山东科技大学概率论卓相来岳嵘第一章习题解析

习 题 一

1.写出下列随机试验的样本空间：

（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. 1.（1）S??10,11,?; （2）S??(x,y)x2?y2?1?，

,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111?.其中0表示次品，1（3）S??00,100,0100,0101表示正品.

2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.”

2.【解】（）1???12，，3，4，5，6?，A??13，，；5?

(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?, 3.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生，B与C不发生. （2）A与B都发生，而C不发生. （3）A,B,C中至少有一个发生. （4）A,B,C都发生. （5）A,B,C都不发生.

（6）A,B,C中不多于一个发生. （7）A,B,C中不多于两个发生. （8）A,B,C中至少有两个发生.

3.【解】（1） ABC （2） ABC （3）A∪B∪C （4）ABC (5) ABC (6) AB?AC?BC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) ABC∪ABC∪ABC∪ABC= AB∪BC∪CA.

4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”.

（1）说出事件ABC的含义；

（2）什么时候有恒等式A?B?C?C； （3）什么时候关系式C?B正确； （4）什么时候等式A?B成立.

4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.

5.盒中有10只晶体管. 令Ai表示“10只晶体管中恰有i只次品”， B表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件Ai(i?0,1,2,3)，

B，C之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？

BB5. Ai?B,i?0,1,2,3；A0,A1,A2,A3,C两两互不相容，与C互不相容；与C互

逆。

6. A,B是任意两个事件，化简下列式子 （1）?AB?ABABAB； （2）AB?AB?AB?AB?AB. 6. （1）?； （2）AB.

7.若P(A)?0.5，P(AB)?0.2，P(B)?0.4，试求

（1）P(AB)；（2）P(A?B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB). 7. （1）因为P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)，故

??????P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4?0.2?0.2；

（2）P(A?B)?P(A)?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.3； （3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7；

（4）P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?0.3.

8.观察某地区未来5天的天气情况，记Ai为事件“有i天不下雨”，已知

P(Ai)?iP(A0),i?1,2,3,4,5，求下列事件的概率.

(1) 5天均不下雨； （2）至少有一天不下雨； （3）至多三天不下雨.

8.易知A0,A1,???,A5两两互不相容且A0?A1?????A5?S，所以

1?P?S??P?A0?A1?????A5??P?A0??P?A1???P?A5?

?P?A0??P?A0??2P?A0???5P?A0??16P?A0?

于是得P?A0??1/16，P(Ai)?i/16,i?1,2,3,4,5.

记（1），（2），（3）所表示的事件分别为A,B,C，则 （1）P?A??P?A0??1/16； （2）P?B??1?P?A0??15/16

（3）P?C??1?P?A4??P?A5??1?4/16?5/16?7/16. 9. 设A,B是两事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7，问 （1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

9. （1）A?B时，P(AB)取到最大值0.6 （2）P(A?B)?1时，P(AB)取到最小值0.3。

10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比.

10.0.3

11. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

533211. p=C13C13C13C13/C1352

12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 12.设A,B,C分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则

4?3?23?； 4384?1?11P(C)?3?；

416319P(B)?1?P(A)?P(C)?1???.

81616P(A)?13. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2，?，9）.

13. 这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有A10种排法,故所求概率为P?A10/10.

44414.概率： （1）五个人的生日都在星期日； （2）五个人的生日都不在星期日； （3）五个人的生日不都在星期日.

14.（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

P（A1）=

115

=（） 757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

). 715.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

915. 与次序无关,是组合问题.从17桶油漆中取9桶,有C17种取法. 由乘法原理,取4桶

432C10C4C3252. P??9C172431白漆、3桶黑漆和2桶红漆的取法为CCC4103423种,所以所求概率为

16.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200个. （1）求恰有10个次品的概率； （2）求至少有2个次品的概率.

10190001199C400C1100C12100?C400C110016.（1）；（2）1?. 00200C1250C1500017. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3

只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

17.将部件从1到10编号，Ai表示“i号部件强度太弱”，故

P(Ai)?因A1,A2,11?,i?1,2,3C5019600,10.

,A10两两互不相容，因此10个部件中有一个部件强度太弱的概率是

P?P?A1?A2??A10??P?A1??P?A2???P?A10??101?.

19600196018. 从1至9这九个数中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的三个数之积能被10整除的概率．

18.解 设“所取的3个数中含有数字5”为事件A1, “所取的3个数字中含有偶数”为事件A2,

“所取的3个数之积能被10整除”为事件A,则A= A1 A2,故

P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)854?1?()3?()3?()3?0.214.99919.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

19. 记9点为计算时刻的0时，以分钟为单位．设甲、乙两人到达指定地的时刻分别为x、y，则样本空间S是0?x,y?60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于

x?y?30.如图阴影部分所示.

题19图

3021P?2?.

604 20.

0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于

20. 设两数为x,y，则0?x,y?1.

144617（1）x?y<，p1?1?255??0.68.

5125

(2)xy<

1?1?111，p2?1???1dx?1dy???ln2. 44x?4?42 21.设一个质点一定落在xoy面内由x轴、y轴及直线x?y?1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成比例.计算这质点落在直线x?21.

1的左边的概率. 35. 922.甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公

,301:,45,2:00.如果他们约定（1）见车就乘；共汽车，它们的开车时刻分别为1:151:（2）最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，

且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.

22.（1）

41105?； （2）? 16416823.已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求PBA?B.

23. 0.25.

24.某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率.

24.0.72

25.一批零件共100个，次品率为10%.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.

25.0.0083.

26.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P{孩子得病}?0.6，P{母亲得病/孩子得病}?0.5，P{父亲得病母亲及孩子得病}?0.4. 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.

26.0.18. 27. 假设n张体育彩票中只有一张“中奖”, n个人依次排队摸彩（不放回），试求 （1）已知前k?1(k?n)个人都未“中奖”，求第k个人“中奖”的概率； （2）求第k(k?n)个人摸彩时“中奖”的概率.

27.（1）在缩小的样本空间考虑，

??11；（2）积事件的概率，.

nn?k?1

28.两台车床加工同样的零件。第一台加工后的废品率为0.03，第二台加工后的废品率为0.02.加工出来的零件放在一起，已知这批加工后的零件中由第一台车床加工的占

2，由31第二台车床加工的占.求从这批零件中任取一件得到合格品的概率.

328. 0.973.

29.第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球.求取到白球的概率.

29.

53 99

30.有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18

只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.求（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.

30.（1）0.4；（2）0.4856.

31.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

31.

20. 2132.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品时，产品确是合格品的概率是多少.

32. 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0533..统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

33. 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}，则由贝叶斯公式得

P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A)?

P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057.

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.334.张三欲与李四通话，李的机子为分机电话，假设张接通总机的概率为80%，李的分机占线的概率为10%，求张三与李四通话的概率.

34. 0.72.

35..设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

35. 设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124.

36.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

36. 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

P(Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 53437.一工人看管三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，试求在一小时中

（1）没有一台机床需要照看的概率？ （2）至少有一台机床不需要照看的概率？ （3）至多只有一台机床需要照看的概率？

37.（1）0.003；（2）0.388.（3）0.059.

38.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.

38. 0.75. 39.0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率.

39. 设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458.

* * * * *

40. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. 40. 因为

P(AB)?P(A)?P(B?)P(A BP(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)

所以 P(AB)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A).

41.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的

号码.（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率.

2C52C41141.（1）3?；（2）3?.

C1012C102042.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

4111C5C1CCC8013222242. p?1??1?? 4C102102143.在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列

结果为ability的概率.

43.

2?2?0.0000024. 7A1144.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

44. （1）

191981141431??????0.3；（2）??????0.6. 10109109855454345.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后

仍为“MAXAM”的概率.

45.

3. 5

45.解 字母脱落2个有5种：脱落MX，AX，MA，AA，MM，分别记为Ai，放回后仍为

2“MAXAM” 记为B.脱落的总数C5?10，

P?A1??P?A2??241PA?PA?PA???????345，， 1010101P?B/Ai??,i?1,2,3，P?B/Ai??1,i?4,5

2由全概率公式

P?B???P?Ai?P?B/Ai??i?153 546.设一个口袋中有6个球，令B1,B2,B3依次表示这6个球分别为4红，2白；3红，3白；2红，4白.设验前概率为P(B1)?到白球，求相应的验后概率.

63846. ;;.

171717111,P(B2)?,P(B3)?.现从这口袋中任取一球，得26346. 解P?A/B1??由全概率公式

112PA/B?PA/B?2?3?，?，?， 323P?A???P?Bi?P?A/Bi??i?1317 36P?B1/A??P?B1?P?A/B1?6P?B2?P?A/B2?3?，P?B2/A???，

P?A?17P?A?17P?B3?P?A/B3?8P?B3/A???.

P?A?1747.随机地向半圆0

2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的

概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4

47.利用几何概率来求，图中半圆面积为

1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为

π212a?a42?1?1. p?122ππa248. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

48.设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知

P（A）=0.8，P（A）=0.2，

又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%

(2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

49.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

19649..

197

49.【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

P(AC)? ?50.

P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

2/3?0.98196??0.99492

2/3?0.98?1/3?0.01197

50. 设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=出一球为白球}.由贝叶斯公式知

1,i=0,1,2.又设B={抽3P(BA1)P(A1)P(A1B) P(A1B)??2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31?.

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3351. 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？

51.【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}，B={这只硬币为正品}，由题知

P(B)?mn,P(B)?， m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1

2则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)? P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1rmm?n2 ?. ?rm1nm?2n?1rm?n2m?n52. 甲、乙、丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二次比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者，若甲、乙、丙胜每局的概率各为1/2，问甲、乙、丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？ 52.

552;;. 14147附52.题解答: 设A表示甲胜,B表示乙胜,C表示丙胜，则这种比赛的可能结果为:

AA,ACC,ACBB,ACBAA,ACBACC,ACBACBB ? BB,BCC,BCAA,BCABB,BCABCC,BCABCAA,? 在这些结果中，恰好包含k个字母的事件发生的概率应为

11，如，P(AA)?2k22P(ACBB)?1，则整场比赛中丙胜的概率为 42P(C)?[P(ACC)?P(BCC)]?[P(ACBACC)?P(BCABCC)]??2?111?2??2??369222?111?5?8?2222

122?2?;11?372由于甲、两人所处的地位对称，所以得P(A)?P(B)?

125(1?)?. 2714

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