学习重点】认识并能作出线段的垂直平分线。

【学习难点】能够灵活利用线段的垂直平分线解决生活中的数学问题。 【学具准备】宽1cm的长纸条。 【预习导学】

1、什么叫做轴对称图形？它有什么性质？ 2、 怎样的图形成轴对称？

3、 线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？

【学习过程】

（一）动手观察识别，交流体验定义：（以自主学习，经历自主探索总结的过程，并自主完成活动，小组进行展示。）

将准备好的宽1cm的长纸条对折使纸条的两个端点重合。作以下探究： a、观察探究：

（1）将纸条展开铺平后，记住折痕所在的直线，直线与线段的交点为O，端点为A和B，线段AO与BO的长度有什么关系？

（2）直线与线段有怎样的位置关系？ （3）线段是轴对称图形吗？

b、体验定义： 像这样， 的直线叫做线段的垂直平分线。

线段是轴对称图形，它的一条对称轴是这条线段的_____________。 （二）实验操作，探究规律

a、分组合作，实验探究： 通过折纸的方法我们能得到线段的垂直平分线有哪些性质？

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b、发现规律：在纸上画一条线段AB，作出AB的垂直平分线MN，在MN上任意取一点P，连接PA与PB，把这张纸沿直线MN对折，PA与PB重合吗？

结果发现：线段的垂直平分线上的点，到这条线段的两个端点的距离

。

c、你能写出上面这个定理 的逆命题吗？想一想它是真命题吗？如果是，请证明它。

由此我们得到了线段垂直平分线的另一个性质：

（三）规律应用

1、实验探究：用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？（自主预习课本，画线段的垂直平分线）

已知：线段AB

A B

求作：线段AB的垂直平分线 作法：

2、探究应用：如图中的三角形，用尺规作出它们的三条边的垂直平分线。

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观察所作图形，我们可以得到结论是 （四）回顾概括，反思不足 a、回顾概括与反思： 1、在学法上有哪些收获？

2、在合作探究过程中你体会到了什么？ b、知识梳理：

线段的垂直平分线；线段的垂直平分线的作法；线段的垂直平分线的性质。 （五）课堂练习：

1、如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

2、如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）

A．AB=AD B．BC=CD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC

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3、如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC=

4、如图，要在孙庄A，钱庄B，官庄C三个村庄之间建一个银行O，使它到三个村庄的距离相等，你能在图中找出点O的位置吗？

●

C

A ●

● B

第二课时

【学习目标】

1、掌握过一点作已知直线的垂线的作图。

2、通过多种形式的参与，掌握线段的垂直平分线的性质，会用它解决相关的问题。 3、自主探究，体验数学学习的快乐。 【学习重点】过一点作已知直线的垂线。

【学习难点】能够灵活利用线段的垂直平分线解决生活中的数学问题。 【预习导学】

1、什么叫做线段的垂直平分线？ 2、线段的垂直平分线有哪些性质 【学习过程】 （一）、合作探究

实验探究：用直尺和圆规怎样画已知直线的垂线呢？（自主预习课本，画已知直线的垂线）

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a、已知：直线l及直线上一点P 求作：过点P作直线l的垂线 作法：

b、根据以上作法，探究如何过直线外一点作直线的垂线 已知：直线l及直线外一点P 求作：过点P作直线l的垂线 作法：

（二）、性质应用 问题探究：

海伦是古希腊的一位数学家、测量学家。相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边让坐骑饮水，怎样走路程最近呢（如图）？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理。

作法：

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理由：

(三)、课堂练习

1、如图所示，△ABC与△DEF是关于直线l的对称图形，请作出对称轴l.

2、如图，已知△ABC,求作AC边上的高。

（四）、课堂小结

本节课你有哪些收获？

（五）、作业

某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

43

44

§2.5 角平分线的性质

【学习目标】

1、了解角是轴对称图形，知道它的对称轴。 2、会用直尺和圆规作出已知角的平分线。 3、理解角平分线的性质。 【学习重点、难点】

角平分线的作法和性质。 【学习过程】

（一）试一试：在纸上先任意画一个∠AOB，然后按照课本第51页那样折叠，会出现什么现象？由此，我们可以得到如下结论：

角是

图形，它的对称轴是

。

（二）角平分线的性质：

1、大胆猜想：如图，OC平分∠AOB，P是OC上任意一 点，PM⊥OA，PN⊥OB，M，N分别为垂足，那么PM与PN 有什么关系？

2、操作验证：

（l）折出如图中的折痕PD、PE。

（2）你和同桌用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示的要求。

画一画：按照折纸的顺序画出一个角（如图）的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

问题：你能用文字语言阐述所画图形的性质吗？ 3、归纳结论：

请将上面的发现用语言概括

45

。

4、推理验证

你能用推理的方法来验证发现的结论吗？ 已知：OC平分∠AOB, P是OC上任意一

点，PM⊥OA，PN⊥OB，M，N分别为垂足 求证：PM=PN 证明：

5、逆命题

你能说出定理的逆命题吗？此结论是否正确，说出你的理由。

（三）角平分线的画法

1、自学课本P53，并与同伴交流。

2、已知∠AOB，用直尺和圆规作出它的角平分线。

作法：

46

（四）学以致用：

1、作出图中三角形的三条角平分线，你发现了什么？

2、如图，已知直线MN上有一点P，点P到∠AOB两边的距离相等，请在图上标出点P的位置，说出你作图的理论依据。

3、△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，AB=10cm，求△ABD的面积。

（五）反思小结：

本节课你学会了哪些知识？还有什么疑惑？

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§2.6 等腰三角形

第一课时

【学习目标】

1、经历探索等腰三角形的性质过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质。

2、通过小组合作探究，发现并理解等腰三角形的性质。

3、能够利用等腰三角形的性质解决相关题目。 【学习重点、难点】

重点：等腰三角形的性质。 难点：等腰三角形的性质及探索过程 【学具准备】等腰三角形的半透明纸片 【学习过程】

（一）分组合作，实验探究

现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图所示，你有什么新发现？

你发现了什么？尝试归纳、概括，并与同伴交流，结合刚才你的发现，思考： （1）等腰三角形是轴对称图形吗？

.

（2）∠BAD与∠CAD相等吗？为什么？ （3）∠B与∠C相等吗？为什么？

（4）折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系？

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（5）线段BD与线段CD的长相等吗？ （6）折痕所在直线AD具有怎样的性质？ 由此，我们可以得到等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是

（2）等腰三角形的____________、___________、_________互相重合（三线合一） （3）等腰三角形两个_________相等。（即等边对等角） （二）知识应用

（1）在△ABC中，AB=AC，D在BC上， 如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠ 如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥ 如果BD=CD，那么∠BAD=∠

，BD=

，BD=

，AD⊥

（2）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，求顶角的度数。

（二）例题探究

如图所示，屋椽AB和 AC的长相等，∠A=120度，求∠B的度数。 自主解决：

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(三) 分组合作，实验探究 根据等腰三角形的性质作图： 已知底边及底边上的高作等腰三角形。

已知：底边a、及底边上的高h。（画出两条线段a、h） 求作：△ABC，使得一底边为a、底边上的高为h。 小组交流：

问题1：要完成这个作图，先作出 再

问题2：为什么这样画出的三角形是等腰三角形？ 请你写出作法，并独立完成作图。

（四）反思提高

通过这节课的学习，你有哪些收获？ (五)课堂测试

1、若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A．80° B．50° C．40° D．20°

2、一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ） A．13

。

，

h a ，最后

B．17 C．22 D．17或22

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