关于利用二元一次方程组解简单的应用题

第七章 二元一次方程

关于利用二元一次方程组解简单的应用题

【教学目的与要求】

1． 使学生能够找出简单应用题中的未知数与已知数,直接设出两个未知数，并分析出它们之间的关系,寻找

能够表示题意的两个相等关系列出二元一次方程组，解简单的应用题，掌握将实际问题转化为数学问题的本领，并了解一元一次方程与用二元一次方程组解题的不同之处，体会用二元一次方程组在解某些烦琐的问题时的优越性。

2． 会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。

3． 通过列出二元一次方程组解应用题，使学生再次理解“未知”可转化为“已知”的思想方法。 【知识重点与学习难点】

1． 寻找实际问题中的已知数与未知数，一般可以找到两个解题需要的未知数； 2． 根据题意，找出表示应用题全部含义的两个互不关联的相等关系；

3． 用字母（如x,y）代替未知数，列出需要的代数式，从而列出二元一次方程组。 【方法指导与教材延伸】

1． 列方程组解应用题是代数的解题方法，与列一元一次方程解应用题相比，方程组往往更直接，在解复

杂问题时，方程组的优越性就更为明显。列方程组这种解法将两个未知数与已知数同时使用，整体考虑，只要完全按照题目的条件，列出符合要求的代数式，从而得到方程组即可，不必象列一元一次方程解题那样，只能设一个未知数，如果有第二个，则必须想办法从条件中先找一个相等关系，然后用已知数与已有的未知数表示这第二个未知数。然后再找出已知条件中另一个相等关系，从而列出一元一次方程。

2． 列二元一次方程解应用题的一般方法是：

① 弄清题意和题目中的数量关系，用两个字母（如x,y）表示题目中的两个未知数； ② 找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系；

③ 根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； ④ 解这个方程组，求出未知数的值；

⑤ 检验未知数的值是否正确，是否符合实际问题； ⑥ 写出答案（包括单位名称）。

3． 设未知数一般是问什么就直接设什么为未知数，如果题中要求的未知量多于两个时，可选择一两个最

便于求出的量为未知数，其他要求的量可用含这两个未知数的代数式表示，有时为了便于解题，还可设间接未知数。总之，不论是直接还是间接设未知数，应以列方程组和解方程组简便为着眼点。（当然今后如果掌握了三元或是多元一次方程组后，无论要求几个未知量，都可以直接设未知数，从而列出一次方程组解题。）

4． 列出二元一次方程组的关键与列出一元一次方程一样，也是能正确分析应用题的数量关系，找出相等

关系。在寻找相等关系时，可从下列几方面来考虑：

1

（1）行程问题：路程=速度?时间，速度=路程，时间?路程；

时间速度 （2）顺流航行=船在静水中航速+水速，逆流航行=船在静水中航速-水速 （3）工程问题：工作总量=工作效率?工作时间，工作效率?售价?进价进价工作总量工作时间，工作时间?工作总量

工作效率；

（4）利润率=?100%，利润=售价-进价；

（5）利息=本金?利率?存期；

注意：如果要扣除利息税，则利息=本金?利率?存期?（1-20%）。

100a?10b?c。（6）若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数可表示为：

若x表示一个两位数，y表示一个三位数，则x放在y左边组成的五位数可表示为：1000x?y；把y放在x左边组成的五位数可表示为：100y?x；

为了帮助理解题意，寻找相等关系，还可采用一些辅助手段，如列表、画示意图等，从而便于列出方程组成方程组。

5． 检验在用二元一次方程组解应用题中，虽然不必写出，但是却是必不可少的步骤。如列方程组无误，

首先要将求得的数代入方程组检验，看是不是方程组的解，然后再根据应用题的实际意义看求得的解是否适合题意，检验后才能作答。 【例题选讲】 例1：（利息问题）

李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92

元。已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额?20％）

分析：利息问题是一个实际应用问题，一定要结合实际来理解掌握，如：一般说来，利息要交20%的利息

税，但是教育储蓄和国库券等一些特殊形式的储蓄是无须交利息税的。本题中需要求的是两个量，因此直接设两个未知数，从而列出方程组来解决。相等关系是：①两种储蓄的年利率的和=3.24%，②两种储蓄的利息和=43.92元。

解：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，存1000元的这种储蓄的年利率是y，

根据题意得：??x?y?3.24%?(2000x?1000y)?(1?20%)?43.92?x?0.0225?y?0.0099

解这个方程组得：?

答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。 注意：本题也可以列一元一次方程来解决：

解法2：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，则存1000元的这种储蓄的年利率是3.24%?x，

根据题意得：[2000x?1000(3.24%?x)]?(1?20%)?43.92

2

解这个方程组得：x?0.0225 则 3.24%?x?0.0099

答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。

例2：（人员调配问题）

某班学生参加义务劳动，男生全部挑土，女生全部抬土，这样安排恰需筐68个，扁担40根，问这个

班男生、女生各有多少人？

分析：本题看似条件很少，实际上里面还有隐含条件，那就是：挑土需要一个人、一根扁担和两个筐，抬

土需要两个人、一根扁担和一个筐，因此，本题就有充足的条件来解决了。这里可以直接设两个未知数，列出方程组。本题的相等关系是：①男生需要筐的数量+女生需要筐的数量=68个，②男生需要扁担的数量+女生需要扁担的数量=40根。 解：设这个班有男生x人，女生y人，

y?2x??68??2根据题意得：?

?x?y?40??2?x?28解这个方程组得：?

y?24?答：这个班有男生28人，女生24人

注意：本题也可以列一元一次方程来解决，同学们如果有兴趣不妨一试。其实，列二元一次方程组来解决

的问题大部分可以列一元一次方程来解决，只是有时候比较困难或是烦琐。

例3：（数字问题）

甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和是65，求原来的两个加数。

分析：这个数字问题中需要弄清的是，一个加数（如y）后面多写一个0可以表示为10y,少写一个0可以

表示为数的

110y，本题的两个相等关系是①一个加数+另一个加数的10倍=2342，②一个加数+另一个加

1

=65。 10

解：设两个加数分别为x和y，其中两人都看错的加数为y，

?x?10y?2342?根据题意得：? 1y?65?x?10??x?42解这个方程组得：?

y?230?

3

答：原来两个加数分别为42和230。

例4：（工程问题）

甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？

分析：这是个工程问题，一定要抓住工作总量=工作效率?工作时间这个相等关系，这里有两个条件，也

就是本题的两个相等关系，①甲上午（4-2.5）小时完成的零件数+40个=乙上午4小时完成的零件数，②甲一天（8-2.5）小时完成的零件数=乙一天8小时完成的零件数+420个。这里的相等关系用的是工作量相等，因此只要知道工作时间和工作效率，工作时间已知，故本题间接设两人的工作效率为未知数。

解：设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件，则甲一天做(8?2.5)x个零件，乙一天做8y个零

件。

根据题意得：??(4?2.5)x?40?4y?(8?2.5)x?8y?420

?x?200解这个方程组得：?

y?85?则 (8?2.5)x?11000， 8y?680

答：这一天甲做了11000个零件，乙做了680个零件。

例5：（税利问题）

去年甲、乙两车间计划共完成税利150万元，由于技术革新，生产效率大幅度提高，结果甲车间超额

完成税利110％，乙车间超额完成税利120％，两车间一共上缴税利323万元，问甲、乙车间实际上缴税利多少万元？

分析：这里只要注意甲车间超额完成税利110%，实际上甲车间完成的税利是原来的（1+110%），同样，

乙车间完成的税利是原来的（1+120%）。两个相等关系是，①甲车间计划完成的税利+乙车间计划完成的税利=150万元，②甲车间实际完成的税利+乙车间实际完成的税利=323万元。

解：设去年甲车间计划完成税利x万元，乙车间计划完成税利y万元，则实际甲车间完成税利(1?110%)x万元，乙车间完成税利(1?120%)y万元。

?x?y?150根据题意得：?

(1?110%)x?(1?120%)y?323??x?70解这个方程组得：?

y?80?则 (1?110%)x?147， (1?120%)y?176

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答：甲车间实际上缴税利147万元，乙车间实际上缴税利176万元。

例6：（行程问题）

一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，

两车错车需16秒钟，求两车的速度。

分析：行程问题是用方程或方程组解决问题的常见类型，主要要抓住路程=速度?时间这个相等关系，本

题的错车问题，实际上是两种情况：①相向而行，错车实际上是两车合走的路程是两车长之和，②同向而行，错车实际上是快车比慢车多走的路程是两车长之和。这就是本题的两个相等关系。 解：设快车的速度是x米/秒，慢车的速度为y米/秒，

?4x?4y?168?184根据题意得：?

16x?16y?168?184??x?55解这个方程组得：?

y?33?答：快车的速度是55米/秒，慢车的速度为33米/秒。

例7：（环行跑道问题）

甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15秒钟相遇一次；当两人同向运动时，每1分钟相遇一次，求各人的速度。

分析：环行跑道的问题主要抓住相向而行，每一次相遇两人合走了一圈，同向而行，每一次遇到，快的人

比慢的人多走了一圈。同样，这道题中的两个相等关系是：①反向运动：甲15秒所走的路程+乙15秒所走的路程=600米，②同向运动：甲1分钟所走的路程-乙1分钟所走的路程=600米。这里注意时间的单位名称。

解：设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，

根据题意得：??15x?15y?600?60x?60y?600?x?25?y?15

解这个方程组得：?

答：甲的速度是25米/秒，乙的速度是15米/秒。

例8：（利润问题）

某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。

该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行。受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种方案：

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