江西省南昌二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

南昌二中2015—2016学年度下学期期中考试

高二数学（理科）试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题： ①③

，②，④

其中假命题有：（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离（ ） 11A．2+C．1+

B．D．3

正视图侧视图，

23．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8 B.7

1 3C. 72 D.7 321俯视图

第5题图 第6题图 第7题图 积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A．

4．点?，?，C，D在同一个球的球面上，????C??C?3，若四面体??CD体

16928925? B．8? C．? D．? 1616165．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（ ）

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ） A．

B．

C．

D．

7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（ ） A． B． C． D．

8．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，BC?AA1?1，点M为AB1的中点，点P

1

Q可以重合）为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，，则MP?PQ的最小值为（ ）

A．

323 B． C． D．1

422

第9题图 第10题图 第11题图

9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ）

221 C． D．

42210．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，

A．2

B．

则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )

5?2?7? B． C．? D． 63611．如图，???，???l，A??，B??，A，B到l的距离分别是a和b，AB 与

?，?所成的角分别是?和?，AB在?，?内的射影长分别是m和n，若a?b，则

A．

（ ）

A．???，m?n B．???，m?n C．???，m?n D．???，m?n 12．如图，P是正方体ABCD?A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若

?PBD的面积为f(x) ，则f(x)的图象大致是（ ）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．在东经120?圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15?与北纬75?圈上，地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是 .

?ACB?90?，AC?6，BC?CC1?2，P14．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

是BC1上一动点，则CP?PA1的最小值是___________.

15．如图，在三棱锥A?BCD中，平面ABD?平面BCD，BD?2，BC?DC?AB?AD?2，O为BD中点，点P,Q分别为线段AO,BC上的动点（不含端点），且AP?CQ，则三棱锥P?QCO体积的最大值为________．

2

第14题图 第15题图 第16题图

BC的中点，Q为线段CC1的动点，过16．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，P为

A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 131①当0?CQ?时，S为四边形；②当CQ?时，S为等腰梯形；③当CQ?时，S与

24213C1D1的交点R满足C1R1?；④当?CQ?1时，S为六边形；⑤当CQ?1时，S的面

346积为 2三、解答题（共70分） 17．（10分）平面PAD?平面ABCD，ABCD为正方形，?PAD是直角三角形，且PA?AD?2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点．

（1）求证：PB//平面EFG；

（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为

4，若存在，求出DQ的值；若不存在，请说明理由． 5 18．(12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO?平面BB1C1C.

（Ⅰ）证明：B1C?AB;

（Ⅱ）若AC?AB1,?CBB1?60,BC?2, 求B1到平面ABC的距离. 19．（12分）如图，三棱锥P?ABC中，?ABC是正三角形，PC?平面ABC，PC?AC，E为AC中点，EF?AP，垂足为F.

(Ⅰ)求证：AP?FB；

（Ⅱ）求二面角A?FC?B的平面角的余弦值.

3

0

ABCD是菱形，AC20．（12分）如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面底面ABCD，AB?AA1?2．

（Ⅰ）证明：平面ACO?平面BB1D1D； 1（Ⅱ）若?BAD?60，求二面角B?OB1?C的余弦值．

BD?O，AO?1xy222?=1（）和圆，已知圆C2a?0,b?0C:x?y?b222ab将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为?.椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．

（1）求椭圆C1的方程；

K（2）（Ⅰ）设PM的斜率为t，直线l斜率为K1，求1的值；

t（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．

21．（12分）如图，椭圆C1：

22．已知函数f(x)?xlnx?mx2(m为常数）．

（Ⅰ）当m?0时，求函数f(x)的单调区间；

22

x2?x?1对任意x?e,e2恒成立，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若

f(x)?1?4（Ⅲ）若x1，x2??,1?，x1?x2?1，求证x1x2??x1?x2?．

?e???高二期中考试数学（理科）参考答案

一、选择题 DADCDA ACDADA

二、填空题 13．

?R2 14．52 15． 16．①②③⑤ 348PA,PD,CD,AB三、解答题

17．（1）取AB中点H，连接EH,HG，

E,F,G,H

分别是中点

?EF//AD，

4

AD//GH?EF//GH?E,F,G,H,四点共面

又E,H分别为PA,AB的中点?EH//PB，而EH?平面EFG，所以PB//平面EFG

111a‘??1?1?S?S??1?a?（2）在线段AB上取AQ则S?A， ?DQ?a，'EF?EFQ?EFQ2222114111a442由VQ?AEF?VA?EFQ?S?AEF?HE?S?EFQ????1?a????a?即

33532325344存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，此时DQ?.

3518．（1）连结BC1，则BC1与B1C交于O，∵侧面BB1C1C为菱形，∴B1C?BC1，∵AO?平面BB1C1C，∴B1C?AO又∵BC1?AO?O，∴B1C?平面ABO，由于AB?平面

ABO∴B1C?AB

(2) 设点B1 到平面ABC 的距离为h,

?∵侧面BB1C1C为菱形，?CBB1?60,BC ? 1∴△CBB1为等边三角形,∴BC?BB1?B1C?2,BO?3

∵AC?AB1，?OA?B1C?1,AC?2, ?Rt?AOB中，AB?21147,

?等腰?ABC中，S?ABC??2??222∵VB1?ACB?VA?CBB11AO2?BO2?2,

1711???h???2?3?1, ?h?221 323277zP∴点B1 到平面ABC 的距离为221.

19．（Ⅰ）连结BE,由题意得BE?AC,又∵PC?平面ABC，

∴PC?BE,∴BE?面PAC,∴BE?AP,

又∵EF?AP，∴AP?面BEF,∴AP?FB；

（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，分别以EB,EC的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系E?xyz. 由题意得A?0,?1,0?，F?0,?FCyAEBx11?,?，B3,0,0，C?0,1,0?， 22?11??则BC??3,1,0,FB??3,,??，设平面FBC的法向量为n??x,y,z?，

22????3x?y?0??n?BC?0?则?，即?，令y?3，则x?1，z?33，于是11??3x?y?z?0?n?FB?0?22??????n?1,3,33，

易知，平面AFC的法向量为p?EB??1,0,0?, ∴cosn,p?即二面角A?FC?B的平面角的余弦

??n?p31， ?np3131 31?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AO20．（Ⅰ）证明：因为AO?BD． 11因为ABCD是菱形，所以CO?BD．因为AO． CO?O，所以BD?平面ACO11

5

因为BD?平面BB1D1D，所以平面BB1D1D?平面ACO． 1（Ⅱ）解 ：因为AO?平面ABCD，CO?BD，以O为原点，OB，OC，OA1方向为x，1y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．

因为AB?1A?A2，?BAD?60?，所以OBO?D1，OA?OC?3，

OA1?AA12?OA2?1．

则B?1,0,0?，C0,3,0，A0,?3,0，A1?0,0,1?，

所以BB1?AA1?0,3,1，OB1?OB+BB1?1,3,1．设平面OBB的法向量为1????????n??x,y,z?，

??x?0,因为OB??1,0,0?，OB1?1,3,1，所以?令y?1，得n?0,1,?3．

??x?3y?z?0.????同理可求得平面OCB1的法向量为m??1,0,?1?．所以cos?n,m??36． ?42264．

因为二面角B?OB1?C的平面角为钝角，所以二面角B?OB1?C的余弦值为?x2?y2?1. 21．（1）依题意b?1,则a?3b.?椭圆方程为9（2）（Ⅰ）由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0, PE?ME,不妨设直线PE的斜率为k?k?0?,则PE:y?kx?1.

18k?x??y?kx?1??18k9k2?1??9k2?1?x?0?2由?x得?或?,?P?2,2?. 22y??19k?19k?19k?1?????y?1?y??9?9k2?1?9k2?19?k2?22??18k9?k2?1k2?19k?1k?9用?代替k,得M?2. ,2??,则t?kPM?18k18kkk?9k?910k???229k?1k?92k?x???y?kx?1?2kk2?1??x?0k2?1?1?k2由?2得?或?,?A?,则,2? ?K1?2222k?y??1?1?kk?1??x?y?1?y?k?1?k2?1?K1?5. t（

Ⅱ18EM?9）1k法一:

218k?18k??18k?PE??2???2??21?k29k?1?9k?1??9k?1?22 ；

1?1k21?118?1?k2, 22k9?k 6

2162k1?k??118k1822?1?k?1?k?29k2?19?k2?9?k2??1?9k2??S?EPM?1?162?k??162?k?k?k??

?4?29k?82k?99k2?9?82k21162u16216227设k??u,则S?EPM?,当且仅当???264k882?9?u?2?9u?6429u?uu3181??1?28127??k?u?时取等号．?k????k???4?,?k???. k3kk9k3????k2?17x,所以所求的直线l的方程为y??则直线AB:y?x. 2k3k2?149?k2k2?1?18k?y?x?法二:直线PM的方程: y?2,即. ?x???10k5k?910k?k2?9?4?y?tx??47281?522tx??0. 可设直线PM:y?tx?.由?2消去y得?1?9t?x?5525?x?y2?1?9?929100t?45. d?,到直线的距离?PM?1?t2x1?x2?1?t2?EPM51?9t21?t222100t2?48125t2?1 ?S?EPM?221?9t251?9t81m8181272设25t?1?m?1,则S?EPM?. ???216m?19m?258161?929m?m25m22．（Ⅰ）当m?0时，f(x)?xlnx，x?0，得f?(x)?lnx?1．

1?9????2?5?11，即f（x）在（，+∞）上单调递增； ee11由lnx?1?0，解得0?x?，即f（x）在（0，）上单调递减．

ee11∴ 综上，f?x?的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．

eex?111x2?x2（Ⅱ）已知x?[e，，即e]，于是?1变形为?1，从而?f(x)lnx?mxlnx?mxx?1lnxlnx?x?1lnx?x?10?lnx?mx?x?1， 整理得． 令g?x??，则?m?xxx3e?lnx?1．即g?x?在[e， ∴g（x）= e2]上是减函数，g?(x)?2?0，max=g（e）2exlnx1?lnx令h?x??，则h?(x)?，当e?x?e时，h?(x)?0，即此时h（x）单调递增；2xx由lnx?1?0，解得x?

7

2

当e?x?e2时，h?(x)?0，即此时h（x）单调递减，

3e222h?1， ∴ （）=． ∴ ． x?m?min

2e2ee2e2e21（Ⅲ）由（Ⅰ）知当m?0时，f(x)?xlnx在(，??)上是增函数．

e而h（e）=

1?h（e2）=

1?x1?x1?x2?1， ∴f?x1?x2???x1?x2?ln?x1?x2??f?x1??x1lnx1， ex1?x2x?xln(x1?x2)，同理lnx2?12ln(x1?x2)． 即lnx1?x1x1∵

所以lnx1?lnx2?(x1x2x1?x2x1?x2?)lnx(?x)?(2??)ln(x1?x2)，又因为12x2x1x2x12?x1x2??4，当且仅当x1?x2时，取等号．又x1，x2?（1，1），x1?x2?1，x2x1eln(x1?x2)?0,

∴ (2?

x1x2?)ln(x1?x2)?4，∴ lnx1?lnx2?4ln(x1?x2)， ∴ 4．

x1x2??x1?x2?x2x1 8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w0s7.html