2012年2月管理数学2概率部分答案

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（十一）随机事件

1、投掷一粒骰子的试验，我们将＂出现偶数点＂称为（ D ）

A、样本空间 B、必然事件 C、不可能事件 D、随机事件 2、事件A,B互为对立事件等价于（ D ）

A、A,B互不相容 B、A,B相互独立 C、A?B?? D、A?B??且AB?? 3、设A,B为两个事件，则AB?AB＝（ C ）

A、不可能事件 B、必然事件 C、A D、A?B 4、“A,B,C三个事件中至少发生两个”此事件可表示为 AB+AC+BC 。 5、事件A表示“五件产品中至少有一件废品”，事件B表示“五件产品中合格品不多于三件”，则A+B、AB各表示什么事件？A、B之间有什么关系？ 解：A+B＝A＝表示“五件产品中至少有一件废品”；

AB＝B＝“五件产品中合格品不多于三件”，B?A,B是A的子集

6、若Ai表示第i个射手击中目标（i?1,2,3），问如何表示以下几个事件：“三个射手都击中目标”、“三个射手至少有一个击中目标”、“三个射手都没有击中目标”。

解：“三个射手都击中目标”可表示为：A1A2A3。

“三个射手至少有一个击中目标”可表示为：A1?A2?A3。 “三个射手都没有击中目标” 可表示为：A1A2A3

__

7、设A,B,C为三个事件，试用这三个事件表示下列事件：

（1）A,B,C三个事件至少有一个发生；（2）A不发生，B与C均发生； （3）A,B,C三个事件至少有2个发生；（4）A,B,C三个事件中恰有一个发生； （5）A发生，B与C都不发生。

解：（1）A+B+C；（2）ABC；（3）AB+AC+BC；（4）ABC?ABC?ABC；（5）ABC

8、随机抽检三件产品，设A表示“三件中至少有一件是废品”；B表示“三件中至少有两件是废品”；C表示“三件都是废品”。问A、B、C、A＋B、AC各表示什么事件？

解：A表示“三件都是正品”； ； B表示“三件中至少有两件是正品”

C表示“三件中至少有一件是正品”；

； A＋B＝A表示“三件中至少有一件是废品”。 AC＝C表示“三件都是废品”

1

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（十二）事件的概率

1、A,B为两事件，若P?A?B??0.8,P(A)?0.2,P(B)?0.4，则（ B ）

____?____??____?A、P?AB??0.32 B、P?AB??0.2 C、P(AB)?0.4 D、P(AB)?0.48

????__注：P(AB)?1?P(AB)?1?P(A?B)?1?0.8?0.2 2、当A与B互不相容时，P(A?B)?（ C ）

A、1?P(A) B、1?P(A)?P(B) C、0 D、P(A)P(B) 注：P(A?B)?P(AB)?P(Φ)?0

3、设有10个产品，其中3个次品，7个正品，现从中任取4个产品，则取到的4个产品都是正品的概率为（ C ）

C747474?7A、 B、4 C、4 D、

C10101010______________4、对任意事件A,B,C，则

P(A?B?C)＝P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

5、100件产品中有5件次品，任取10件，求恰有2件为次品的概率。

8C52C95解：设A=“取出的10件产品中恰有两件次品”则P(A)=10

C1006、从52张扑克牌中任意取出13张来，问有5张黑桃、3张红心、2张方块、3张草花的概率是多少？

解：设A=“任意取出13张扑克牌，有5张黑桃、3张红心、2张方块、3张草

5323C13C13C13C13花”则P(A)= 13C52

2

7、已知某射手射击一次中靶6环、7环、8环、9环、10环的概率分别为0.19、0.18、0.17、0.16、0.15，该射手射击一次，求 （1）至少中8环的概率； （2）至多中8环的概率。

解：用A、B、C、D、E分别表示射手射击一次中靶6环、7环、8环、9环、10环事件，则A、B、C、D、E互不相容。

（1）至少中8环的概率为：P（C＋D＋E）＝P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.48； （2）至多中8环的概率为：1－P(D+E)＝1－（P(D)+P(E)）＝0.69。

8、某单位订阅甲、乙、丙三种报纸，据调查，职工中40%读甲报，26%读乙报，24读丙报，8%兼读甲、乙报，5%兼读甲、丙报，4%兼读乙、丙报，2%兼读甲、乙、丙报。现从职工中随机地抽查一人，问该人至少读一种报纸的概率是多少？不读报的概率是多少？

解：用A、B、C分别表示职工中读甲报、乙报、丙报事件，则

P(A)?0.40，P(B)?0.26，P(C)?0.24；

P(AB)?0.08，P(AC)?0.05，P(BC)?0.04，P(ABC)?0.02

从而 P(A?B?C)?0.40?0.26?0.24?0.08?0.05?0.04?0.02?0.75

P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?0.75?0.25

9、现有10个人分别佩戴从1号到10号的纪念章，从中任选3个人，记录其纪念章的号码。求（1）求最小号码是5的概率；（2）求最大号码是5的概率；（3）求中间号码是5的概率；（4）求正好有一个号码是5的概率；（5）求没有一个号码是5的概率。

3112C52C92C9C4C51137C41解：（1）3?；（2）3?；（3）3?；（4）3?；（5）3?

C1012C1020C106C1010C1010

3

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（十三）条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

1、设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（ A ） A、P(A?B)?P(A) B、P(AB)?P(A) C、P(B/A)?P(B) D、P(A/B)?P(A) 2、随机事件A,B满足P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B/A)?0.8，求P(A?B)。 解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B/A)?0.5?0.6?0.5?0.8?0.7

3、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求

P(A/B),P(B/A),P(A?B)。

解：由已知：P(A)?471，P(B)?，P(AB)?，从而有： 151510P(AB)173??? P(B)101514P(A/B)?P(B/A)?P(AB)143???

P(A)10158P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?47119 ???151510304、10个考签中有4个难签，3人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先、乙次、丙最后，证明3人抽到难签的概率相等。 解：用A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则有： P(A)?4263?，?P(A)?? 105105 P(B)?P(BS)?P(B(A?A))?P(BA?BA)?P(BA)?P(BA) ?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A) ?2334223????，?P(B)?1?? 5959555 4

P(C)?P(CS)?P(C(B?B))?P(CB)?P(CB)

?P(C(BS))?P(C(BS))?P(C(B(A?A)))?P(C(B(A?A)))?P(CBA)?P(CBA)?P(CBA)?P(CBA)?P(A)P(B/A)P(C/AB)?P(A)P(B/A)P(C/AB)?P(A)P(B/A)P(C/AB)?P(A)P(B/A)P(C/AB)

?2323432633542???????????? 59859859859855、已知P(A)?0.20,P(B)?0.45,P(AB)?0.15，求（1）P(AB),P(AB),P(AB)；（2）

P(A?B),P(A?B),P(A?B)；（3）P(A/B),P(B/A),P(A/B)。

解：（1）P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.20?0.15?0.05，

P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?0.45?0.15?0.30， P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.80?0.30?0.50；

（2）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.20?0.45?0.15?0.50，

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.80?0.45?0.30?0.95， P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.80?0.55?0.50?0.85。 （3）P(A/B)?P(AB)0.151P(AB)0.153??，P(B/A)??? P(B)0.453P(A)0.204P(A/B)?P(AB)0.051?? P(B)0.55116、为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效率分别为0.92和0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B失灵的条件下，A有效的概率。

解：用A、B分别表示事件“报警系统A、B有效”，则有：

P(A)?0.92，P(B)?0.93，P(B/A)?0.85 P(AB)?P(A)P(B/A)?0.08?0.85?0.068

5

P(AB)?P(B?BA)?P(B)?P(BA)?0.93?0.068?0.862

（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988 （2）P(A/B)?P(AB)P(A)?P(AB)0.92?0.8620.05829???? P(B)1?P(B)0.070.07357、在秋菜运输中，某汽车可能到甲、乙、丙三地去拉菜。设到此三处拉菜的概率分别为0.2，0.5，0.3，而在各处拉到一级菜的概率分别为0.1，0.3，0.7。求 （1）求汽车拉到一级菜的概率；

（2）已知汽车拉到一级菜，求该车菜是乙地拉来的概率。

解：用A、B、C分别表示汽车到甲、乙、丙地去拉菜的事件，用D表示一级菜，则有：

P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(C)=0.3，P(D/A)=0.1，P(D/B)=0.3，P(D/C)=0.7。 （1）利用全概率公式：P(D)=P(AD+BD+CD)=P(AD)+P(BD)+P(CD) =P(A)P(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C) ＝0.2×0.1＋0.5×0.3＋0.3×0.7＝0.38 （2）利用贝叶斯公式

P(B/D)?P(BD)P(B)P(D/B)0.5?0.315????0.3947 P(D)P(D)0.3838

6

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（十四）事件独立性

1、设P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A/B)?0.8，则下列结论正确的是（ C ） A、事件A,B互不相容 B、A?B

C、事件A,B相互独立 D、P(A?B)?P(A)?P(B) 2、已知P(A)?0.4,P(B)?0.3

（1） 当A,B互不相容时，P(A?B)? 0.7 ，P(AB)? 0 。 （2） 当A,B相互独立时，P(A?B)? 0.58 ，P(AB)? 0.12 。 （3） 当B?A时，P(A?B)? 0.4 ，P(AB)? 0.3 。

3、棉花方格育苗，每格放两粒棉籽，棉籽的发芽率为0.90，求（1）两粒同时发芽的概率；（2）恰有一粒发芽的概率；（3）两粒都不发芽的概率。

解：用A、B分别表示第一粒、第二粒棉籽发芽事件，则A与B相互独立，且P(A)=0.90＝P(B)，从而有：

（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.9＝0.81；

（2）P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.18 （3）P(AB)?P(A)P(B)?0.01

4、甲、乙两人向同一个目标射击，击中目标的概率分别为0.7、0.8。两人同时射击，并假定击中与否是独立的。求（1）两人都中靶的概率。（2）甲中乙不中的概率。（3）甲不中乙中的概率。（4）目标被击中的概率。

解：用A、B分别表示甲、乙射击击中目标事件，则A、B相互独立，且

P(A)=0.7，P(B)=0.8，从而有：

（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.56； （2）P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.2?0.14 （3）P(AB)?P(A)P(B)?0.3?0.8?0.24

（4）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.7＋0.8－0.7×0.8＝0.94

7

5、一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在一小时内，求（1）三台机床都不需要工人看管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人看管的概率。

解：用A、B、C分别表示第一、第二、第三台机床不需要工人照管的事件，则 A、B、C相互独立，且P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.7。从而有： (1)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8×0.7＝0.504；

(2)P(ABC?ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?0.9?0.8?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.902

6、三个人独立地破译一个密码，他们译出的概率分别为0.6，0.7，0.8，问此密码能译出的概率为多少？

解：用A、B、C分别表示三人单独破译密码事件，则A、B、C相互独立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(C)=0.8，从而有：

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.6＋0.7＋0.8－0.6×0.7－0.6×0.8－0.7×0.8＋0.6×0.7×0.8 =0.976

或P(A?B?C)?1?P(A?B?C)

?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)

?1?0.4?0.3?0.2?1?0.024?0.976

8

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（十五）离散型随机变量及其分布

1、以下选项中，可以作为离散型随机变量的分布列的是（ D ） A、XPXp12340.40.20.50.2137 B、5XpXp123413131313

C、23432333435?7??7??7??7? D、123161312 2、若F(x)是某随机变量的分布函数，则（ B ）

A、limF(x)?0 B、limF(x)?1

x????x????C、limF(x)?1 D、limF(x)?1

x????x???3、抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（ D ） A、0.5 B、0.25 C、0.125 D、0.375 4、设随机变量X的分布列为P(X?k)?k（2）,k?1,2,3，求（1）分布函数；

6P(X?1);P(X?2);P(X?3);P(1.5?X?3);P(X?2)

解：当X?1时， F(X)?0； 当1?X?2时，F(X) 当2?X?3时，F(X) 当

?162； ；

?1X?3时， F(X)?1。即：

x?11?x?2?0?1?? F(x)??61??2??1P(X?1)?16

2?x?3x?3?2)?12；P(X6，P(X?3)?1，

6P(1.5?X?3)?5，P(X?2)?5

9

?0?0.3??5、设离散型随机变量X的分布函数为F(x)??0.6?0.8???1???x??1?1?x?00?x?11?x?3x?3，（1）求X的

1分布列；（2）求P(?2?X?),P(?1?X?1),P(X?3)。

2解：（1）X的分布列为

XP?10.3200.310.230.2

（2）P(?2?X?1)?0.6

P(?1?X?1)?0.5

P(X?3)?0.8

6、某类灯泡使用时数超过1000小时的概率为0.2，现有3个这种类型的灯泡。求（1）使用时数不超过1000小时的灯泡个数X的分布列及分布函数； （2）最多只有一个灯泡使用时数超过1000小时的概率。 解：（1）由已知条件可知X服从B(3 , 0.8),所以X的分布列为

XP00.2313?0.22?0.823?0.2?0.8230.83

x?0?0?0.0080?x?1??X的分布函数为F(x)??0.1041?x?2

?0.4882?x?3??x?3?1 (2)P(X

?1)?0.104

10

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（十六）连续型随机变量及其概率密度

1、设f(x)为随机变量X的密度函数，则有（ C ）

A、0?f(x)?1 B、P(X?x)?f(x) C、f(x)?0 D、???0f(x)dx?1

2、若X~N?0,1?，其密度函数为?(x)，则?(0)等于（ D ）

11A、0 B、 C、1 D、

22??x?3、设X的密度函数为f(x)??2?x?0?0?x?11?x?2 ，（1）绘出密度曲线；（2）求其它（3）求X的分布函数。 P(0?X?1),P(?1?X?2),P(X?3)；解：（1）略

（2）P(0?X?1)?2?1?10f(x)dx??xdx?0.5；

0012?1011P(?1?X?2)??f(x)dx??0dx??xdx??(2?x)dx?1 P(X?3)??f(x)dx??0dx??xdx??(2?x)dx??0dx?1

????01230123x?x?0???0dx?0?x?xxdx?0.5x20?x?1??0F(X)?f(x)dx??（3） ???1x?xdx?(2?x)dx??0.5x2?2x?11?x?2?1??0?1x?2?4、设X~N?0,1?，?(0),P(X?0),P(X?0)，P(X??1),P(?1?X?1.5),P(X?1.5)。 解：?(0)?0.5; P(X?0)?0； P(X?0)??(0)?0.5；

P(X??1)??(?1)?1??(1)?1?0.8413?0.1587

P(?1?X?1.5)??(1.5)??(?1)?0.9332?0.1587?0.7745

11

P(X?1.5)?1??(1.5)?1?0.9332?0.0668

5、假设某科统考的成绩X近似地服从正态分布N(70,102)。已知第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少？ 解：P{X?60}?1?P{X?60}?1??(60?70)?1??(?1)?0.8413 10这说明成绩在60和60以上的考生（第100名），在全体考生中占84.13%，因此，考生总数大致为：100/0.8413＝119名，故前20名考生在全体考生中的比率大致为：20/119＝0.1681。设S为第20名考生的成绩，它满足： P{X?S}?1??(查表得：

S?70S?70)?0.1681??()?0.8319， 1010S?70?0.96?S?79.6 106、设随机变量X的分布列为 X ?2

试求Y?X2的分布列。 解：由已知可列表格如下： Pi X X2 1/5 -2 4 1/6 -1 1 1/5 0 0 1/15 1 1 11/30 3 9 pi 1/5 ?1 1/6 0 1/5 1 3 1/15 11/30 所以Y?X2的分布列为 Y?X2 Pi 0 1/5 1 7/30 4 1/5 9 11/30 ?e?x,x?07、设随机变量X的概率密度为f(x)???0,x?0，求Y?2X?3的概率密度。

12

解：随机变量Y的分布函数为F3Y(y)?P(Y?y)?P(2X?3?y)?P(X?y?2)y?3y?33?y??20e?xdx??e?x02?1?e2

两边对y求导，就得到Y的概率密度函数13?yf(y)=e2213

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（十七）数学期望和方差

1、设离散型随机变量X的分布律如表所示：

X?xi pi ?5 2 3 4 0.4 0.3 0.1 0.2 求数学期望、方差。

解：E(?)??5?0.4?2?0.3?3?0.1?4?0.2??0.3

E(?2)?(?5)2?0.4?22?0.3?32?0.1?42?0.2?15.3D(?)?E(?2)?E2(?)?15.3?0.09?15.21 ?0?0.3?2、设离散型随机变量X的分布函数为F(x)???0.8??1???x?00?x?11?x?2x?2

求（1）X的分布列； （2）E??2X?1?，D?3X?4?。 解：（1）

X?xi pi 0 1 2 0.3 0.5 0.2 （2）E(?)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?0.9 E(?2)?02?0.3?12?0.5?22?0.2?1.3

D(?)?E(?2)?E2(?)?1.3?0.81?0.49E(?2??1)??2E(?)?1??2?0.9?1??0.8 D(3??4)?32D(?)?9?0.49?4.41

3、已知E(X)?30，D(X)?11,Y?1?X，求E(X2),E(Y),D(Y)。 3解：∵D(X)?E(X2)?E2(X)∴E(X2)?D(X)?E2(X)?11?(30)2?911

1?X111129E(Y)?E()??E(X)???30??

3333331?X111D(Y)?D()?()2D(X)?

339

14

x?0?0?4、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??Ax2 0?x?1

?1x?1?求（1）常数A； （2）E(X)和D(X)。

解：（1）由F(??)?1及分布函数F(x)具体函数可知：

x?12linF(x)?linAx?A?1或先求密度函数 ?1?1x?1x?0?0???f(x)?F(x)??2Ax0?x?1再根据?f(x)?1可得：

???0x?1???11????f(x)dx??2Axdx?A

0??1（2）E???????xf(x)dx??x?2xdx?0123x310?2 3E??2??2xf(x)dx?x???2xdx?022411x0? 42D(?)?E(?2)?E2(?)?141?? 29185、盒中有5个球，其中有3个白球，2个黑球。从中任取两个球，求白球数X的数学期望和方差。 解：先求白球数

?的分布列

0 1 2 0.1 0.6 0.3 ??xi pi P(??0)?2C21?0.1， 2?C510

P(??1)?11C2C3C52?6?0.6 10P(??1)?2C3C25?3?0.3 10E(?)?0?0.1?1?0.6?2?0.3?1.2 E(?2)?02?0.1?12?0.6?22?0.3?1.8 D(?)?E(?2)?E2(?)?1.8?1.22?0.36

15

6、设有两批钢筋，每批各十根，它们的抗拉指标分别为：

第一批 110 120 120 125 125 125 130 130 135 140 第二批 90 100 120 125 125 130 135 145 145 145 试比较这两批钢筋质量的好坏。 解：

E(?1)?(110?120?2?125?3?130?2?135?140)/10?126E(?2)?(90?100?120?125?2?130?135?145?3)/10?126D(?1)?[(110?126)2?(120?126)2?2?(125?126)2?3?(130?126)2?2?(135?126)2?(140?126)2]/10?64D(?2)?[(90?126)2?(100?126)2?(120?126)2?(125?126)2?2 ?(130?126)2?(135?126)2?(145?126)2?3]/10?319∵E(?1)?E(?2)且D(?1)?D(?2)

∴第一批钢筋比第二批钢筋质量好。

16

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（十八）二维随机变量

1、设二维离散型随机变量的联合分布如下表 1 X Y 1 2 3 1/4 1/16 0 2 0 1/4 1/16 3 0 0 1/16 4 1/16 1/4 0

13试求：（1）P{?X?,0?Y?4}；（2）P{1?X?2,3?Y?4}

2213解：（1）P(?X?,0?Y?4)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3)

22 = 1/4

（2）P(1?X?2,3?Y?4)?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?4)?P(X?2,Y?3) ?P(X?2,Y?4)?5/16 2、设随机变量(X,Y)的概率密度为

?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4 f(x,y)??

0其他?(1) 确定常数k; (2) 求P{0?X?1,2?Y?3} 解：(1)由??????????f(x,y)dxdy?1 , 得

x?2x?042411＝?dy?k(6?x?y)dx?k?[(6?y)x?x2]2022dy?k?(12?2y?2)dy?k(10y?y2)2442?8k

所以k?18311(6?x?y)dx208 1312x?113113??[(6?y)x?x]x?0dy??(?y)dy?8228228(2)P{0?X?1,2?Y?3}??dy?

17

3、设X与Y的联合概率分布为 （1）求Y?0时，X的条件概率分布； （2）判断X与Y是否相互独立？ -1 X Y 0 1 2 1/10 3/10 3/20 0 1/5 1/20 0 2 0 1/10 1/10

解：(1)P(X?0|Y?0)?P(X?0,Y?0)1/5??4/5

P(Y?0)1/4P(X?1|Y?0)?P(X?1,Y?0)1/20??1/5

P(Y?0)1/4P(X?2,Y?0)0??0

P(Y?0)1/4P(X?2|Y?0)?(2)先求X，Y 的边缘分布列为: 0 X 3/10 Pi. Y P.j 1 9/20 2 5/20 -1 11/20 ?1/10?P0.P.?33/200

0 5/20 2 2/10 显然，P0?1?1所以，X与Y不相互独立

4、设X服从参数为2的泊松分布，Y?3X?2，试求E(Y)，D(Y)，cov(X,Y)及

?XY

解:由已知可得E(X)?2D(X)?2.所以E(Y)?3E(X)?2?4

D(Y)?9D(X)?18

cov(X,Y)?cov(X,3X?2)?3D(X)?6

cov(X,Y)6?XY???1 D(X)D(Y)218

18

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（十九）大数定理与中心极限定理

1、在每次试验中, 事件A发生的概率为0. 5，利用切比雪夫不等式求：在1000次试验中，事件A出现的次数在400~600之间的概率？ 解：用?表示在1000次试验中事件A发生的次数，由题意知：

?～B(1000,0.5)。从而有：E(?)?1000?0.5?500，

D(?)?1000?0.5?0.5?250。根据切比雪夫不等式有：

P{400???600}?P{??500?100}?1?250?0.975。2、在次品率为20%

10000的一大批产品中，任取300件，求取出的产品中次品数在40—60之间的概率。 解：用X表示在300件产品中的次品数，由题意知：X～B(300,0.2)。

E(X)?60,D(X)?48。根据中心极限定理有：

60?6040?60)??()4848?2020 ??(0)??()?0.5?1??()4848??(2.88)?0.5?0.998?0.5?0.498P{40?X?60}??(3、有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，先从这批木柱中任取100根，问其中至少有30根短于3米的概率。 解：用X表示100根木柱中小于3米的根数，由题意知：

X～B(100,0.2)。E(X)?20,D(X)?16。 根据中心极限定理有：

P{X?30}?1?P{X?30}?1??(?1??(2.5)?1?0.9938?0.006230?20) 44、从发芽率为95%的一批大豆种子中，任取400粒，求不发芽的种子不多于25粒的概率。

解：用X表示400粒种子中不发芽的粒数，由题意知：

X～B(400,0.05)。E(X)?20,D(X)?19。

19

有90％的把握认为车市的平均价格在11.46—16.64万元之间。

（2）当1???0.95时，查表得U??1.96，??5，n?10，x?14.05

2225252)，即(10.95,17.15) 可得置信区间为(14.05?1.96×，14.05?1.96×1010 即在置信水平95%情况下,车市平均价格的置信区间为(10.95,17.15)。也就是说，我们有95％的把握认为车市的平均价格在10.95—17.15万元之间。

（3）当1???0.99时，查表得U??2.58，??5，n?10，x?14.05

2225252)，即(9.97,18.13) 可得置信区间为(14.05?2.58× ，14.05?2.58×1010 即在置信水平99%情况下,车市平均价格的置信区间为(9.97,18.13)。也就是说，我们有99％的把握认为车市的平均价格在9.97—18.13万元之间。

15、某车床加工的产品长度X服从正态分布,从中抽取25件,测得长度X的样本均值的观测值x?10.507,样本方差的观测值s2?0.00184,求长度X的方差?2的置信水平为95%的置信区间.

解: 1???0.95 , ? ?21?2?2?0.025 , 查?2分布表得

2(n?1)???0.975(24)?12.401 2?2(n?1)??20.025(24)?39.364

2(n?1)S2(n?1)S2 所以置信水平为95%的?的置信区间为(2 , 2)

??(n?1)??(n?1)21?2?(24?0.0018424?0.00184, )?(0.001122,0.003561)

39.36412.4012即我们有95％的把握认为?在0.001122—0.003561之间。

16、设甲、乙两地某年12个月的月平均气温（单位：℃）资料如下： 甲地：16，18，19，20，21，22，24，24，23，20，18，15 乙地：-20，-15，20，29，34，35，40，32，30，29，18，5 试比较甲、乙两地的气温状况。 解：略

40

17、假定新生儿体重服从正态分布，从1996年出生的新生儿中随机抽取20个，测得其平均体重为3160克，样本的标准差为300克。而根据过去统计资料，新生儿平均体重为3140克。问现在与过去的新生儿体重有无显著差异（??0.01)。

解：（1）提出原假设H0:??3140和备选假设H1:??3140。 （2）构造统计量T，并确定其分布：

T?X?3140~t(19)

S/20（3）对于给定的显著水平??0.01，由PT???0.01，查t分布表确定临界值

??t0.005?19??2.861。

（4）由x?3160，s?300，得t?3160?3140?0.298

300/20（5）由于0.298?2.861，即t??则接受H0而拒绝H1。即在显著水平??0.01下，可以认为现在与过去新生儿体重没有显著差异。

18、设香烟中的尼古丁含量服从正态分布，已知某厂过去生产的某种牌号的香烟中尼古丁含量的均值和方差分别为18.9（毫克）和4.3(毫克2)，从现在生产的该种牌号香烟中随机抽取8支，测定其尼古丁含量为（单位毫克）：20，17，21，19，22，21，20，16（??0.05）

问：（1）尼古丁含量的均值是否有显著变化？ （2）尼古丁含量的方差是否有显著变化？

（1）解 ： （1）提出原假设H0:u?18.9和备选假设H1:u?18.9 （2）构造统计量U，并确定其分布：

U?X?18.94.3/8~N(0,1)

（3）对显著水平??0.05,查得临界值?0.025?1.96。接受域为w?（-1.96， 1.96） （4）由样本观测值得x?19.5，从而得相应U的取值为： U?19.5?18.94.3/8?0.82

41

（5）作出判断由于u?0.82?w，故接受H0，即尼古丁含量的均值无显著变化。 （2）解：（1）提出原假设H0:?22?4.3和备选假设H1:?2?4.3。

（2）构造统计量?，并确定其分布：

?2?(n?1)S2?02??(Xi?12ni?X)2~?2(n?1)

?02（3）对于给定的显著水平??0.05，查?分布表确定临界值

?20.025(7)?16.013。

?20.095(7)?1.69 故接受域为w?（1.69 ，16.013）

7?3030227?6.977 （4）根据样本观测值计算?：s? ?2?74.3（5）作出判断：由于6.977?w,则拒绝H0，即尼古丁含量的方差无显著变化。

19、为讨论企业的耗电量y与企业生产量x之间的相关关系，现对12个月的数据(xi,yi) (i=1，?，12)，计算得?xi?8382，?yi=5061，?xi2?6001206，

i?1i?1i?1121212?xyii?112i?3622982，?yi2?2187343，

i?112求（1）y对x的回归直线；

（2）当产量为840时，估计值耗电量。

11212xi?yi?3622982?3535108.5?87873.5 解（1）Lxy??xiyi?12xy??xiyi??12i?1i?1i?1i?1112Lxx??xi?nx??xi?(?xi)2?6001206?5854827?146379

12i?1i?1i?122212121212故得：

?1?L?Lxyxx??0.6 ??0?2.65

所以回归方程为y?2.65?0.6x （2）y?506.65

42

根据中心极限定理有：

P{X?25}??(25?2019)??(1.15)?0.8749。

5、某商店负责供应某地区1000人的商品，某种商品在一段时间内每人需要一件的概率为0.6，假定在这段时间内各人购买与否彼此无关。问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不脱销。

解：用X表示某地区购买某种商品的件数，由题意知：

X～B(1000,0.6)。E(X)?600,D(X)?240。

设商店应预备N件这种商品，求满足P{X?N}?0.997的最小N。 根据中心极限定理有：

P{X?N}?0.997?P{X?N}??(N?600)?0.997

240?N?600240 ?2.75?N?600?2.75240?643件。6、某个单位设置电话总机，共有200台分机，设每台分机有5%的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要有多少外线才能以90%的概率保证每台分机要有外线可供使用。 解：用X表示分机要使用的外线数，由题意知：

X～B(200,0.05)。E(X)?10,D(X)?9.5。

设总机应设置N条外线，求满足P{X?N}?0.90的最小N。 根据中心极限定理有：

P{X?N}?0.90?P{X?N}??(N?109.5N?10)?0.90 9.59.5?14??1.28?N?10?1.28

20

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（二十）样本及抽样分布

1、设总体X~N(?,?2)，X1,X2是容量为2的样本，?,?2为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ D ） A、X1?X2

22 B、X12?4X2?X2 C、X12?X2 D、X1??

2、X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?21)的一个样本，X?n?Xi?1ni是样本均值，

则服从?2(n?1)分布的统计量是（ A ）

A、

1?2?(Xi?1ni?X) B、

21?2?(Xi?1ni??) C、

2?Xi?1n2i D、

?Xi?1n2i?2

3、设总体X~N(2,42)，X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，则以下结果正确的是（ D ） A、

X?2X?2~N(0,1) B、~N(0,1) 416X?2X?u~N(0,1) D、~N(0,1)

42nC、

4、某一年龄段的学生中任意抽取10名，测得他们的身高为（单位：cm）：

123 , 124 , 126 , 129 , 120 , 132 , 123 , 123 , 129 , 128

（1）在这个问题中，总体、个体、样本各是什么？样本容量为多少？ （2）求样本均值，样本方差。

（1）总体是某一年龄段的学生身高；个体是某一年龄段的每个学生身高；样本是被抽取到的10名学生；样本容量是n＝10。

110120?123?3?124?126?128?129?2?132（2）x??xi??125.7

ni?110 21

2?1?ns(x2i?x)?[(120?125.7)2?(123?125.7)2?3?(124?125.7)2ni?1?(126?125.7)2?(128?125.7)2?(129?125.7)2?2?(132?125.7)2]

?13.695、查表求下列各值：

（1）U0.05?1.64（2）U0.01?2.33（3）t0.01(9)?2.82（4）t0.025(8)?2.31

（5）?20.025(20)?34.17 （6）?20.05(20)?31.41 （7） F0.025(20,10)?3.42（8）F0.975(10,12)?11F0.025(12,10)?3.62 6、设甲、乙两地某年12个月的月平均气温（单位：℃）资料如下：

甲地：16，18，19，20，21，22，24，24，23，20，18，15 乙地：-20，-15，20，29，34，35，40，32，30，29，18，5 试比较甲、乙两地的气温状况。

解：x1?(15?16?18?2?19?20?2?21?22?23?24?2)/12?20

x2?(?20?15?5?18?20?29?2?30?32?34?35?40)/12?19.75S221?[(15?20)2?(16?20)2?(18?20)?2?(19?20)2?(20?20)2?2?(21?20)2?(22?20)2?(23?20)2?(24?20)2?2]/12?8S22?[(?20?20)2?(?15?20)2?(5?20)2?(18?20)2?(20?20)2?(29?20)2?2?(30?20)2?(32?20)2

?(34?20)2?(35?20)2?(40?20)2]/12?342.58∵x1?x2且S21?S22 ∴甲地气温状况比乙地好。

22

班级 学号 姓名

（二十一）点估计

1、从某地区十四岁的男中学生中随机抽取9人，测得其身高和体重值如下： 身高/cm 160 体重/kg 43 157 40 153 42 158 49 157 45 154 42 154 41 163 46 156 45 试分别对身高和体重的均值作矩估计。

解：设用?1,?2分别表示身高和体重的均值，则它们的矩估计分别为：

?1?x?[153?154?2?156?157?2?158?160?163]/9?156.89??2?y?[40?41?42?2?43?45?2?46?49]/9?43.67 ?2、设总体具有分布列

X p 0 1 2 3 ?2 2?(1??) ?2 1?2? 其中??0???0.5?为未知参数。已知取得了样本观测值

x1?3,x2?1,x3?3,x4?0,x5?3,x6?1,x7?2,x8?3

试求的矩估计值和最大似然估计值。 解：（1）矩估计：

??E(X)?0??2?1?2?(1??)?2??2?3?(1?2?)?3?4?

??A?X????3?X为所求?的估计量。 根据矩估计法，令 3?4?141又因统计量X的值为：x?(3?1?3?0?3?1?2?3)?2，

8??3?x?3?2?0.25。 所以?的矩估计值为： ?44 （2）最大似然估计

L(?)??P{Xi?xi}?[P{X1?3}P{X2?1}P{X3?3}i?18P{X4?0}P{X5?3}P{X6?1}P{X7?2}P{X8?3}]? (1?2?)[2?(1??)](1?2?)?2(1?2?)[2?(1??)]?2(1?2?)?4?6(1??)2(1?2?)4

23

两边同时取对数得

lnL(?)?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?)

对?求导，并令导数为零，有：

dlnL(?)628??7?13(0???0.5) ?0????0??d??1??1?2?123、设X1,X2,X3,X4是来自均值为?的指数分布总体的样本，其中?未知。设有估计量 T1?11(X1?X2)?(X3?X4) 631T2?(X1?2X2?3X3?4X4)

51T3?(X1?X2?X3?X4)

4（1）指出T1,T2,T3中哪几个是?的无偏估计量； （2）在上述?的无偏估计中指出哪一个较为有效。

解：（1）∵E(X)???E(Xi)??,i?1,2,3,4 ∴E(T1)?E[(X1?X2)?(X3?X4)]

11?[E(X1)?E(X2)]?[E(X3)?E(X4)]63

11??2???2???63161311E(T2)?E[(X1?2X2?3X3?4X4)]??10??2?

5511E(T3)?E[(X1?X2?X3?X4)]??4???

44从而知：T1、T3是?的无偏估计量，而T2是?的有偏估计量。

（2）∵D(X)??2?D(Xi)??2,i?1,2,3,4，且Xi相互独立 ∴D(T1)?D[(X1?X2)?(X3?X4)]

11225[D(X1)?D(X2)]?[D(X3)?D(X4)??2??2??2 36936918111D(T3)?D[(X1?X2?X3?X4)]??4?2??2

4164?1613 24

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