离散数学习题三参考答案
更新时间:2023-10-18 19:33:02 阅读量: 综合文库 文档下载
离散数学习题三参考答案
第三节 图论
1.画出所有4个顶点的简单图。
解:本题这考虑连通图的情况。共有5个不同构的图。
2.在某次宴会上,许多人互相握手,证明奇数次握手的人一定是偶数个。 解:设每个人看成一个顶点,两人握手看成两顶点间的一条边,每人握手的次数就是该顶点的度数,由定理1的推论2马上可得结论。
3.设图G=(V,E)中有12条边,已知G中3度顶点的有3个,其余顶点的度数均小于3,问G中至少有多少个顶点?为什么?
解:如图G不是连通图,那么12条边最多的顶点数是12×2=24;一个顶点的度数是3,则要减去2个顶点数,所以3度顶点的有3个,就要减去2×3-6个顶点;同样一个顶点的度数是2,则要减去1个顶点数;为了使顶点数最小,图必须是连通图,所以顶点数为2的顶点的个数是(12×2-3×3)÷2的整数部分等于7个,有一个顶点的度数是1,所以G中至少有的顶点数是3+7+1=11(个)。 4.n个运动队之间安排一项比赛,已赛完了n+1场,求证:一定存在这样一个队,它已经至少参加了3场比赛。
解:如果每个运动队都只赛了2场,则共赛了2n÷2=n 5.下图表示用堤埂分割成很多小块的水稻田。为了用水灌溉需要挖开一些堤埂(不能挖堤埂的交点)。问最少要挖开多少条堤埂,才能使水浇灌到每小块稻田? 第五题 解:把每块田看成顶点,相邻的田同一条边连接,这题就是最小生成树问题。 因为有12块田地,所以最少要挖开11条堤埂,才能使水浇灌到每小块稻田。(见上右图) 6在下列图中,求一条欧拉通路。 解:略 7.证明:若G=〈V,E〉是简单图,则m≤Cn2 ,其中m为图的边数,n为图的顶点数。(7,9一样) 解:顶点数相同的情况下,简单图的边数一定小于完全图的边数。 8.设G是一个连通图,不含奇数点,证明:从G中任意去掉一条边,得到的图 仍是连通图。 解:G是一个连通图,不含奇数点,所以其所有顶点的度数均大于2,就是任何一个顶点至少有两条边与其他顶点相邻。去掉一条边,则两个顶点与其他顶点至少还有一条边与其他顶点相邻,所以还是通路图。 9.证明:若G=〈V,E〉是简单图,则m≤Cn2 ,其中m为图的边数,n为图的顶点数。 10.证明:设图G是一棵树,则图G中最长通路的起点和终点的度数均为1。 证:倘如最长通路的起点和终点的度数有一个大于1,则至少有两条边在起点(或终点)相邻。那么至少有一条边不是这通路上的边,(因为是端点),加上这条边,仍然是一条通路(因为是树,不可能成圈),并比前一条通路要长,与最长通路矛盾。 11.求下列各图中最小生成树。 第11题 解:用破圈法即可得,见上右图:。 12.设有邮路图如下:问邮递员应按怎样的路线行走才能 使所行的路程最短?(设邮局为A) (第12题图) 解:A→B→C→A→C→D→A→E→D→E→F→A,见上右图。 重复走了两段AC和 DF,多走了2+4=6个单位。 13.求出下图中从v1到其他各点的最短通路。 (第13题图) 解:见上右图。 14.在完全图Kn中,(1)任意两点间有多少条边? (2)有多少个圈? (3)包含某条边e的圈有多少个? 解:(1)任意两点间有1条边; 134n?Cn???Cn?2n?1?n?n(n?1)个圈; (2)有Cn2 12n?1n?1(3)包含某条边e的圈有Cn?C???C?2?1个。 ?2n?2n?1 15. 若图G= 证明:完全图是哈密尔顿图。 证明:因为完全图可以找到一条通路通过所有顶点。 16.某人从A出发到B,C,D,E四地去旅游,在回到A,各地间的路程如下图: 第16题 问应如何选择旅游路线,使总路程最短? 解:A→B→E→D→C→A 即 7+7+2+3+5=24(见上右图)。 17.下列各图是否是两步图? 第17题 解:三个都是,见下图。 18.已知关于人员a,b,c,d,e,f的下述事实: a 会说汉语,法语和日语; b 会说德语,俄语和日语; c 会说英语和法语; d 会说汉语和西班牙语; e 会说英语和德语; f 会说俄语和西班牙语, 试问能否把这六人分成两组,使同组中没有两人能互相交谈? 解:能,见图。 19.有5个工人分配5个工种,要求每个工种配一个工人,每个工人可以做的工 种如下表: 工种 1 2 3 4 5 工号 1 能 不能 不能 能 不能 2 能 不能 不能 不能 能 3 不能 能 不能 能 能 4 能 不能 能 不能 能 5 不能 不能 能 能 能 能否有合适的安排,使得每项工作都有人做? 解:能,见图。 20.现有四个工人Ai 和四种零件Bj,工人Ai加工零件Bj所得的收益为Wij由下表给出, 工种 B1 B2 B3 B4 工号 A1 5 9 2 7 A2 3 4 3 5 A3 6 7 7 3 A4 6 10 3 4 问应怎样安排加工任务,使每个工人加工一种零件,一个零件由一个工人加工,且使工人们的总收益最大? 解: 所以M?{(x1,y1)(x4,y2)(x3,y3)(x2,y4)} 最大收益值为5+10+7+5=27
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