第二章 预备知识

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第二章

预备知识

非线性系统分析

&=f(x)+g(x)ux

如何分析非线性系统？

一般得不到解析形式的解

通过解的几何特征或代数特征来研究非线性系统的动态变化规律性系统的动变化规律

kl解的状态空间：多变量函数曲面R→R

如何得到解的几何或代数特征？

非线性Î线性系统的形式

如何将非线性系统转换为线性形式

仿射非线性系统

&= f ( x )+ g ( x )u x状态变换 z= T ( x ) T T T&=&= z x f (x )+ g (x )u x x x?

T x f ( x )= AT ( x )有解以上命题 T g (x )= B x

&= Az z A+ Bu B

重点概念

微分同胚

李括号，李导数

分布，对合分布，协分布分布对合分布

伏柔贝尼斯定理协分布

基础概念

光滑映射设为 U R k,V R l开集，如果映射f: U→ V的所有 n f偏导数存在且连续，则称映射f为光滑 xi1, L, xin

的。

光滑流形向量空间中适当光滑的曲面光滑流形：向量空间中适当光滑的曲面

微分同胚：如果X到Y的映射f是一个同胚映射，且f和其逆映射f-1均是光滑的，则称x到y的映射是微分同胚的

同胚映射：一一对应的连续映射，同时其逆映射也是连续的。

微分同胚本质上是线性代数或线性系统理论中线性变换的进一步推广。

定义为

的单位球面 S 2 R 3是一个二维的光滑流形。微分同胚映射 2 2 ( x1, x2, x3 )→ ( x1, x2, 1 x1 x2 )

2+ x 2+ x 2= 1}{( x1, x 2, x3 ): x1 2 3

2+ x2<1 2∩{ x> 0} x S在 1将该区域参数化为区域 3 2

通过交换 x1, x 2, x3的位置和根的符号,我们可以覆盖整个 S 2。

微分同胚的判断条件映射 y= f ( x ) 连续可微 雅可比(Jacobi)矩阵

f ( )可逆 x

李括号和李导数

－用向量场定义非线性系统分析中两个最重要的运算用向量场定义非线性系统分析中两个最重要的运算

李导数的概念

实质：函数h在向量场x方向的变化率 李括号的概念

从多变量的角度理解李括号和李导数，从而很容易看出这两种运算的具体形式 李括号的三大性质

Lx h ( p )= X ( h)( p )

m h h L f h( x )= f (x )=∑ f i (x ) x i=1 xi

[ X, Y] p ( h)= X pY ( h) Y p X ( h)

如果在局部坐标系 ( x1,..., xm )下，向量场表示为下向量场表示为

f g[ f, g](x )= f x x

m g f (x ) g ( x )=∑ fi gi xi i=1 xi

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李括号的三种性质

分布

给定一组光滑向量场X1,X2,K,Xm,定义其分布

Δ(x)= span{ }X1,X2,K,Xm

其中span表示张成的意思，也即Δ(x)是由X1,X2,K,Xm经过线性组合形成的子空间，其元素可表为下列形式

α1X1(x)+α2X2(x)+L+αmXm(x)

其中所有αi均为纯量。

正则分布

X(x)是由（X1,X2,K,Xm）定义的矩阵 如果秩m(x)在x 的一个邻域内是常数，则称x为分布的正则点否则称为是奇异点分布的正则点，否则称为是奇异点。

如分布在每一个点是正则的，称分布是正则的。

对合分布

若对Δ(x)的任何两个向量场若对()的任何两个向量场τ1，1τ2均有[τ1，1τ2]∈ Δ(x)，则称Δ(x)为封闭的 对合性：即向量函数在李括号运算内封闭性的判断

判断：判断

求所有基向量的两两之间的李括号运算 判断李括号运算后是否仍在原空间，即运算是否具有封闭性

协分布：以Δ(x)的零化子为基构成的分布

⊥Ω＝ΔΩΔ；ωf；ωf≡00,其中ω∈Ω,f ∈ Δ其中ω∈Ωf∈Δ

伏柔贝尼斯定理

一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的可积： λ j存在n-d个独立解本质将复杂的偏微分方程可解性问题转化为简本质：将复杂的偏微分方程可解性问题转化为简单的分布或向量函数集合的对合性判断问题，而后一问题只需通过求向量场间的李括号和检验对合条件是否满足即可

x

( X 1 (x ),L, X d (x ))≡ 0

偏微分方程的求解求d个偏微分方程 λj ( X 1 ( x),..., ) X d ( x))≡ 0 (2.24) x是否存在n-d个独立解。先求Λ ( x) X ( x)= 0则问题转化为求解下列线性偏微分矩阵方程 T=Λ ( x) x

如果上述方程存在充分光滑的解，则其二阶偏导数存在且可交换 2Ti 2Ti x j xk=

xk x j

对于本例中的向量函数集合，容易求得Λ(x)具有形式

Λ(x)=Λ0(x)(2, x2x3, 8x312 4x3(x3 3x2))T

(2.30)

其中Λ0(x)是适当的连续光滑函数，称之为积分因子(对于多维情形，相应地为一非奇异矩阵)，其选取必须确保Λ(x)满足可积性必要条件条(2.29)。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w0tj.html