2018江苏高考数学填空中高档题专练

2018江苏高考数学填空中高档题专练

2018.5.22

1. 等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝____________． ππ

2. 将函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移φ?0＜φ＜?个单位后，得到函数f(x)的图象，

6?2???若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．

b

3. 已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x＋2y

x1?－1＝0垂直，且函数f(x)在区间??2，＋∞?上单调递增，则b的最大值等于__________．

4. 已知f(m)＝(3m－1)a＋b－2m，当m∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a＋b的最大值是__________．

1

5. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tanA＝2tanB，a2－b2＝c，则c

3＝____________．

1x

6. 已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则＋的最小值为____________．

2xy＋1

7. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I上恒成立，1

则称函数f(x)和g(x)在区间I上单调性相反．若函数f(x)＝x3－2ax与函数g(x)＝x2＋2bx

3在开区间(a，b)(a＞0)上单调性相反，则b－a的最大值等于____________． 8. 在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝__________． 9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，2)，则向量a，b的夹角为____________． 10. 直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是____________．

11. 已知函数f(x)＝－x2＋2x，则不等式f(log2x)＜f(2)的解集为__________．

π312. 将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点?，?，则

?62?φ的最小值为____________．

→

13. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO＝→→

xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋y的值为____________．

14. 已知函数f(x)＝ex1＋x－2(e为自然对数的底数)，g(x)＝x2－ax－a＋3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)＝0，且|x1－x2|≤1，则实数a的取值范围是____________． 15. 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，则事件“两次

－

向上的数字之和等于7”发生的概率为__________．

16. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝____________．

2

17. 已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝____________．

518. 已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为____________．

19. 若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____________．

20. 已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大

值为x0，则

＝____________．

112

21. 已知ab＝，a，b∈(0，1)，则＋的最小值为____________．

41－a1－b

22. 在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为__________．

23. 设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为____________．

24. 对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝__________．

25. 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为__________．

1

26. 过曲线y＝x－(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O

x1

是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝____________．

3

27. 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上→→

任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是____________．

32

??－|x－2x＋x|，x＜1，

28. 已知函数f(x)＝?若对于

?lnx，x≥1，?

t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k

的取值范围是____________．

29. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝3.若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为__________．

4x＋y≤10，

??4x＋3y≤20，

30. 已知实数x，y满足?则2x＋y的最大值为____________．

x≥0，??y≥0，

2－2

31. 已知平面向量a＝(4，2)，b＝?1，x?，x∈R.若a⊥b，则|a－b|＝__________．

2??

x

x

x

a7＋a8＋a94

32. 已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则99的值为__________．

(第12题)

33. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动11→→→

点P在边BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为

mn____________．

34. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋3y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是____________．

2??2x－3x，x≤0，

35. 已知函数f(x)＝?x2若不等式f(x)≥kx对x∈R恒成立，则实数k的取

?e＋e，x＞0.?

值范围是____________．

答案

1. 4 解析：由a5－a1＝15，a4－a2＝6(q>1)，得q＝2，a1＝1，则a3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．

πππ

2. 解析：由函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移φ?0＜φ＜?个单位后，得到函数36?2???

πππ

f(x)＝sin(2x＋－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，－2φ＝＋kπ，而φ为锐角，则k＝

662π

－1时φ＝.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．

32b

3. 解析：函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, 3x

1?1，＋∞?，＋∞?上单调递增，f′(1)＝2，得a－b＝2，由函数f(x)在区间?f′(x)≥0在区间?2??2?

a2

上恒成立，得≥b，又a＝2＋b，则b≤.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中

43

的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．

72

4. 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a－2)＋b－a，当3a－2＝0时，即a＝，则有b33

272

－a≤1，即b≤a＋1，所以a＋b≤2a＋1＝2×＋1＝；当3a－2＞0，即a＞时，函数f(m)

333

在[0，1]上单调递增，f(m)max＝f(1)＝3a－2＋b－a＝2a＋b－2≤1，则b≤3－2a，所以a＋b≤a

72

＋3－2a＝3－a＜；当3a－2＜0，即a＜时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max＝f(0)

33

77

＝b－a≤1，则b≤a＋1，所以a＋b≤2a＋1＜.综上所述，a＋b的最大值为.本题主要考查

33

在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．

sinAsinB

5. 1 解析：由tanA＝2tanB＝2，结合正、余弦定理转化为边的关系，有cosAcosB

2abc2abc1

化简有a2－b2＝c2，结合已知条件有c＝1.本题主要考查利用正、222＝2×222，3b＋c－aa＋c－b

余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．

x＋y51xx1y1y

6. 解析：将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，42xy＋12xx＋2y22x2yx

1＋x

1＋t2t2＋3t＋31（1＋2t）2＋2t＋1＋41141

则原式＝＋＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥×

2441＋2t2（1＋2t）41＋2t1＋2t

415121

2（1＋2t）·＋＝，当且仅当t＝时，即x＝，y＝时，取“＝”．本题主要考

2331＋2t44

查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．

11

7. 解析：因为g(x)＝x2＋2bx在区间(a，b)上为单调增函数，所以f(x)＝x3－2ax在23

区间(a，b)上单调减，故

b2

x∈(a，b)，f′(x)＝x－2a≤0，即a≥，而b＞a，所以b∈(0，

2

2

b2111

2)，b－a≤b－＝－(b－1)2＋，当b＝1时，b－a的最大值为.本题主要考查二次函

2222数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.

8. 4 解析：由a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，得q3＝2，则a7 ＝a1(q3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．

2

9. π 解析：由a＋b＝(1，2)，得(a＋b)2＝3，则1＋4＋2a·b＝3，a·b＝－1＝|a||b|cos3

12

θ，cosθ＝－，则θ＝π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属

23

于容易题．

10. －2 解析：由圆x2＋y2－2ax＋a＝0的圆心(a，0)，半径的平方为a2－a，圆心到直线ax＋y＋1＝0的距离的平方为a2＋1，由勾股定理得a＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．

11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log2x<0或log2x>2，解得04，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．

ππ312. 解析：易知y＝sin2(x＋φ)，即y＝sin(2x＋2φ)，∵ 图象过点?，?，∴

6?62?πππ2πππ3

sin?＋2φ?＝，∴ ＋2φ＝＋2kπ或＋2φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝kπ或φ＝

33336?3?2

π

＋kπ，k∈Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值为.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题

6

属于中等题．

→→??ABAC5→?，＋13. 解析：∵ AO为△ABC的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO＝λ?8→→??AB

AC??

1

λ＝x，2→1→1→→→

即AO＝λAB＋λAC，∴ ①.若AB边上的中线与AB交于点D，则AO＝2xAD

231

λ＝y3

315→

＋yAC.∵ C、O、D三点共线，∴ 2x＋y＝1 ②，由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝.本题

848

考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．

－

14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝ex1＋x－2在R上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x1

x2＋32

＝1，则|1－x2|≤1解得0≤x≤2，∴ x－ax－a＋3＝0在x∈[0，2]上有解，∴ a＝在

x＋1

（t－1）2＋34

x∈[0，2]上有解．令t＝x＋1∈[1，3]，则x＝t－1，a＝，即a＝t＋－2 在[1，

tt

2]上递减，在[2，3]上递增，则当t＝2时a的最小值为2，当t＝1时a的最大值为3，∴ a的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．

1

15. 解析：连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，则事件“两次向上的数字之

6

1

和等于7”共有6种，则其发生的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易

6

题．

510

16. 5 解析：三个圆锥的底面周长分别为π，π，5π，则它们的半径r1，r2，r3依

33

||||

?

??

555

次为，，，则r1＋r2＋r3＝5.本题考查圆锥的侧面展开图中弧长与底面圆周长的关系．本

632题属于容易题．

312

17. － 解析：由sinθ－2cosθ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，θ是第三象限角，得sin

25524731

θ＝－，cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝－.本题考查同角的三角函数关系．本题属于

252525容易题．

18. 5或6 解析：由a5＝15，a10＝－10，得d＝－5，则an＝40－5n，Tn＝3(an＋ an＋5)＝15(11－2n), 则|Tn|取得最小值时的n的值为5或6.本题考查了等差数列的通项公式以及性质．本题属于中等题．

19. 18 解析：由直线l1和直线l2将圆分成长度相等的四段弧，r＝22，知：直线l1和直线l2之间的距离为4，圆心到直线l1、直线l2的距离都为2，可得a＝22＋1，b＝1－22，

22

则a＋b＝18.本题综合考查了直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式．本题属于中等题．

1

20. 解析：由|sinx|－kx＝0有且只有三个根，又0为其中一个根，即y＝kx与y＝|sinx|

2

y0

相切，设切点为(x0，y0)，由导数的几何意义和斜率公式得－cosx0＝，即得tanx0＝x0，

x0

.本题综合考查了函数的图象变换，导数的几何意义和斜率公式，三角变换等内容．本题综合性强，属于难题．

4211218a121. 4＋ 解析：将b＝代入y＝＋＝＋，其中

34a41－a1－b1－a4a－1181312＝2，代入y＝＋，得y的最小值为42－2＝0，则a＝－＋24（1－a）（4a－1）1－a1－b42＋.本题综合考查了代数式变形，以及利用导数求最值．本题属于难题．

3

3111

×1×1?×1＝22. 解析：设O到平面VAB的距离为h，由VVOAB＝VOVAB得×??33?23

313

×?×2×2×?×h ，则h＝.本题考查了等积法求点到平面的距离，属于容易题．

32??2

1＋323. 解析：设AB＝BC＝2，由题意知2c＝2，23－2＝2a，则c＝1，a＝3－

2

1＋3

1，则双曲线的离心率为.本题考查了双曲线的定义及离心率求法．本题属于容易题．

2

24. 8 解析：b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，由b3－b2＝1，则b2＝－3，而b2＝a3－a2＝－3，得a2＝4.又b2－b1＝1，则b1＝－4，而b1＝a2－a1＝4－a1＝－4，则a1＝8.本题考查了利用列举法借助递推公式求数列中的项，属于容易题．

a23?25. ?0， 解析：设△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得

sinA3??

casinC2323?＝，则＝c，即c＝sinC.又0

23?的取值范围为?0，.本题考查了利用正弦定理将向量问题转化成解三角形问题，属于中

3??

等题．

26. 5 解析：题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题．

32

27. 14 解析：因为圆心C到直线l的距离d＝>2，所以直线l与圆C相离．因为

2

→→→→→→

点P在直线l上，两点A，B在圆C上，所以|PA|>0，|PB|>0.因为PA·PB＝|PA|·|PB|·cos

→→

θ≤0，所以cosθ≤0，所以PA与PB的夹角∠APB为钝角或直角．因为圆C上存在两点A，

→→

B，使得PA·PB≤0，所以只要PA，PB分别与圆C都相切时使得∠APB为钝角或直角，此时点P所在的线段长即为线段EF长度的最大值．当PA，PB分别与圆C都相切时，在Rt△CAP中，当∠APB为直角时，∠CPA＝45°，CA＝2，则PC＝22.所以，线段EF长度的最大值为2PC－d＝22232?

（22）－?＝14.本题考查了直线与圆的位置关系、向

?2?

2

2量数量积等内容．本题属于难题．

1?28. ??e，1? 解析：① 当t≥1时，f(t)＝lnt，即lnt≤kt对于t∈[1，＋∞)恒成立，所以

1－lntlntlntlnt

k≥，t∈[1，＋∞)．令g(t)＝，则g′(t)＝2，当t∈(1，e)时，g′(t)>0，则g(t)＝

tttt

lnt

在t∈(1，e)时为增函数；当t∈(e，＋∞)时，g′(t)<0，则g(t)＝在t∈(e，＋∞)时为减函

t

11

数．所以g(t)max＝g(e)＝，所以k≥.② 当0

ee

于t∈(0，1)恒成立，所以k≥－(t－1)2，t∈(0，1)，所以k≥0.③ 当t≤0时，f(t)＝t(t－1)2，

1

即t(t－1)2≤kt对于t∈(－∞，0]恒成立，所以k≤(t－1)2，t∈(－∞，0]，所以k≤1.综上，e

≤k≤1.本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题．

29. 3 解析：三棱锥MPAD的底面MAD的面积为3，高PA＝3，则体积为3，本题主要考查锥体的体积公式，属于容易题．

5?

30. 7.5 解析：作出可行域发现最优解为??4，5?，则目标函数z＝2x＋y的最大值为2.5＋5＝7.5.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题．

31. 2 解析：由4x＋2x－2＝0，得2x＝1，所以x＝0，则a－b＝(0，2)，|a－b|＝2.本题考查了指数方程，向量数量积的坐标运算及模的求法．本题属于容易题．

44

32. 117 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则q2

99

444

＋q4＝40，则q＝3，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝＋40，a1＋a2＋a3＋(a1＋a2＋a3)q3＝＋40，999

a7＋a8＋a9113113

得a1＋a2＋a3＝，则＝(a1＋a2＋a3)q6＝××93＝117.本题考查了等比数列中

99999

的整体思想求和，属于中等题．

7＋433→→→→→→33. 解析：(解法1)设AB＝a，AD＝b，则BC＝－a＋b，设BP＝λBC，则AP＝

44333→→→

1－λ?a＋λb.因为AP＝ma＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋nAB＋BP＝??4?44

311113nm373nm7＋43m＋n??＋?＝1＋＋＋≥＋2＝1，＋＝?·＝.(解法2)以A为原点，4??mn?mn?4mn444mn4

→→

AB为x轴，AD为y轴建系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，设BP＝λBC＝(－3λ，4λ)，→→→→→→

则AP＝AB＋BP＝(4－3λ，4λ)．因为AP＝mAB＋nAD＝(4m，4n), 所以有 4－3λ＝4m，4

3

λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下同解法1)．本题考查了平面向量的线性表示或坐标运算，利

4

用基本不等式，运用“1”的代换求最值．本题属于中等题．

20

－，4? 解析：设P点坐标为(x，y)，∵ PB＝2PA，∴ PB2＝4PA2，即(x－4)234. ??3?

＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，整理得3x2＋3y2＋8x－16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心

?－4－b?

?－4，0?，r＝8.因为P点有且只有两个，所以直线和圆相交，故?3?<8，解得?3?323

20

－，4?.(方法2)因为P在直线x＋3y－b＝0上，所以3y＝－x＋b，代入3x2＋3y2b∈??3?

＋8x－16＝0，得4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0.因为P点有且只有两个，所以方程有两个不相

20

－，4?.本题考查了直线与圆的位置等的根，即Δ>0，整理得3b2＋8b－80<0，所以b∈??3?

关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题．

35. [－3，e2] 解析：① 当x＝0时，0≥0，所以k∈R.② 当x<0时，2x2－3x≥kx，同除以x，即k≥2x－3恒成立，所以k≥－3.③ 当x>0时，ex＋e2≥kx，同除以x，即

ex＋e2ex＋e2（x－1）ex－e2k≤恒成立，令g(x)＝，下面只需求出g(x)的最小值．g′(x)＝，

xxx2令g′(x)＝0，即(x－1)ex－e2＝0.令h(x)＝(x－1)ex－e2，h′(x)＝xex>0，所以h(x)在x∈(0，＋∞)上是单调递增函数．显然x＝2是方程(x－1)ex－e2＝0的根，由单调性可知x＝2是唯一实数根．当x∈(0，2)时g(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(2)是函数g(x)的最小值，且g(2)＝e2，所以k≤e2.综上，实数k的取值范围是[－3，e2]．本题突出了函数思想和分类讨思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．

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