大学物理课后习题9

习题9

9.1选择题

(1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零，

则Q与q的关系为：（）

（A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q

[答案：A]

(2)下面说法正确的是：（）

（A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷；

（B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零；

（C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷；

（D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。

[答案：A]

(3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（）

（A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0

[答案：C]

(4)在电场中的导体内部的（）

（A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零；

（C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。

[答案：C]

9.2填空题

(1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。

[答案：零]

(2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中

心向外移动至无限远，则总通量将。

[答案：q/6ε0, 将为零]

(3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。

[答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命]

(4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。

[答案：1：5]

9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解: 如题9.3图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷

1

2 20220)33(π4130cos π412a q q a q '=?εε

解得 q q 3

3-=' (2)与三角形边长无关．

题9.3图 题9.4图

9.4 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题9.4图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，

求每个小球所带的

解: 如题9.4图示

??

???===220)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =

9.5 根据点电荷场强公式204r q

E πε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→

∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解

?

解: 020π4r r q

E ε=仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

9.6 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =202

4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S

q E 0ε=，所以f =S

q 02

ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少

?

3

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S

q E 0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε=，另一板受它的作用力S q S q

q f 02

022εε==，这是两板间相互作用的电场力．

9.7 长l =15.0cm AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9 C/m 的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．

解： 如题9.7图所示

(1) 在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为20)

(d π41d x a x E P -=λε 2220)

(d π4d x a x E E l l P P -==??-ελ 题9.7图

]2

121[π40l a l a +--=ελ )4(π220l a l -=

ελ 用15=l cm ，9100.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得

21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右 (2) 2

2

20d d π41d +=x x E Q λε 方向如题9.7图所示 由于对称性?=l Qx E 0d ，即Q E 只有y 分量，

∵ 2

2222

220d d d d π41d ++=x x x E Qy λε

4 2

2π4d d ελ?==l Qy Qy E E ?-+2223222)d (d l l x x

=

以9100.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

21096.14?==Qy Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向

9.8 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如9.8图在圆上取?Rd dl =

题9.8图

?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

2

0π4d d R R E ε?λ=方向沿半径向外 则 ??ελ?d sin π4sin d d 0R

E E x == ??ελ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -=

-= 积分R

R E x 000π2d sin π4ελ??ελπ

==? 0d cos π400=-=???ελπ

R

E y ∴ R

E E x 0π2ελ=

=，方向沿x 轴正向． 9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r

5

处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强

E 解: 如9.9图示，正方形一条边上电荷4

q 在P 点产生物强P E d 方向如图，大小为 ()

4π4cos cos d 22021l r E P +

-=εθθλ ∵ 22

cos 221l

r l

+=θ

12cos cos θθ-=

∴ 24π4d 22220l

r l l

r E P ++=ελ

P E d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥

∴ 424π4d 2222220l

r r l

r l

r l

E

+++=⊥ελ

题9.9图

由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为

2)4(π44d 422220l r l r lr

E E P ++=?=⊥ελ

∵ l q 4=

λ ∴ 2)4(π422220l r l r qr

E P ++=ε 方向沿

6

9.10 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?

解: (1)由高斯定理0

d εq S E s ?=? 立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴ 各面电通量0

6εq e =Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量0

6εq e =Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εq e =

Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．

如题9.10图所示． 题9.10 图

9.11 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×5

10-C/m 3求距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强．

解: 高斯定理0d ε∑?=?q S E s ,0

2π4ε∑=q r E 当5=r cm 时，0=∑q ,0=E

8=r cm 时，∑q 3

π4p =3(r )3内r - ∴ ()

2023π43π4r r r E ερ

内-=41048.3?≈1C N -?， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3

π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4?≈-=

r r r E ερ

内外 1C N -? 沿半径向外.

7

9.12 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑?=?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q

(2) 21R r R <<

λl q =∑ ∴ r

E 0π2ελ= 沿径向向外 (3) 2R r > 0=∑q

∴ 0=E

题9.13图

9.13 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ

，试求空间各处场

解: 如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ， 两面间， n E )(21210

σσε-= 1σ面外， n E )(21210

σσε+-= 2σ面外， n E )(21210

σσε+= n ：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．

8

9.14 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题9.14图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题9.14图(a)．

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ，

ρ- 球在O 点产生电场'd π4π343

0320OO r E ερ= ∴ O 点电场d 33

030r E ερ= ； (2) ρ+在O '产生电场'd π4d 3430301OO E ερ

π='

ρ-球在O '产生电场002='E

∴ O ' 点电场 0

03ερ='E 'OO

题9.14图(a) 题9.14图(b) (3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r '，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)

则 0

3ερr E PO =， 0

3ερr E O P '-=' , ∴ 0

003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P =='-=+=' ∴腔内场强是均匀的．

9.15 一电偶极子由q =1.0×10-6C

d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105 N/C

9

解: ∵ 电偶极子p 在外场E 中受力矩

E p M ?= ∴ qlE pE M ==max 代入数字

4536max 100.2100.1102100.1---?=?????=M m N ?

9.16 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8

C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?

解: ??==?=222

102120

21π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(21r r - 61055.6-?-=J

外力需作的功 6

1055.6-?-=-='A A J

题9.17图

9.17 如题9.17图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C

点，求移动过程中电场力作的

解: 如题9.17图示

0π41ε=O U 0)(=-R

q R q 0π41ε=O U )3(R q R q -R

q 0π6ε-= ∴ R q q U U q A o C O 00π6)(ε=

-=

9.18 如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心

O

10

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =

则θλd d R q =产生O 点E d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向

题9.18图

θεθλππ

cos π4d d 2220??-==R R E E y R 0π4ελ=［)2sin(π-2

sin π-］ R 0π2ελ-=

(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U

??===A

B 20

0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ 同理CD 产生 2ln π40

2ελ=U 半圆环产生 0

034π4πελελ==R R U ∴ 0

032142ln π2ελελ+=++=U U U U O

9.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104 m/s 的匀速率作圆周运动．求带电直线上

的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19

C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强

r

E 0π2ελ= 电子受力大小 r e eE

F e 0π2ελ=

=

11

∴ r

v m r e 2

0π2=ελ 得 132

0105.12π2-?==e

mv ελ1m C -?

9.20 空气可以承受的场强的最大值为E =30 kV/cm ，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d

=0.5cm

解: 平行板电容器内部近似为均匀电场

4105.1d ?==E U V

9.21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)

相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符

证: 如题9.21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，

2σ，3σ，4σ

题9.21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有 0)(d 32=?+=??S S E s

σσ ∴ +2σ03=σ

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

022220

4030201=---εσεσεσεσ 又∵ +2σ03=σ

∴ 1σ4σ=

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

12

9.22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2

，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0

mm ．B ，C 都接地，如题9.22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B

板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?

解: 如题9.22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ

题9.22图

(1)∵ AB AC U U =，即

∴ AB AB AC AC E E d d =

∴ 2d d 21===AC

AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A =

得 ,32S q A =σ S

q A 321=σ 而 711023

2-?-=-=-=A C q S q σC C

10172-?-=-=S q B σ (2) 30

1103.2d d ?==

=AC AC AC A E U εσV 9.23两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：(1) (2) *(3)

解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势??∞

∞==?=22020π4π4d d R R R q r

r q r E U εε

13

题9.23图

(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：

0π4π42020=-=R q R q

U εε

(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

0π4'π4'π4'

2

02010=+-+-=R q q R q R q U A εεε 得 q R R q 2

1=

' 外球壳上电势 ()22021202020π4π4'π4'π4'R q R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+

-=

9.24 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为

R d 3=处有

一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U

题9.24图

由电势叠加原理有：

=O U 03π4π4'00=+R

q R q εε 得 -

='q 3q

14

9.25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；

(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2

解: 由题意知 2

02

0π4r q F ε= (1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

2

q q =

', 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

q q 4

3='' ∴ 此时小球1与小球2间相互作用力 0022018348342

F r πq r π"q 'q F =-=εε (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为3

2q . ∴ 小球1、2间的作用力0029

4π432322F r q q F ==ε

9.26 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求：

(1)电介质内、外的场强；

(2)电介质层内、外的电势；

(3)金属球的电势．

解: 利用有介质时的高斯定理∑?=?q S D S

d (1)介质内)(21R r R <<场强

303π4,π4r

r Q E r r Q D r εε ==内; 介质外)(2R r <场强

15 303π4,π4r

r Q E r Qr D ε ==外 (2)介质外)(2R r >电势

r

Q E U 0r π4r d ε=?=?∞ 外 介质内)(21R r R <<电势

2020π4)11(π4R Q R r q

r εεε+-= )11(π420R r Q

r r -+=

εεε (3)金属球的电势 r d r d 22

1

?+?=??∞R R R E E U 外内 ??∞

+=222

020π44πdr

R R R r r Qdr r Q εεε )11(π42

10R R Q r r -+=

εεε 9.27 如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 解: 如题9.27图所示，充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E ，自由电荷面密度分别为2σ与1σ 由∑?=?0d q S D 得

11σ=D ，22σ=D

而 101E D ε=,202E D r εε=

d 21U E E =

= r d r d ?+?=??∞∞r r E E U 外内

16

∴ r r E E εεεεσσ==1

02012

题9.27图 题9.28图

9.28 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求：

(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；

(2)电介质中的总电场能量；

(3)圆柱形电容器的电容．

解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S

则 rlD S D S π2d )(=??

当)(21R r R <<时，Q q =∑

∴ rl Q D π2=

(1)电场能量密度 2

222

2π82l r Q D w εε== 薄壳中 rl

r Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222=== (2)电介质中总电场能量

??===211

222ln π4π4d d R R V R R l Q rl r Q W W εε (3)电容：∵ C

Q W 22

= ∴ )

/ln(π22122R R l W Q C ε==

17

题9.29图

9.29 如题9.29 图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：

AB U ．

解: 电容1C 上电量

111U C Q =

电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q =

∴ 35

5025231123232?===C U C C Q U 86)35

251(5021=+=+=U U U AB V 9.30 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V ”和“300 pF 、900 V ”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V ?

解: (1) 1C 与2C 串联后电容 120300

2003002002121=+?=+=

'C C C C C pF (2)串联后电压比 2

31221==C C U U ，而100021=+U U ∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．

9.31半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷Q =3.0×10-8C

18

(1)整个电场储存的能量；

(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；

(3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q

题9.31图

(1)在1R r <和32R r R <<区域

0=E

在21R r R <<时 301π4r r Q E ε =

3R r >时 302π4r

r Q E ε =

∴在21R r R <<区域 ?=2

1d π4)π4(21222001R R r r r

Q W εε ?

-==21)11(π8π8d 2

102202R R R R Q r r Q εε 在3R r >区域 ?∞

==32302220021π8d π4)π4(21R R Q r r r Q W εεε ∴ 总能量 )111(π83

210221R R R Q W W W +-=+=ε 41082.1-?=J

(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时30π4r

r Q E ε =,02=W ∴ 42

10211001.1)11(π8-?=-==R R Q W W ε J

19

(3)电容器电容 )11/(π422

102R R Q W C -==ε 121049.4-?=F

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