经管高数（下）毕业补考练习题

经管《高等数学》（下）毕业补考练习题

一、填空题。

xln(x?y)的定义域为______________．{(x,y)x?0,x?y?0} ln(x?y)2、函数z?的定义域为____________________．{(x,y)x?0,x?y?0}

xsin?xy?3、极限lim= ???????____．2 x?0xy?21、二元函数z?4、极限极限limsin(xy)?_____________.3

x?0xy?3xy5、设z?e，则dz?_____________________．dz?exy(ydx?xdy)

6、设函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)? .dz(1,0)?2edx?(e?2)dy

??????7、已知向量a?(0,1,2),b?(1,2,1)，则a?b? ．a?b?0?1?1?2?2?1?4

8、微分方程y???2y??8y?0的通解是y? .y?C1e?4x?C2e2x 9、Oxy平面上的曲线y2?2x?0绕x轴旋转一周所得曲面方程为 ．

y2?z2?2x?0

10、Oxz平面上的曲线z?x?0绕x轴旋转一周所得曲面方程为 ．

2y2?z2?x?0

311、 曲线x?t，y?t2，z?t在t??1处的法平面方程为 ．

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0或x?2y?3z?6?0

二、计算题

x?z?z21、设z?ulnv，而u?，v?3x?4y，求,。

y?x?ydz2、设z?uv?sint，而u?e，v?cost，求全导数.

dtt3、设z?f?x,y?是由方程

?z?zxz?ln确定的隐函数，求，.

?x?yzy?z?z，。 ?x?yz4、设函数z?z(x,y)由方程e?z?xy?1所确定，求

5、计算二重积分I?xy(1??)dxdy，其中D：?2?x?2,?1?y?1． ??43D第 1 页 共 7 页

6、计算

???3x?2y?d?，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域。

D2xy??d? ，其中D是单位圆在第一象限的部分. D7、计算二重积分I?8、计算二重积分

???Dx2?y2d?，其中D?{(x,y),4?x2?y2?9}.

2n9、判定级数? 的敛散性. nn?1n?31222n2????n??的敛散性． 10、判别级数

2222xn11、求出幂级数?收敛半径和收敛域。

n?1n(n?1)?12、求幂级数

?(?1)n?1?n?1xn的收敛半径和收敛域. n13、将函数f(x)?14、将函数f(x)=1展开成(x?2)的幂级数. x?11展开成(x+4)的幂级数. x+115、求函数f(x,y)?2xy?3x2?2y2?10的极值，并问是极大值还是极小值？ 16、求函数f(x,y)?y?x?6x?12y?5的极值． 17、求微分方程y???2y??3y?0的通解. 18、解微分方程x32dy?y?2x2,yx?1?0. dx1sinxy?的通解. xxx?1z?2?y?2?20、求过点(1,1,1)且平行于直线的直线方程． 2219、求方程y??

二、计算题答案

1、设z?ulnv，而u?2x?z?z，v?3x?4y，求,y?x?y。

?z?z?u?z?v2x3x2???2ln(3x?4y)?2?x?u?x?v?xy(3x?4y)y解： ?z?z?u?z?v?2x24x2???3ln(3x?4y)??y?u?y?v?yy(3x?4y)y2

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2、设z?uv?sint，而u?e，v?cost，求全导数解：

tdz. dtdz?zdu?zdv?z?vet?usint?cost ?????dt?udt?vdt?ttt ?ecost?esint?cost?et(cost?sint)?cost. 3、设z?f?x,y?是由方程

解：记F?x,y,z?? Fx???z?zxz?ln确定的隐函数，求，.

?x?yzyxz?ln，则 zy?x1x?zy?z?1???F????， ??z222?zzzz?yy??1F??zz 当Fz??0时，便得， ??x??z?x?z??xFzx?z?2z1Fy??zz2y?????

x?zy?x?z??yFz??2z?z?z4、设函数z?z(x,y)由方程ez?z?xy?1所确定，求，。

?x?y1，Fy???z解：设F(x,y,z)?ez?z?xy?1

Fx??y,Fy??x,Fz?ez?1

zx??FyFxyx， ?z???yzzFz1?eFz1?exy(1??)dxdy，其中D：?2?x?2,?1?y?1． ??43D解： 积分区域是矩形，这时既可将D看成X型区域，先对y，再对x积分，也可以看成Y区域，先对x再对y积分．

5、计算二重积分I?2xyxy21I??dx?(1??)dy??[(1?)y?]?1dx

?2?1?243462xx22?2?(1?)dx?(2x?)?2?8．

?244121xyyx22]?2dy 或 I??dy?(1??)dx??[(1?)x??1?2?143381y221=4?(1?)dy?(4y?y)?1?8．

?13321第 3 页 共 7 页

6、计算

???3x?2y?d?，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域。

D22?x解：

???3x?2y?d???0dx?0?3x?2y?dy

D ???3xy?y?2022?x0dx??4?2x?2x2dx

022??23?20?2 ??4x?x?x??。

33??0 7、计算二重积分I?2， xy??d? ，其中D是单位圆在第一象限的部分（如图）D

解: 利用极坐标，区域D可表示为0???y?2,0?r?1,

r=1Ox

因而

?0I??2d??rcos?(rsin?)2rdr01???201cos?sin2?d??r4dr?sin3?031?02?r5510?1.15

8、计算二重积分

??Dx2?y2d?，其中D?{(x,y),4?x2?y2?9}.

2?r?3 解：用级坐标求解，0???2?， 所以

??Dx2?y2d???d??r?rdr?022?338? 32n9、判定级数? 的敛散性. nn?5n?1?un?12n?1n?5n2解： 因为 lim?lim?n??1，

n??un??(n?1)?5n?125n所以由比值判别法知所给级数收敛．

1222n2?2???n??的敛散性． 10、判别级数

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解 因 limun?1n??un(n?1)22n?11?n?1?12=?limlim??1， ??2n??n??n2?n?22n由比值判别法，此级数收敛．

xn11、求出幂级数?收敛半径和收敛域。

n?1n(n?1)?解：limn??an?1?limn??an1(n?1)(n?2)?1，所以收敛半径R?1

1n(n?1)?n当x??1时，级数成为?（?1）n＝11，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛；n(n?1)??当x?1时，级数成为?11111，??2,?2收敛，则?收敛。n(n?1)n(n?1)nnn(n?1)n?1n?1n?1?

所以原级数收敛域为[?1,1].

12、求幂级数

?(?1)n?1?n?1xn的收敛半径和收敛域. n解：∵??limn??an?111n?lim(/)?lim?1，∴R?1， n??n??ann?1nn?1??1n?11当x??1时，级数为?(?)发散，当x?1时，级数为交错级数???1?收敛。

nnn?1n?1故原级数的收敛域为(?1,1]。

13、将函数f(x)=1展开成(x+2)的幂级数. x+1?111解： f(x)???????(x?2)n，

x?1?1?(x?2)1?(x?2)n?0x?2?1??3?x??1

14、将函数f(x)=1展开成(x+4)的幂级数. x+1x?1

?12解：?1?x?x????xn1?xn?0第 5 页 共 7 页

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