集合、常用逻辑用语，函数与导数，等式专题限时规范训练及详细答案

第1讲 集合、常用逻辑用语

[限时45分钟，满分60分]

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．(2013·烟台一模)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(?RA)∩B等于 A．{x|x＞－1} C．{x|－1＜x＜2}

B．{x|－1＜x≤1} D．{x|1＜x＜2}

解析 ?RA＝{x|x≤1}，所以(?RA)∩B＝{x|－1＜x≤1}，选B. 答案 B

2．(2013·东城模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是 A．{1,2}

B．{x|x≤1} D．R

C．{－1,0,1}

解析 因为A∩B＝B，所以B?A， 因为{1,2}?A，所以答案选A. 答案 A

a

3．若函数f(x)＝x2＋x(a∈R)，则下列结论正确的是 A．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．?a∈R，f(x)是偶函数 D．?a∈R，f(x)是奇函数

3

a2x－a

解析 ∵f′(x)＝2x－x2＝x2，

∴A，B不正确．在C中，

当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，C正确， 显然f(x)不是奇函数，D不正确． 答案 C

4．(2013·丰台模拟)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，?UM＝{5,7}，则实数a的值

- 1 -

为

A．2或－8 C．－2或8

B．－2或－8 D．2或8

解析 因为?UM＝{5,7}，所以|a－5|＝3，即a－5＝3或a－5＝－3，即a＝8或2，选D. 答案 D

5．(2013·滨州一模)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，则(?UB)∪A等于 A．{1,2} C．{3,4}

B．{2,3,4} D．{1,2,3}

解析 因为A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以?UB＝{1,3}， 即(?UB)∪A＝{1,2,3}，选D. 答案 D

6．(2013·山东)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的 A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 ∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q?綈p，但綈p?q，其逆否命题为p?綈q，但綈q?p，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.

答案 A

7．(2013·云南师大附中模拟)已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是

A．[－1,1]

B．[－4,4]

D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)

解析 p：－1≤x≤4，记q：3－m≤x≤3＋m(m＞0)或3＋m≤x≤3－m(m＜0)，

?m＞0，

依题意，?3－m≤－1，

?3＋m≥4

答案 C

?m＜0，

或?3＋m≤－1，?3－m≥4，

解得m≤－4或m≥4.选C.

8．(2013·烟台一模)已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是

A．綈p

B．(綈p)∨q

- 2 -

C．(綈q)∧p D．q

解析 命题p为真，q为假命题，所以(綈q)∧p为真，选C. 答案 C

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．(2013·德州一模)命题“?x∈R，x2－2x＝0”的否定是________．

解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，x2－2x＝0”的否定是?x∈R，x2－2x≠0.

答案 ?x∈R，x2－2x≠0

?????1110．(2013·合肥模拟)若集合A＝{y|y＝x3，－1≤x≤1}，B＝?y?y＝2－x，0＜x≤1?，则A∩B

?????

等于________．

?????11

?解析 A＝{y|y＝x3，－1≤x≤1}＝{y|－1≤y≤1}，B＝y?y＝2－x，0＜x≤1?＝{y|y≤1}， ?????

所以A∩B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]． 答案 [－1,1]

x

11．设p：＜0，q：0＜x＜m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是________．

x－2x

解析 不等式＜0等价于x(x－2)＜0，解之得0＜x＜2，

x－2即p：0＜x＜2.又p是q成立的充分不必要条件， ∴{x|0＜x＜2}{x|0＜x＜m}，故m＞2. 答案 (2，＋∞)

12．给定下列四个命题：

π1

①“x＝6”是“sin x＝2”的充分不必要条件； ②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真； ③若a＜b，则am2＜bm2； ④若集合A∩B＝A，则A?B.

其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．

- 3 -

π11π

解析 ①中由x＝6?sin x＝2，但sin x＝2?x＝6，故①为真命题． ②中p∨q为真，但p、q不一定全为真命题， 则推不出p∧q为真，故②为假命题． ③中当m2＝0时不成立，故③为假命题． ④中A∩B＝A?A?B，故④为真命题． 故答案为①④. 答案 ①④

第2讲 函数、基本初等函数的图象性质

[限时45分钟，满分60分]

一、选择题(每小题5分，共45分) 1．函数f(x)＝

3x

＋lg(2x－1)的定义域为 1－x

B．(0,1]

C．(0,1)

D．(0，＋∞)

A．(－∞，1)

x

?2－1＞0?x＞0

解析 要使函数有意义，则有?，即?，

1－x＞0x＜1??

所以0＜x＜1，即函数定义域为(0,1)，选C. 答案 C

1

2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则f(－1)等于 A．－2

B．0 C．1

- 4 -

D．2

解析 因为f(x)是奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案 A

?－log2x，x＞0，

3．(2013·衡水模拟)已知函数f(x)＝?则不等式f(x)＞0的解集为 2

?1－x，x≤0，A．{x|0＜x＜1} C．{x|－1＜x＜1}

B．{x|－1＜x≤0} D．{x|x＞－1}

解析 若x＞0，由f(x)＞0得，－log2x＞0， 解得0＜x＜1；

若x≤0，由f(x)＞0，得1－x2＞0， 解得x2＜1，即－1＜x≤0. 综上－1＜x＜1，选C. 答案 C

4．(2013·济南一模)函数y＝x－x的图象大致为

13

解析 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C，D. 当x＝1时，y＝0，当x＝8时， 3

y＝8－8＝8－2＝6＞0，排除B，选A. 答案 A

5．(2013·浦东模拟)已知函数f(x)＝

1?1??x＋2?＋n为奇函数，则实数n为 ，若函数y＝f??4x＋2

- 5 -

1

A．－2

1

B．－4

14x?12 ＋n，

1

C.4

D．0

?1?

解析 据题意，y＝f?x＋2?＋n＝

??所以当x＝0时，

40??2112＋n＝0，

?21

解得n＝－4. 答案 B

6．(2013·玉溪模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是

A．(－1,0) C．(1,2)

B．(－∞，0)∪(1,2) D．(0,2)

解析 根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)＜0的解集为(0,2)，选D.

答案 D

7．(2013·玉溪一中月考)函数f(x)＝

x

的图象不可能是 x2＋a

解析 当a＝0时，f(x)＝

x1

＝x，C选项有可能． x＋a

2x

当a≠0时，f(0)＝2＝0，所以D图象不可能，选D.

x＋a

- 6 -

答案 D

4

8．(2013·海淀模拟)若x∈R，n∈N＋，定义En例如E－(－x＝x(x＋1)(x＋2)?(x＋n－1)，4＝(－4)·

3)·(－2)·(－1)＝24，则f(x)＝x·E5x－2的奇偶性为

A．偶函数不是奇函数

B．奇函数不是偶函数 D．非奇非偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

5222解析 由题意知f(x)＝xEx－2＝x(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)＝x(x－4)(x－1)，所以函数为偶函

数，不是奇函数，选A.

答案 A

9．(2013·潮州一模)定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0恒成立，若a＝3f(3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝－2f(－2)，则

A．a＞c＞b C．c＞a＞b

B．c＞b＞a D．a＞b＞c

解析 设g(x)＝xf(x)，依题意得g(x)是偶函数， 当x∈(－∞，0)时f(x)＋xf′(x)＜0，

即g′(x)＜0恒成立，故g(x)在x∈(－∞，0)单调递减， 则g(x)在(0，＋∞)上递增，

a＝3f(3)＝g(3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)＝g(logπ3)， c＝－2f(－2)＝g(－2)＝g(2)． 又logπ3＜1＜2＜3，故a＞c＞b. 答案 A

二、填空题(每小题5分，共15分)

10．(2013·山东实验中学模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．

解析 因为y＝|ax－1|的图象是由y＝|ax|向下平移一个单位得到，当a＞1时，作出函数y＝|ax－1|的图象如图，此时y＝2a＞2，如图只有一个交点，不成立．

1当0＜a＜1时，0＜2a＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a＜1，即0＜a＜2，1??0，?所以a的取值范围是. 2???

- 7 -

1??

答案 ?0，2?

??

x

?a， x＞0，

11．(2013·海淀模拟)已知函数f(x)＝?

?ax＋3a－8， x≤0，

若函数f(x)的图象经过点(3,8)，则a＝________；若函数f(x)是 (－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a的取值范围是________．

解析 若函数f(x)的图象经过点(3,8)， 则a3＝8，解得a＝2.

若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， ?a＞1?a＞1则有?，即?，

f?0?≤13a－8≤1???a＞1所以?，即1＜a≤3，

?a≤3所以实数a的取值范围是(1,3]． 答案 2 (1,3]

12．(2013·西城模拟)已知函数f(x)的定义域为R.若?常数c＞0，对?x∈R，有f(x＋c)＞f(x－c)，则称函数f(x)具有性质P.给定下列三个函数：

①f(x)＝2x；②f(x)＝sin x；③f(x)＝x3－x. 其中，具有性质P的函数的序号是________．

解析 由题意可知当c＞0时，x＋c＞x－c恒成立，若对?x∈R，有f(x＋c)＞f(x－c)． ①若f(x)＝2x，则由f(x＋c)＞f(x－c)得2x＋c＞2x－c，即x＋c＞x－c，所以c＞0，恒成立． 所以①具有性质P.②若f(x)＝sin x，由f(x＋c)＞f(x－c)得sin(x＋c)＞sin(x－c)，整理cos xsin c＞0，所以不存在常数c＞0，对?x∈R，有f(x＋c)＞f(x－c)成立，所以②不具有性质P.③若f(x)＝x3－x，则由f(x＋c)＞f(x－c)得由(x＋c)3－(x＋c)＞(x－c)3－(x－c)，整理得6x2＋c2＞2，所以当只要c＞2，则f(x＋c)＞f(x－c)成立，所以③具有性质P，所以具有性质P的函数的序号是①③.

答案 ①③

- 8 -

第3讲 函数与方程及函数的应用

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分) 1．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则 A．k＜0

B．k＝0

C．k＞0

D．0≤k＜1

解析 函数f(x)有两个零点，即方程|x|＝k有两个不等的实数根，在同一坐标系内作出函数y＝|x|和y＝k的图象，如图所示，可知当k＞0时，二者有两个交点，即f(x)有两个零点．

答案 C

2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表

f(1)＝－2 f(1.25)＝－0.984 f(1.438)＝0.165 f(1.5)＝0.625 f(1.375)＝－0.260 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 A．1.2

B．1.3

C．1.4

D．1.5

解析 根据所给表格与函数零点的存在性定理可知f(1.375)f(1.438)＜0，即函数f(x)的零点在区间(1.375，1.438)内，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.

答案 C

3．(2013·惠州模拟)已知函数f(x)＝3x＋x－9的零点为x0，则x0所在区间为 1??3

A.?－2，－2? ???13?C.?2，2? ??

?11?B.?－2，2? ???35?D.?2，2? ??

解析 因为f(x)为增函数．

- 9 -

3?3?又f?2?＝27＋2－9＜0，

??5?5?f?2?＝243＋2－9＞0.故选D. ??答案 D

1

4．已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝2，则f(x)＝0在区间[0,2 013]内根的个数为

A．2 011

B．1 006

C．2 013

D．1 007

解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2， 由f(x)＝f(－x＋2)可知函数f(x)关于直线x＝1对称， 1

因为函数f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝2，

所以函数f(x)＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 答案 C

5．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0＜a＜2)有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是

A．x1＞－1 C．0＜x2＜1

B．x2＜0 D．x3＞2

解析 因为f(－3)＝a－15＜0，f(－1)＝3＋a＞0，f(0)＝a＞0，f(1)＝a－3＜0，f(2)＝a＞0，所以函数的三个零点分别在(－3，－1)，(0,1)，(1,2)之间，又因为x1＜x2＜x3，所以－3＜x1＜－1,0＜x2＜1＜x3＜2，选C.

答案 C

1??log?x＋1?，x∈[0，1?，

6．(2013·滨州一模)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝?2

??1－|x－3|，x∈[1，＋∞?，则关于x的函数F(x)＝f(x)－a,0＜a＜1的所有零点之和为

A．1－2a

B．2a－1

C．1－2－a

D．2－a－1

解析 当0≤x＜1时，f(x)≤0.当x≥1时，函数f(x)＝1－|x－3|，关于x＝3对称，当x≤－1时，函数关于x＝－3对称，由F(x)＝f(x)－a＝0，得y＝f(x)，y＝a.所以函数F(x)＝f(x)－a有5个零点．当－1≤x＜0时，0＜－x≤1，所以f(－x)＝log1 (－x＋1)＝－log2(1－x)，即f(x)＝log2(1－

2x)，－1≤x＜0.由f(x)＝log2(1－x)＝a，解得x＝1－2a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)＝f(x)－a,0＜a＜1的所有零点之和为x＝1－2a，选A.

- 10 -

答案 A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．方程log1 (a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

2?1?2＋x

解析 方程log1(a－2)＝2＋x等价为?2?＝a－2x，

??

x

211?1?＋

即a＝2x＋?2?2x＝2x＋4×2x≥2

??11112x×4×2x＝1，当且仅当2x＝4×2x，

1

即2x＝2，x＝－1时取等号，所以a的最小值为1. 答案 1

8．(2013·滨州一模)定义在R上的偶函数f(x)，且对任意实数x都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．

解析 由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期为2.由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝kx＋k＝k(x＋1)，分别作出函数y＝f(x)，y＝k(x＋1)的图象，要使函数有4个零点，则直线y＝k(x＋1)的斜率0＜k≤kAB，1－01?11?因为kAB＝＝，所以0＜k≤4，即实数k的取值范围是?0，4?.

??3－?－1?4

1??

答案 ?0，4?

??

- 11 -

9．(2013·房山区一模)某商品在最近100天内的单价f(t)与时间t的函数关系是f(t)＝t??4＋22， 0≤t＜40，t∈N，?t??－2＋52， 40≤t≤100，t∈N，

t109

日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－3＋3，

0≤t≤100，t∈N.则这种商品的日销售额的最大值为________．

?t??t109?解析 由条件可知，当0≤t＜40，t∈N时，这种商品的日销售额为y＝?4＋22??－3＋3?，

?????t?

则当t＝10或t＝11时，ymax＝808.5；当40≤t≤100，t∈N时，这种商品的日销售额为y＝?－2＋52?

???t109??－3＋3?，则当t＝100时，ymax＝736. ??

答案 808.5

三、解答题(每小题12分，共36分)

10．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝?t＋20， 0＜t＜25，t∈N，?该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40,0?－t＋100， 25≤t≤30，t∈N.

＜t≤30，t∈N，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

??－t＋40??t＋20?， 0＜t＜25，

解析 由题意得y＝pQ＝?

??－t＋40??－t＋100?， 25≤t≤30，所以当0＜t＜25时，ymax＝f(10)＝900， 当25≤t≤30时，ymax＝f(25)＝1 125， 综上所述，ymax＝f(25)＝1 125.

所以这种商品的日销售金额的最大值为1 125元，是30天中的第25天．

11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，a≠0)，f(－2)＝f(0)＝0，f(x)的最小值为－1. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数h(x)＝[n?f(x)]－1，若函数h(x)在其定义域上不存在零点，求实数n的取值范围． 解析 (1)由题意设f(x)＝ax(x＋2)， ∵f(x)的最小值为－1，

∴a＞0，且f(－1)＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.

- 12 -

?12

(2)∵函数h(x)＝[n?f(x)]－1在定义域内不存在零点，必须且只须有n－f(x)＞0有解，且n－f(x)＝1无解．

∴n＞fmin(x)，且n不属于f(x)＋1的值域． 又∵f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

∴f(x)的最小值为－1，f(x)＋1的值域为[0，＋∞)， ∴n＞－1，且n＜0， ∴n的取值范围为(－1,0)．

12．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元．设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．

(1)从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？

解析 (1)设从第n年开始获取纯利润，则

n?n－1???

?＝－2n2＋40n－72＞0， f(n)＝50n－?12n＋·4＋72

2??整理得n2－20n＋36＜0，解得：2＜n＜18， ∴从第三年开始获取纯利润．

2

36?f?n?－2n＋40n－72?

?n＋n?≤40－4 (2)方案1 年平均利润为n＝＝40－2

n??

?1236n·n＝16，

36

当且仅当n＝n，即n＝6时取等号， ∴总利润为y1＝16×6＋48＝144(万元)．

方案2 纯利润总和为f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128， ∴n＝10时，f(n)max＝128，

∴总利润为y2＝128＋16＝144(万元)． 由于方案1用时较短，故方案1最合算．

- 13 -

第4讲 不等式

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分) 1．下列不等式可以推出a＜b的是 A．ac＜bc C．a2＜b2

2

2

11B.a＞b abD.c＜c

解析 因为ac2＜bc2，所以c≠0，即c2＞0，故ac2＜bc2?a＜b，选A；对于B，当a＝1，b11

＝－1时，满足a＞b，但a＞b；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a2＜b2，但a＞b；对于D，当c＜0时，有a＞b.

答案 A

2．若点(a，a)和点(a＋2，a)分别在直线x＋y－3＝0的两侧，则实数a的取值范围是 A．(－∞，1)∪(3，＋∞) 1??3??

C.?－∞，2?∪?2，＋∞? ????

B．(1,3) ?13?D.?2，2? ??

解析 据题意知(a＋a－3)(a＋2＋a－3)＜0，即(2a－3)(2a－1)＜0，

- 14 -

13

解得2＜a＜2，故选D. 答案 D

?－1， x≥0，

3．已知函数f(x)＝?2则满足不等式f(3－x2)＜f(2x)的x的取值范围为

?x－1， x＜0，A．[－3,0) C．(－3,1)

B．(－3,0) D．(－3，－3)

解析 由函数图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上是一条平行于x轴

2

?3－x＞2x，

的射线，则原不等式的解为?即x∈(－3,0)，故选B.

?2x＜0，

答案 B

4．(2013·深圳模拟)已知a＞0，c＞0，设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，19

则c＋a的最小值为

A．3

9

B.2

C．5

D．7

解析 因为二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16－4ac＝0，即ac1119＝4，ac＝4，又c＋a＝2 时等号成立．

答案 A

y≤x??1

5．(2013·潍坊一模)在约束条件?y≥2x??x＋y≤11

A.4

3

B.4

19c×a＝2

9ac＝2

9192＝3，当且仅当＝，ac＝4，即c＝4ca3，a＝6

1

下，目标函数z＝x＋2y的最大值为

5

C.6

5D.3

1

解析 由z＝x＋2y得y＝－2x＋2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y＝－2x＋2z，由平移1??y＝x可知，当直线经过点C时，直线y＝－2x＋2z的截距最大，此时z最大．由?2

??x＋y＝1

- 15 -

2

x＝??3

，解得?1

y＝??3

，

12115

代入z＝x＋2y得z＝3＋2×3＝6，选C.

答案 C

?x＋2y≥0

6．(2013·枣庄一模)设z＝x＋y，其中实数x，y满足?x－y≤0

?0≤y≤k

最小值为

A．－3

B．－2

C．－1

，若z的最大值为6，则z的

D．0

?x＋2y≥0，

解析 由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出?的区域BCO，平移直线y＝－x＋z，由图

?x－y≤0?y＝x?x＝3

象可知当直线经过C时，直线的截距最大，此时z＝6，由?解得?，所以k＝3，

?y＝－x＋6?y＝3解得B(－6,3)代入z＝x＋y的最小值为z＝－6＋3＝－3，选A.

答案 A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．已知不等式x2＋mx＋n＜0的解集是{x|－1＜x＜6}，则mx＋n＞0的解集是________．

- 16 -

解析 据题意知x2＋mx＋n＝0的两根为－1和6，由根与系数关系得m＝－5，n＝－6，则不等式mx＋n＞0

答案

???6

为－5x－6＞0，其解集为?x?x＜－5

???

??

?. ??

???6

?x?x＜－

5???

??? ??

x＋2y

8．(2013·杭州一模)若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则xy的最小值为________． 2xy

解析 由题意：2x＋y－3＝0?3＋3＝1，

x＋2y21?21??2xy?2?yx?525

?x＋y?·?3＋3?＝?x＋y?＋≥·＝＋＝2＋

xyxy?3＝3. ???3??33答案 3

?x－2y≤0，9．(2013·滨州一模)设实数x，y满足约束条件?2x－y≥0，

?x2＋y2－2x－2y≤0，

最大值为________．

则目标函数z＝x＋y的

解析 由z＝x＋y得y＝－x＋z.作出不等式组对应的区域，平移直线y＝－x＋z，由图象可知，当直线y＝－x＋z与圆在第一象限相切时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大．直线与圆的距离d＝

|z|

＝2，即z＝±4，所以目标函数z＝x＋y的最大值是4. 2

答案 4

三、解答题(每小题12分，共36分)

10．已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}． (1)求a、b的值；

(2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c＞0.

- 17 -

解析 (1)由题意知a＞0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的根， 2

∴a＝1；又1×b＝a，∴b＝2.

(2)不等式可化为x2－2(c＋1)x＋4c＞0， 即(x－2c)(x－2)＞0，

当2c＞2，即c＞1时不等式的解集为{x|x＜2，或x＞2c}， 当2c＝2，即c＝1时不等式的解集为{x|x≠2}，

当2c＜2，即c＜1时不等式的解集为{x|x＞2，或x＜2c}， 综上：当c＞1时不等式的解集为{x|x＜2，或x＞2c}， 当c＝1时不等式的解集为{x|x≠2}．

当c＜1时不等式的解集为{x|x＞2，或x＜2c}． 1

11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，a∈R. 15

(1)当a＝－16时，解不等式f(x)＜0；

?1?n

(2)当a＝－?2?时，若对任意n∈N＋，当x∈(－∞，λ]时不等式f(x)≥0恒成立，求实数λ的取

??值范围．

151115

解析 (1)把a＝－16代入f(x)＝x2＋2x＋a＜0得x2＋2x－16＜0，即16x2＋8x－15＜0，分解因53

式得(4x－3)(4x＋5)＜0，解之得－4＜x＜4，

所以不等式f(x)＜0

???53

的解集为?x?－4＜x＜4

???

??

?. ??

?1?(2)当a＝－?2?n时，

??1?1?由f(x)＝x2＋2x－?2?n≥0，

??1?1?n

得x＋2x≥?2?，即

??

2

1??1??

x2＋2x≥??2?n?max恒成立，

????1??1??

因为??2?n?max＝2，

????

11

即x2＋2x≥2在x∈(－∞，λ]时恒成立．

- 18 -

11?1?1

令y＝x2＋2x，则y＝x2＋2x＝?x＋4?2－16，

??1

二次函数图象的开口向上，且对称轴为x＝－4， 11

令y＝x2＋2x＝2， 1

解得x＝－1，或x＝2，

1

结合二次函数y＝x＋2x的图象可知，

2

11

要使当x∈(－∞，λ]时不等式x2＋2x≥2恒成立，则λ≤－1.

12．城建部门计划在浑南新区建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．

(1)若设休闲区的长A1B1＝x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

4 000解析 (1)由A1B1＝x，知B1C1＝x，

80 000?4 000?

S＝(x＋20)?x＋8?＝4 160＋8x＋x(x＞0)．

??(2)S＝4 160＋8x＋＝5 760， 当且仅当8x＝

80 000

x，即x＝100时取等号．

80 000

x≥4 160＋2

80 0008x·x

∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．

- 19 -

第

5讲 导数的简单应用

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．(2013·邯郸模拟)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为

A．y＝3x＋1 C．y＝－3x＋1

B．y＝－3x D．y＝3x－3

解析 函数的导数为f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，若f′(x)为偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.所以f′(0)＝－3.所以在原点处的切线方程为y＝－3x，选B.

答案 B

2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值是

A．a＋b＋c C．3a＋2b

B．8a＋4b＋c D．c

解析 由导函数f′(x)的图象知当x＜0时，f′(x)＜0，当0＜x＜2时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的极小值为f(0)＝c，选D.

答案 D

4?13?

1，3．曲线y＝3x＋x在点?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3???2

A.9

2

1

B.9

1

C.3

2D.3

4?4?

解析 y′＝f′(x)＝x＋1，在点?1，3?的切线斜率为k＝f′(1)＝2.所以切线方程为y－3＝2(x

??2??1?211?2??

0，－，0－?＝????－1)，即y＝2x－3，与坐标轴的交点坐标为3?，?3?，所以三角形的面积为2×3×???3?

- 20 -

1

9，选B.

答案 B

4．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是 A．2

B．1

C．0

D．由a确定

解析 函数的导数为f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0， 所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C. 答案 C

5．若函数y＝e(a－1)x＋4x(x∈R)有大于零的极值点，则实数a的范围是 A．a＞－3 1

C．a＞－3

B．a＜－3 1

D．a＜－3

解析 因为函数y＝e(a－1)x＋4x， 所以y′＝(a－1)e(a－1)x＋4(a＜1)， 所以函数的零点为x0＝

14ln. a－1－a＋1

14ln＞0，得到a＜－3，选B. a－1－a＋1

因为函数y＝e(a－1)x＋4x(x∈R)有大于零的极值点，故答案 B

6．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为 A．(－1,1)

B．(－1，＋∞) D．R

C．(－∞，－1)

解析 令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，

则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上单调递增． 又∵g(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，

∴g(x)＞0，即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案 B

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．(2013·临沂模拟)若曲线f(x)＝x，g(x)＝xa在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为________．

- 21 -

解析 f′(x)＝

12x

，g′(x)＝axa－1，

1

所以在点P处的斜率分别为k1＝2，k2＝a. a

因为l1⊥l2，所以k1k2＝2＝－1，所以a＝－2. 答案 －2

1

8．函数f(x)＝x(ex－1)－2x2的单调增区间为________． 解析 f′(x)＝ex－1＋x·ex－x＝(ex－1)(x＋1)， 令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞0，

所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)． 答案 (－∞，－1)和(0，＋∞)

9．若函数f(x)＝x－ax＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________． 解析 ∵f(x)＝x－ax＋ln x在(0，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)＝1－而2x＋

12

＋x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋ . 2xx

2x×

2

＝4， x

a

2≥2x

当且仅当x＝

1

，即x＝1时等号成立，∴a≤4. x

答案 (－∞，4]

三、解答题(每小题12分，共36分)

10．(2013·杭州一模)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，(其中a＞0)． (1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；

(2)当a＝4时，给出直线l1：5x＋2y＋m＝0和l2：3x－y＋n＝0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线？若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．

1?x－1??2x－1?解析 (1)当a＝1时，f′(x)＝2x－3＋x＝，

x11

当0＜x＜2时，f′(x)＞0；当2＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0.

所以当x＝1时，f(x)取极小值－2.

- 22 -

4

(2)当a＝4时，f′(x)＝2x＋x－6. 4

∵x＞0，∴f′(x)＝2x＋x－6≥42－6， 故l1中，不存在函数图象的切线． 41

由2x＋x－6＝3得x＝2与x＝4， 117

当x＝2时，求得n＝－4－4ln 2， 当x＝4时，求得n＝4ln 4－20.

11

11．(2013·惠州模拟)已知f(x)＝ln x，g(x)＝3x3＋2x2＋mx＋n，直线与函数f(x)，g(x)的图象都相切于点(1,0)．

(1)求直线的方程及g(x)的解析式；

(2)若h(x)＝f(x)－g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的极大值． 解析 (1)直线是函数f(x)＝ln x在点(1,0)处的切线， 故其斜率k＝f′(1)＝1， ∴直线的方程为y＝x－1.

又因为直线与g(x)的图象相切，且切于点(1,0)， 11

∴g(x)＝3x3＋2x2＋mx＋n在点(1,0)的导函数值为1， m＝－1???g?1?＝0

∴???1

n＝?g′?1?＝1?6?

111

，∴g(x)＝3x3＋2x2－x＋6. (2)∵h(x)＝f(x)－g′(x)＝ln x－x2－x＋1(x＞0)， 1－2x2－x?2x－1??x＋1?1

∴h′(x)＝x－2x－1＝＝－，

xx1

令h′(x)＝0，得x＝2或x＝－1(舍)， 1

当0＜x＜2时，h′(x)＞0，h(x)递增； 1

当x＞2时，h′(x)＜0，h(x)递减，

111?1???因此，当x＝2时，h(x)取得极大值，∴[h(x)]极大＝h2＝ln2＋4. ??

- 23 -

x－a

12．(2013·大兴区一模)已知函数f(x)＝，x∈(1，＋∞)．

?x－1?2(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)函数f(x)在区间[2，＋∞)上是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

解析 (1)f′(x)＝

?x－1??－x＋2a－1?

，x∈(1，＋∞)．

?x－1?4由f′(x)＝0，得x1＝1，或x2＝2a－1. ①当2a－1≤1，即a≤1时，

在(1，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

②当2a－1＞1，即a＞1时，在(1,2a－1)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，在(2a－1，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

综上所述：a≤1时，f(x)的减区间为(1，＋∞)；

a＞1时，f(x)的增区间为(1,2a－1)，f(x)的减区间为(2a－1，＋∞)． (2)①当a≤1时，由(1)f(x)在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值； 3

②当a＞1时，若2a－1≤2，即a≤2时， f(x)在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；

3

若2a－1＞2，即a＞2时，f(x)在[2,2a－1)上单调递增，在(2a－1，＋∞)上单调递减， 因为f(2a－1)＝

a－1

＞0，

?2a－2?2且当x＞2a－1时，x－a＞a－1＞0， 所以x≥2a－1时，f(x)＞0.

又因为f(2)＝2－a，所以当2－a≤0， 即a≥2时，f(x)有最小值2－a；

3

2－a＞0，即2＜a＜2时，f(x)没有最小值． 综上所述：当a≥2时，f(x)有最小值2－a； 当a＜2时，f(x)没有最小值．

- 24 -

第6讲 导数的综合应用和定积分

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．(2013·山师大附中模拟)设a＝?1cos xdx，b＝?1sin xdx，下列关系式成立的是

?0?0A．a＞b

B．a＋b＜1

C．a＜b

D．a＋b＝1

解析 a＝?1cos xdx＝sin x |10＝sin 1，

?0b＝?1sin xdx＝(－cos x) |10＝1－cos 1， ?0π1

所以a＝sin 1＞sin 6＝2. π1

又cos 1＞cos 3＝2，

111

所以－cos 1＜－2，b＝1－cos 1＜1－2＝2， 所以a＞b，选A.

- 25 -

答案 A

2．(2013·惠州模拟)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝1

x(x＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为

A．ln 2

B．1－ln 2

C．2－ln 2

D．1＋ln 2

1

解析 S＝1×1＋?2ydy＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.故选D.

?1答案 D

3．(2013·宿州模拟)方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是 A．3

B．2

C．1

D．0

解析 设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)， 由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0， 极小值为f(3)＝－10＜0，

所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1个，选C. 答案 C

?1?4．(2013·郑州模拟)设函数f(x)＝x＋x－1(n∈N＋，n≥2)，则f(x)在区间?2，1?内

??

n

A．存在唯一的零点xn，且数列x2，x3，?，xn?单调递增 B．存在唯一的零点xn，且数列x2，x3，?，xn?单调递减 C．存在唯一的零点xn，且数列x2，x3，?，xn?非单调数列 D．不存在零点

?1?

解析 f′(x)＝nxn－1＋1，因为n≥2，x∈?2，1?，所以f′(x)＞0，

???1?

所以函数在?2，1?上单调递增．

??f(1)＝1＋1－1＝1＞0， ?1??1?1?1?1

f?2?＝?2?n＋2－1＝?2?n－2. ??????

- 26 -

?1??1?1

因为n≥2，所以f?2?＝?2?n－2＜0，

?????1?

所以函数在?2，1?上只有一个零点，选A.

??答案 A

5．(2013·诸城市高三月考)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足A．f(0)＋f(2)＞2f(1) C．f(0)＋f(2)＜2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)

1－x

≤0，则必有 f′?x?

解析 当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数递减． 当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数递增，

即当x＝1，函数取得极小值同时也是最小值f(1)， 所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)， 即f(0)＋f(2)＞2f(1)，选A. 答案 A

6．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则m的取值范围为 A．－2＜m＜2

B．－2≤m≤2 D．m≤－2或m≥2

C．m＜－2或m＞2

解析 y′＝3(1－x)(1＋x)， 由y′＝0得x＝±1， ∴y极大＝2，y极小＝－2， ∴－2＜m＜2. 答案 A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为________．

- 27 -

1?4321??1?

解析 S＝?t(t2－x2)dx＋?1(x2－t2)dx＝?t2x－3x3? |t0＋?3x3－t2x? |1＝t－t＋3，t∈(0,1)． t

3?????0?t1??1???1?

S′＝4t2－2t＝4t?t－2?，S(t)在?0，2?上是减函数，在?2，1?上是增函数，

???????1?41111

则S最小＝S?2?＝3×8－4＋3＝4.

??1答案 4 π??

8．函数y＝x＋2cos x在?0，2?上取得最大值时，x的值为________．

??解析 y′＝(x＋2cos x)′＝1－2sin x， π?π?

令1－2sin x＝0，且x∈?0，2?时，x＝6. ??π??

当x∈?0，6?时，f′(x)≥0，f(x)是单调增函数，

??

?ππ??π?当x∈?6，2?时，f′(x)≤0，f(x)单调递减．∴f(x)max＝f?6?.

????π答案 6

9．(2013·盘锦模拟)若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

解析 由f(x)＝x3－3x＋a＝0，得f′(x)＝3x2－3， 当f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，

由图象可知f极大值(－1)＝2＋a，f极小值(1)＝a－2，

要使函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则有f极大值(－1)＝2＋a＞0， f极小值(1)＝a－2＜0，即－2＜a＜2， 所以实数a的取值范围是(－2,2)． 答案 (－2,2)

三、解答题(每小题12分，共36分)

10．(2013·开封模拟)设函数f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2. (1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若关于x的方程f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

解析 (1)f(x)的定义域为(1，＋∞)．

- 28 -

2x?2－x?2

f′(x)＝－2(x－1)＝.

x－1x－1由f′(x)＞0得1＜x＜2， ∴f(x)的单调递增区间为(1,2)．

(2)∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2，∴f(x)＋x2－3x－a＝0?x＋a＋1－2ln(x－1)＝0. 即a＝2ln(x－1)－x－1， 令h(x)＝2ln(x－1)－x－1. ∵h′(x)＝

3－x2

－1＝，且x＞1， x－1x－1

由h′(x)＞0得1＜x＜3，h′(x)＜0得x＞3.

∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减． ∵h(2)＝－3，h(3)＝2ln 2－4，h(4)＝2ln 3－5. 又h(2)＜h(4)，

故f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异实根?h(4)≤a＜h(3)． 即2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.

综上所述，a的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)． 11．(2013·雅安模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； (2)证明：(x－1)f(x)≥0.

x＋11

解析 (1)f′(x)＝x＋ln x－1＝ln x＋x， xf′(x)＝xln x＋1，

题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于ln x－x≤a. 1

令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝x－1.

当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0， 所以x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1. 综上，a的取值范围是[－1，＋∞)． (2)证明 由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1. 即ln x－x＋1≤0.

当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1 ＝xln x＋(ln x－x＋1)≤0.

- 29 -

当x≥1时，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)

1???11?

＝ln x＋x?ln x＋x－1?＝ln x－x?ln x－x＋1?≥0.

????所以(x－1)f(x)≥0.

1

12．(2013·合肥模拟)已知函数f1(x)＝2x2，f2(x)＝aln x(其中a＞0)． (1)求函数f(x)＝f1(x)·f2(x)的极值；

?1?

(2)若函数g(x)＝f1(x)－f2(x)＋(a－1)x在区间?e，e?内有两个零点，求正实数a的取值范围；

??31

(3)求证：当x＞0时，ln x＋4x2－ex＞0. (说明：e是自然对数的底数，e＝2.718 28...) 1

解析 (1)f(x)＝f1(x)·f2(x)＝2ax2·ln x，

11

∴f′(x)＝axln x＋2ax＝2ax(2ln x＋1)(x＞0，a＞0)， 11

由f′(x)＞0，得x＞e－2，由f′(x)＜0，得0＜x＜e－2， 1?1?0，e－??故函数f(x)在2?上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增， ?1a

所以函数f(x)的极小值为f(e－2)＝－4e，无极大值． 1

(2)函数g(x)＝2x2－aln x＋(a－1)x，

x2＋?a－1?x－a?x＋a??x－1?a

则g′(x)＝x－x＋(a－1)＝＝，

xx令g′(x)＝0.∵a＞0，解得x＝1，或x＝－a(舍去)， 当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上单调递减； 当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增． ?1?

函数g(x)在区间?e，e?内有两个零点，

???1??g?e?＞0，???

只需?g?1?＜0，

??g?e?＞0，

?

?1

即?＋a－1＜0，

2e??2＋?a－1?e－a＞0，

2

1a－1

2e2＋e＋a＞0，

- 30 -

??a＞2e－12e2＋2e

，

∴?a＜12，

??a＞2e－e2

2e－2

，

故实数a的取值范围是??2e－1?2e2＋2e，1?

2??

. (3)证明 问题等价于x2ln x＞x2

3

ex－4. 由(1)知f(x)＝x2ln x的最小值为－1

2e. 设h(x)＝x23

x?x－2?ex－4，由h′(x)＝－ex得h(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∴h(x)(2)＝43

max＝he2－4.

∵－1?43?3143e2

－2e－162e－??e2－4??

＝4－2e－e2＝4e2

＝?3e－8??e＋2?

4e2＞0，

x2

ln x＞x2∴f(x)3

min＞h(x)max，∴ex－4，

故当x＞0时，ln x＋31

4x2－ex＞0. - 31 -

∞)上单调递减．

??a＞2e－12e2＋2e

，

∴?a＜12，

??a＞2e－e2

2e－2

，

故实数a的取值范围是??2e－1?2e2＋2e，1?

2??

. (3)证明 问题等价于x2ln x＞x2

3

ex－4. 由(1)知f(x)＝x2ln x的最小值为－1

2e. 设h(x)＝x23

x?x－2?ex－4，由h′(x)＝－ex得h(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∴h(x)(2)＝43

max＝he2－4.

∵－1?43?3143e2

－2e－162e－??e2－4??

＝4－2e－e2＝4e2

＝?3e－8??e＋2?

4e2＞0，

x2

ln x＞x2∴f(x)3

min＞h(x)max，∴ex－4，

故当x＞0时，ln x＋31

4x2－ex＞0. - 31 -

∞)上单调递减．

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