高三文科数学一轮复习第三节函数的单调性与最值
更新时间:2024-05-10 14:18:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第三节 函数的单调性与最值
[知识梳理]
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.
[温馨提示] (1)函数的单调性只能在其定义域内讨论,所以求函
数单调区间必须先求函数的定义域.
(2)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性,同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.如
1
函数y=x的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).
(3)函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数.如
1
函数y=x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域上不具有单调性.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N?M.如
函数f(x)=2x+1在(1,+∞)上是单调递增函数,但它的单调递增区间是(-∞,+∞).
2.函数的最值
[小题速练]
1.下列函数中,在(0,+∞)上是减函数的是( ) A.y=x 1
C.y=x B.y=lnx D.y=2x
[解析] 对于选项A,函数y=x在(0,+∞)上是增函数;对于选项B,函数y=lnx在(0,+∞)上是增函数;对于选项C,函数y=1
x在(0,+∞)上是减函数;对于选项
D,函数y=2x在(0,+∞)上是增函数.故选C. [答案] C
x
2.f(x)=在( )
1-x
A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数
x1
[解析] f(x)的定义域为{x|x≠1}.又f(x)==-1,根据
1-x1-x1
函数y=-x的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数.
[答案] C
3.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,则( )
A.a=-2 C.a≤-2
B.a=2 D.a≥2
?a-1?
[解析] 由-3≥1,得a≤-2.
[答案] C
4.函数f(x)=lgx2的单调递减区间是________.
[解析] f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=lgu在(0,+∞)上为增函数,u=x2在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,故f(x)在(-∞,0)上单调递减.
[答案] (-∞,0)
x
5.(2016·北京卷)函数f(x)=(x≥2)的最大值为________.
x-1x1
[解析] 易得f(x)==1+,
x-1x-1
当x≥2时,x-1>0,易知f(x)在[2,+∞)是减函数, 1
∴f(x)max=f(2)=1+=2.
2-1[答案] 2
考点一 函数单调性的判断——冷考点
ax
判断函数f(x)=2(其中a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.
x-1[解] 解法一(定义法):设-1 x1-1x22-1 2 ax1x22-ax1-ax2x1+ax2= 2?x2-1??x-1?12 a?x2-x1??x1x2+1?=. 2?x2-1??x-1?12∵-1 22 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0. 因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 解法二(导数法): a?x2-1?-2ax2-a?x2+1?f ′(x)==2. ?x2-1?2?x-1?2又a>0,所以f ′(x)<0, 所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 判断函数单调性的方法 (1)定义法:设区间D为f(x)的定义域或其子区间. (2)导数法:求导→判断导数正负→得结论. [跟踪演练] a 用定义法讨论函数f(x)=x+x(a>0)的单调性. [解] 函数的定义域为{x|x≠0}.任取x1,x2∈{x|x≠0},且x1 ?则f(x1)-f(x2)=x1+x-x2-x==(x1-x2)1-xx?. x·x?12?1212 a 令x1=x2=x0,1-x2=0可得到x0=±a,这样就把f(x)的定义域分 0 为(-∞,-a],[-a,0),(0,a],[a,+∞)四个区间,下面讨论它的单调性. 若0 所以x1x2-a<0.所以f(x1)-f(x2)=x1+x-x2-x= 12 ?x1-x2??x1x2-a? >0, x1·x2 即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,a]上单调递减. 同理可得,f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(-∞,-a]上单调递增,在[-a,0)上单调递减. 故函数f(x)在(-∞,-a]和[a,+∞)上单调递增,在[-a,0)和(0,a]上单调递减. 考点二 求函数的单调区间——常考点 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区 间是( ) A.(-∞,-2) C.(1,+∞) B.(-∞,1) D.(4,+∞) (2)函数y=|x2-4x+3|的单调递增区间是________. [思路引导] (1)先求定义域,再利用复合函数单调性来求. (2)作出y=|x2-4x+3|的图象. [解析] (1)由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此,函数f(x)=ln(x2 -2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),选D. (2)先作出函数y=x2-4x+3的图象,由于绝对值的作用,把x轴下方的部分翻折到上方,可得函数的图象如图所示.由图可知,函数的增区间为[1,2],[3,+∞). [答案] (1)D (2)[1,2],[3,+∞) [拓展探究] (1)在本例(1)中若将f(x)=ln(x2-2x-8)改为y=loga(x2-2x-8),则其单调递增区间为________________. (2)若将本例(2)中的函数变为“y=x2-4|x|+3”,则结果如何? [解析] (2)作出函数y=x2-4|x|+3的图象,如图所示.由图可知,函数的增区间为[-2,0],[2,+∞). [答案] (1)当01 时,单调递增区间为(4,+∞) (2)[-2,0],[2,+∞) 确定函数单调区间的4种方法 [跟踪演练] 1.函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是( ) A.(-∞,0) C.[0,+∞) [解析] y=|x|(1-x) 1????0,B.2? ? ?1?D.?2,+∞? ? ? ??x?1-x?,x≥0,=? ??-x?1-x?,x<0 2?-x+x,x≥0,?=?2 ?x-x,x<0,? 1?21? ?x-2?+,x≥0,?-?4??=?1?1? ?x-?2-,x<0.???2?4 画出函数的草图,如图. 1?? ?由图易知原函数在0,2?上单调递增,故选B. ??[答案] B 2.(2017·河南中原名校第一次质检)函数y=log1 (-x2+x+6)的 2 单调增区间为( ) ?1? ?A.2,3? ?? 1?? ?B.-2,2? ?? ?1??D.2,+∞? ?? C.(-2,3) [解析] 由-x2+x+6>0,得-2 2 调性法则可知本题等价于求函数t=-x2+x+6在(-2,3)上的减区间. 利用二次函数的性质可得t=-x2+x+6在定义域(-2,3)上的减 ?1??区间为2,3?,故选A. ?? [答案] A 考点三 利用单调性求最值——常考点 (1)(2017·丽水一模)已知函数 x,x>1,?log1 f(x)=?3 ?-x2+2x,x≤1, 则 f(f(3))=________,函数f(x)的最大值是________. x2+2x+a (2)已知f(x)=,x∈[1,+∞). x1 ①当a=2时,求函数f(x)的最小值; ②若对任意x∈[1,+∞), f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. [解析] 1 x,x>1,?log3 (1)①由于f(x)=? ?-x2+2x,x≤1, 所以f(3)=log1 3=-1, 3 则f(f(3))=f(-1)=-3, ②当x>1时,f(x)=log1 x是减函数,得f(x)<0, 3 当x≤1时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,则f(x)≤1,综上可知,f(x)的最大值为1. 11 (2)①解法一:当a=2时, f(x)=x+2x+2, 任取1≤x1 1??1 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+?2x-2x? ?12? ?x1-x2??2x1x2-1?=. 2x1x2 ∵1≤x1 解法二:当x≥1时,f ′(x)=1-2x2>0,∴f(x)在[1,+∞)单调递增. 7 ∴f(x)在[1,+∞)的最小值为f(1)=2. x2+2x+a2 ②在区间[1,+∞)上, f(x)=>0恒成立?x+2x+a>0x恒成立. 设g(x)=x2+2x+a,则g(x)在[1,+∞)上的最小值φ(a)>0. g(x)=(x+1)2+a-1, 对称轴为x=-1,且开口向上, 所以g(x)在[1,+∞)上递增, 所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=3+a, 由3+a>0,得a>-3. 7 [答案] (1)-3 1 (2)①2 ②a>-3 (1)利用单调性求最值,应先确定函数的单调性,然后根据性质求解.若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数, 则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)分段函数的值域是每一段上值域的并集. (3)恒成立问题通常转化为函数的最值问题. [跟踪演练] 1.函数y=x+x-1的最小值为________. [解析] 函数的定义域为{x|x≥1},又y=x+x-1在[1,+∞)上单调递增,∴y≥1,即函数的最小值为1. [答案] 1 ?1,x≤-1, 2.函数f(x)=?x ?-?x-1?2+2,x>-1 的最大值为________. 1 [解析] 当x≤-1时,函数f(x)=x为减函数,所以f(x)在x=-1处取得最小值,此时-1≤f(x)<0;当x>-1时,易知函数f(x)=-(x-1)2+2在x=1处取得最大值,为f(1)=2.故函数f(x)的最大值为2. [答案] 2 考点四 函数单调性应用——热考点 角度解读:函数单调性的应用常以基本初等函数为载体,利用单调性求最值,比较函数值的大小,解不等式求参数.考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用,综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现,难度中等. 角度1:比较大小 (2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对 ?1? 称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f?-2?,b ?? =f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c ? ? ?? ?1??5? [解析] 因f(x)的图象关于直线x=1对称.由此可得f?-2?=f?2?. 由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减. ?5?5 ∵1<2<2 ?? [答案] D 角度2:解函数不等式 ??1?? 已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f??x?? ???? 的取值范围是( ) A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ??1?? [解析] 由f(x)为R上的减函数且f??x?? ???? 1?????>1,得??x??x≠0, ??|x|<1,即? ?x≠0.? ∴-1 角度3:利用函数的单调性求参数 2??-x+4x,x≤4, 设函数f(x)=?若函数y=f(x)在区间(a, ?log2x,x>4.? a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,1] C.[4,+∞) B.[1,4] D.(-∞,1]∪[4,+∞) [解析] 作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4,故选D. [答案] D (1)单调性定义的两种变式 设任意x1,x2∈[a,b],且x1 f?x1?-f?x2? ①>0(<0)?f(x)在[a,b]上是增(减)函数.②(x1-x2)[f(x1) x1-x2 -f(x2)]>0(<0)?f(x)在[a,b]上是增(减)函数 (2)函数单调性应用的常见类型及方法: ①比较大小 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. ②解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. ③利用单调性求参数 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. [跟踪演练] 1.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( ) ?1??A.-4,+∞? ???1??C.-4,0? ?? ?1? ?B.-4,+∞? ???1??D.-4,0? ?? [解析] 当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增; 1 当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-a, 因为f(x)在(-∞,4)上单调递增, 11 所以a<0,且-a≥4,解得0>a≥-4. 1 综上所述得-4≤a≤0. [答案] D 3??x,x≤0, 2.已知函数f(x)=?若f(2-x2)>f(x),则实数x ??ln?x+1?,x>0, 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1) [解析] ∵当x=0时,两个表达式对应的函数值都为零,∴函数的图象是一条连续的曲线.∵当x≤0时,函数f(x)=x3为增函数,当x>0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,∴函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)>f(x)等价于2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-2 [答案] D 抽象函数单调性的再研究 素养解读:对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比f?x1?较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小.有时根据需要,需作 f?x2?x1适当的变形:如x1=x2·x或x1=x2+x1-x2等. 2 已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1; ②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数. (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. [切入点] (1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y)+1对任意x、y都成立,通过赋值所求联系起来,创造使用定义证明单调性的条件.(2)将所求不等式转化为函数值间的关系,从而利用单调性脱去“f”,解关于x的不等式. [关键点] (1)准确赋值;(2)将不等式右边的4转化为函数值,从而将不等式转化为函数值关系. 抽象函数与不等式问题的答题策略 抽象函数单调性证明只能用定义证明. 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时, f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. [证明] (1)因对定义域内的任意x1、x2都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x,x2=-1, 则有f(-x)=f(x)+f(-1). 又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1). 再令x1=x2=1,得f(1)=0,从而f(-1)=0, 于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数. ?x2???x2?? ?=f(x1)-?f?x1?+f???(2)设0 ? 1? ??1?? ?x2? =-f?x?, ?1? ?x2?x2由于0 ?1?1 故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 课时跟踪训练(六) [基础巩固] 一、选择题 1.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) 1 A.y= 1-xC.y=ln(x+1) B.y=cosx D.y=2-x 1 [解析] 函数y=,y=ln(x+1)在(-1,1)上都是增函数,函数 1-x ?1? y=cosx在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,而函数y=2=?2? ?? -x x 在(-1,1)上是减函数,故选D. [答案] D 2.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为 ( ) A.(-∞,1] C.(-∞,-1] B.[3,+∞) D.[1,+∞) [解析] 设t=x2-2x-3,由t≥0, 即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3. 所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数 t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增. [答案] B 3.下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞)时,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0”的是( ) 1 A.f(x)=2 C.f(x)=2x B.f(x)=x2-4x+4 D.f(x)=log1 x 2 [解析] (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0等价于x1-x2与f(x1)-f(x2)正负号相同,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.显然只有函数f(x)=2x符合,故选C. [答案] C 1 4.函数f(x)=的最大值是( ) 1-x?1-x? 4A.5 3C.4 14 [解析] 由f(x)=1?23≤3, ? ?x-?+ 2?4?4 则[f(x)]max=3,故选D. [答案] D 5B.4 4D.3 5.(2017·东北三校联考(一))设函数f(x)=x2+(a-2)x-1在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的最小值为( ) A.-2 C.1 B.-1 D.2 a-2[解析] 由题意得≤2,解得a≥-2,所以实数a的最小值 -2为-2. [答案] A 6.(2017·德州市模拟)设偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f?x?+f?-x?f(1)=0,则不等式>0的解集为( ) x A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) [解析] 因为函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,所以函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,且f(-1)=0. f?x?+f?-x?2f?x?f?x? 由>0,可得x>0,即x>0, x 当x<0时,f(x)<0,即f(x) f?x?+f?-x? 故不等式>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞). x[答案] A 二、填空题 117.函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是3,则x-1a+b=________. [解析] 易知f(x)在[a,b]上为减函数, ?f?a?=1,∴?1?f?b?=3, [答案] 6 ?即?11?b-1=3, 1 =1,a-1 ??a=2,∴?∴a+b=6. ??b=4. 8.函数y=log1 |x-3|的单调递减区间是________. 2 [解析] 函数的定义域为{x|x≠3}.令u=|x-3|,则在(-∞,3)1 上u为x的减函数,在(3,+∞)上u为x的增函数.又∵0<2<1,∴在区间(3,+∞)上,y为x的减函数. [答案] (3,+∞) ax+1 9.若函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是单调递增函数,则 x+2实数a的取值范围是________. ax+1a?x+2?+1-2a [解析] 解法一:f(x)== x+2x+21-2a =+a. x+2 任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=- x1+2x2+2?1-2a??x2-x1?=. ?x1+2??x2+2? ax+1 ∵函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是递增的, x+2∴f(x1)-f(x2)<0. ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 1 ∴1-2a<0,a>2, ?1???. ,+∞即实数a的取值范围是2?? a?x+2?+1-2a1-2a 解法二:f(x)==a+, x+2x+2∵f(x)在(-2,+∞)上单调递增, 1 ∴1-2a<0,∴a>2. ?1??[答案] 2,+∞? ?? 三、解答题 1 10.已知函数f(x)=a-|x|. (1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. [解] (1)证明:当x∈(0,+∞)时, 1 f(x)=a-x, 设0 1??1?11x2-x1?????a-a-f(x2)-f(x1)=x2?-?x1?=x1-x2=x1x2>0, ?所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. 11 (2)由题意a-x<2x在(1,+∞)上恒成立,设h(x)=2x+x, 则a h(x1)-h(x2)=(x1-x2)?2-xx?. ?12?因为1 所以x1-x2<0,x1x2>1, 1 所以2-xx>0, 12所以h(x1) 所以h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故a≤h(1),即a≤3, 所以实数a的取值范围是(-∞,3]. [能力提升] ???3a-1?x+4a,x≤1, 11.已知f(x)=?是(-∞,+∞)上的减函 ?logx,x>1.?a 数,那么a的取值范围是( ) A.(0,1) ?11? C.?7,3? ?? 1?? ?B.0,3? ?? ?1??? ,1D.7?? [解析] 据题意要使原函数在定义域R上为减函数,要满足3a-1<0,且0 ?11? 范围为?7,3?,故选C. ?? [答案] C f?x? 12.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间13 I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=2x2-x+2是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为( ) A.[1,+∞) C.[0,1] B.[0,3] D.[1,3] 123 [解析] 因为函数f(x)=2x-x+2的对称轴为x=1,所以函数yf?x?13 =f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又当x≥1时,x=2x-1+2x,2 1313x-3 令g(x)=2x-1+2x(x≥1),则g′(x)=2-2x2=2x2, f?x?13 由g′(x)≤0得1≤x≤3,即函数x=2x-1+2x在区间[1,3]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,3]. [答案] D ??a,a≤b,13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=?设函数 ?b,a>b.? f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. [解析] 依据题意,作出函数h(x)的图象,如图 由图可知,当x=2时,h(x)取得最大值1. [答案] 1 14.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是________. [解析] 因为函数f(x)=lnx+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)<2得, f(x2-4) 15.(2018·江苏徐州期中)已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|. (1)当a=2时,写出函数y=f(x)的单调递增区间; (2)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. ??x?x-2?,x≥2,[解] (1)当a=2时, f(x)=x|x-2|=? ?x?2-x?,x<2.? 由图象可知,y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞). (2)因为a>2,x∈[1,2], a?a? 所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-?x-2?2+4. ??a3 当1<2≤2,即2 当2>2,即a>3时, f(x)min=f(1)=a-1. 2 ??2a-4,2 ∴f(x)min=? ?a-1,a>3.? a?? 16.已知函数f(x)=lg?x+x-2?,其中a是大于0的常数. ??(1)求函数f(x)的定义域; (2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围. x2-2x+aa [解] (1)由x+x-2>0,得>0, x a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞), a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1}, 01+1-a}. a (2)设g(x)=x+x-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时, 2 ax-a g′(x)=1-x2=x2>0恒成立, a ∴g(x)=x+x-2在[2,+∞)上是增函数. a???∴f(x)=lgx+x-2?在[2,+∞)上是增函数. ?? a??a??∴f(x)=lgx+x-2在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg2. ??(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0, a 即x+x-2>1对x∈[2,+∞)恒成立. ∴a>3x-x2, 3?29? 而h(x)=3x-x=-?x-2?+4在x∈[2,+∞)上是减函数, ?? 2 ∴h(x)max=h(2)=2. ∴a>2. [延伸拓展] ?x1? 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f?x?=f(x1)-f(x2), ?2? 且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. [解] (1)令x1=x2>0, 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. (2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞), x1且x1>x2,则x>1, 2 ?x1? 由于当x>1时,f(x)<0,所以f?x?<0, ?2? 即f(x1)-f(x2)<0, 因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9). ?x1? 由f?x?=f(x1)-f(x2)得, ?2? ?9? f?3?=f(9)-f(3),而f(3)=-1, ?? 所以f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.
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