清华大学2006春多元微积分考题

1．将三重积分

2005级多元微积分期末考题

2006.6.15

2

一、填空题（每空3分，共15空）

f(x

y2 z2)dv，其中 (x,y,z):x2 y2 z2 4 ，化为球坐标

下的累次积分_________________________________________ 2

．设 (x,y,z):x y 1,0 z

22

，I f(x,y,z)dxdydz，化为柱坐

标的累次积分I=_____________________________

3．设L是有点A（1，0）到点B（0，1）的有向线段，则(x y)dl ________________

L

(B)

L(A)

22

__________;zzdx dy dS ______________

S

(2x y)dx (x 2y)dy _________________________________

4．设S为单位球面，外侧为正，则

S

5．向量场A(x,y,z) (2x y z)i (x 2y z)j (x y 2z)k的旋度

rotA(x,y,z)__________________________

6．向量场A(x,y,z) yz(2x y z)i zx(x 2y z)j xy(x y 2z)k的散度

divA(x,y,z)__________________________

7．设S为上半球面x y z a,z 0的上侧， 则

2

2

2

2

xdy dz ydz dx zdx dy _________________________________

S

8．当常数 ____时，积分

BA

(x4 xy3)dx (6x2y2 5y4)dy与路径无关。此积分式

(x4 xy3)dx (6x2y2 5y4)dy的原函数为__________________________

9．设L为闭曲线x y 2，逆时针为正向，则第二类线积分

axdy bydx x y __________________________________ L

10．方程y y 1的通解y(x) ________________________

11．设S是三个坐标面与平面x y z 1围成的四面体的外表面

xdy dz ydz dx zdx dy ___________________________

S

12．设二阶非齐次线性常微分方程有解3及3 x，其对应的齐次线性常微分方程有解e 则此非齐次线性常微分方程的通解为_______________________________ 二、计算题（每题10分，共四题） 1．计算I

22

，其中S为z x y在0 z 1部分的外侧。 (x z)dy dz 3zdx dy,

S

2x

2．设L是平面x y z 0与球面x y z 1的交线，从z轴正向看去为逆时针方向， 求第二类曲线积分

222

(y 1)dx (z 2)dy (x 3)dz

222

x y zL

3．求二阶连续可微函数f(x)使f (0) 0，且 f(x) y(x f(x)) f (x)dy为全微分，并使该微分式由A(0,0)到B(

2

, )沿逐段光滑曲线L上积分的值为

2

8

4．求常系数线性齐次常微分方程组三．证明题

35 的通解，其中A 。 dx 53

y (x) a(x)a(x) y(x) 1112

111．（7分）设齐次线性常微分方程组 的系数 y (x) a21(x)a22(x) y2(x) 2

y(x) z(x)

a11(x)，a12(x)，a21(x)，a22(x) C(a,b)， 1 1 是方程组的两个线性无关

y2(x) z2(x)

x

满足W(x) W(x0)exp [a11(t) a22(t)]dt 解，证明其wronsky行列式

x y2(x)z2(x) 0

y1(x)z1(x)

其中x0 (a,b)为常数，x (a,b)。 2.（8分）设B (x,y)|x y R

222

,u C

2

(B)是B上的调和函数，即

2u 2u

u 2 2 0，记L :x2 y2 2是半径为 ( R)的圆周。

x y

求证：（1）

L

u1

0;(2)定义f( )

2 n

u(x,y)dl，则f( ) u(0,0),0 R。

L

（提示：利用（1）证明f ( ) 0）

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