华东师大初中七年级上册数学图形与展开图（基础）知识讲解

图形与展开图（基础）知识讲解

【学习目标】

1．理解立体图形与平面图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；

2. 掌握并形成正确的正视图、侧视图（左视图、右视图）、俯视图的概念，并加以描述； 3. 认识立体图形与平面图形的关系，一个立体图形按不同方式展开可得不同的表面展开图； 4．通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程，培养实验操作的能力，发展空间观念．

【要点梳理】

要点一、立体图形与平面图形的概念

1.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如圆柱，圆锥，长方体，球等，见下图.

要点诠释：常见的立体图形有两种分类方法：

2.平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 要点诠释：

(1) 常见的平面图形有圆和多边形，其中圆是由曲线围成的封闭曲线，多边形是由线段所围成的封闭图形，按着组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．

（2）在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形． 3.几何图形：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形． 要点诠释：

（1）几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.

（2）几何图形包括立体图形和平面图形.

（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系． 要点二、立体图形的视图

1. 平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2.三视图的概念

（1）视图：视图是一种特殊的平行投影，从某一角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图.

（2）正面、水平面和侧面：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.

（3）三视图：从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向进行平行投影，从正面得到的投影，称为主视图；从上面得到的投影，称为俯视图；从侧面得到的由左向右的投影，称为左视图.通常将主视图、俯视图与左视图称做一个物体的三视图.

要点诠释：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

3. 由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 要点诠释：

由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 要点三、立体图形的表面展开图

有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 要点诠释：

(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．

(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形，即同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．反过来，平面图形也可以折叠成立体图形.

【典型例题】

类型一、立体图形与平面图形的概念

1．如图所示，请写出下列立体图形的名称．

【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力，描述各种几何体的名称． 【答案与解析】

解：(1)五棱柱；(2)圆锥；(3)四棱柱或长方体；(4)圆柱；(5)四棱锥．

【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 举一反三：

【变式】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?

【答案】(1)由圆组成；(2)长方形和正方形；(3)菱形(或四边形)；(4)由圆和圆弧组成（或由一个圆和两个小半圆组成）． 类型二、立体图形的视图

2．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．

【思路点拨】注意观察的角度和方向. 【答案与解析】

解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．

【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同． 举一反三：

【高清课堂：多姿多彩的图形397362三视图例3】 【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.

【答案】

主视图 左视图 俯视图 【变式2】（2015?安顺）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）

A． B． C． 【答案】B．

解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确； C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误； D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；

D．

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )

A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】B

【解析】此题可采用排除法．棱柱的三视图中不存在圆，故A不对；圆锥的主视图、左视图是三角形，故C不对；球的三视图都是圆，故D不对，因此应选B．

【总结升华】平面展开图中，含有三角形，一般考虑棱锥或棱柱；如果只有两个三角形，必

是三棱柱；如果含长方形，一般考虑棱柱；如果含有圆和长方形，一般考虑圆柱；如果含有扇形和圆，一般考虑圆锥． 举一反三：

【变式】右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （ ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】D

类型三、立体图形的表面展开图

4．（2016?徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ） A．

B．

C．

D．

【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可． 【答案】C

【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：

故选：C．

【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．

举一反三：

【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?

【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．

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