2010高考数学导学练系列教案：圆锥曲线

圆锥曲线与方程 考纲导读 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．

知识网络 椭圆 椭圆定义 标准方程 a、b、c三者 间的关系 几何性质 第二定义 几何性质 圆锥曲线双曲线 双曲线定义 标准方程 统一定义 第二定义 抛物线 抛物线定义 标准方程 几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

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4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

第1课时 椭圆

基础过关 1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e，且

e? 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ． 2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：

a2? )x2a2?y2b2?1，其中( > >0，且

(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是（3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对

x2a2?y2b2y2a2?x2b2其中a，b满足： ．?1，

?1,a > b >0进行讨论)

(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤

(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．

(4) 离心率：e? ( 与 的比)，e? ，e越接近1，椭圆越 ；e越接近0，椭圆越接近于 ．

(5) 焦半径公式：设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则

PF1? ，PF2?2a?PF1= 。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r1＋r2＝2a(2) 余弦定理：r12＋r22－2r1r2cos?＝(2c)

2

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(3) 面积：S?PF1F2＝r1r2 sin?＝22c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝?)

1212典型例题 x2y2变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，

ab求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.

∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=

11|PF1|??2(a?r)?a?r.22故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

2例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F过F1与抛物线y??4x的焦点重合，1的直线l与

椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，

CDAB?22．（1）求椭圆的方程；

（2）求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

??????????（3）求F2A?F2B的最大值和最小值．

解：（1）由抛物线方程，得焦点F1(?1,0)．

x2y2设椭圆的方程：2?2?1(a?b?0)．

ab?y2??4x解方程组? 得C（-1，2），D（1，-2）．

x??1?由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴

|FC|CD|221|， ∴A(1,??22，|F1A|?) ． ????2分

|F1A||AB|2211??1又a2?b2?c2?1，22a2b∴

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因此，

11??1，解得b2?1并推得a2?2． 22b?12bx2?y2?1 ． ????4分故椭圆的方程为2（2）?a?2,b?1,c?1，

?圆过点O、F1，

1?圆心M在直线x??上．

21设M(?,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

2∴r?(?)?(?2)?123.22由OM?r,得(?)?t?1223,解得t??2. 219?所求圆的方程为(x?)2?(y?2)2?.??????????8分

24（3） 由点F,0),F2(1,0) 1(?1①若AB垂直于x轴，则A(?1,22),B(?1,?)， 22??????2????2 ?F2A?(?2,),F2B?(?2,?)，

22??????????17 F2A?F2B?4??????????????????9分

22②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为 y?k(x?1)

由?y?k(x?1)2222 得 (1?2k)x?4kx?2(k?1)?0 22?x?2y?2?0????8k2?8?0，?方程有两个不等的实数根．

设A(x1,y1)，B(x2,y2).

4k22(k2?1)x1?x2??, x1?x2?????????????11分 221?2k1?2k 第 - 4 - 页

?F2A?(x1?1,y1),F2B?(x2?1,y2)

F2A?F2B?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k2(x1?1)(x2?1)

?(1?k2)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?1?k2

2(k2?1)4k222?(k?1)(?)?1?k ?(1?k) 221?2k1?2k27k2?179 = ??2222(1?2k)1?2kk2?0,1?2k2?1,0?1?1

1?2k277?F2A?F2B?[?1,]，所以当直线l垂于x轴时，F2A?F2B取得最大值

22当直线l与x轴重合时，F2A?F2B取得最小值?1

变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围；

????????（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与?????MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c2?1. ∴ W: x?y2?1 (y?0). ?

22x(2) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得?(kx?2)2?1. 22 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①

2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

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??8k2?4(1?k2)?4k2?2?0，解得k??2或k?2. 222∴ 满足条件的k的取值范围为 k?（??,?22)?(,??) 22????????（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),

由①得x1?x2??42k2. ②

1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③ ????? 因为M(2, 0)，N(0, 1)， 所以MN?(?2, 1).???

????????????? 所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).

将②③代入上式，解得k?2.

2????????????? 所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线.

例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为6，两条准线间的距离为6. 椭3圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C. （1）求椭圆W的方程；

????????（2）求证：CF??FB (??R)；

（3）求?MBC面积S的最大值.

x2y2解：（1）设椭圆W的方程为2?2?1，由题意可知

ab?c6?,?a3??222?a?b?c,解得a?6，c?2，b?2， ?2a?2??6,?c?yABMFCOxx2y2??1．?????????????????4分 所以椭圆W的方程为62a2??3，所以点M坐标为(?3,0).于是可设直线l 的（2）解法1：因为左准线方程为x??c 第 - 6 - 页

方程为y?k(x?3)．

?y?k(x?3),?2得(1?3k2)x2?18k2x?27k2?6?0. ?xy2?1??62?由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知

??(18k2)2?4(1?3k2)(27k2?6)?0，解得k2?设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),

2． 3?18k227k2?6则x1?x2?，x1x2?，y1?k(x1?3)，y2?k(x2?3)．

1?3k21?3k2因为F(?2,0)，C(x1,?y1)，

????????所以FC?(x1?2,?y1)，FB?(x2?2,y2).

又因为(x1?2)y2?(x2?2)(?y1)

?(x1?2)k(x2?3)?(x2?2)k(x1?3) ?k[2x1x2?5(x1?x2)?12]

54k2?12?90k2?k[??12] 221?3k1?3kk(54k2?12?90k2?12?36k2)??0，

1?3k2????????所以CF??FB． ???????????????????????10分

a2??3，所以点M坐标为(?3,0). 解法2：因为左准线方程为x??c于是可设直线l的方程为y?k(x?3)，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2), 则点C的坐标为(x1,?y1)，y1?k(x1?3)，y2?k(x2?3)． 由椭圆的第二定义可得

|FB|x2?3|y2|, ??|FC|x1?3|y1| 第 - 7 - 页

????????所以B，F，C三点共线，即CF??FB．?????????????10分

(3)由题意知

11|MF||y1|?|MF||y2| 221 ?|MF|?|y1?y2|

21 ?|k(x1?x2)?6k|

2S? ?3|k|333， ???211?3k2?3|k|23|k|2当且仅当k?1时“=”成立， 33． 2

所以?MBC面积S的最大值为

x2y2+=1的左、右焦点. 变式训练4：设F1、F2分别是椭圆54（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：（1）易知a?5,b?2,c?1,?F1?(?1,0),F2(1,0)

22设P（x，y），则PF?PF?(?1?x,?y)?(1?x,?y)?x?y?1 12x2?4?421x?1?x2?3 55?x?[?5,5]，

?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3；

当x??5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4

（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k 直线l的方程为y?k(x?5)

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?x2y2?1??由方程组?5，得(5k2?4)x2?50k2x?125k2?20?0 4?y?k(x?5)?依题意??20(16?80k)?0，得?255 ?k?55当?55时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)， ?k?55x1?x250k225k2,x0??2则x1?x2? 225k?45k?425k2?20k?y0?k(x0?5)?k(2?5)?2.

5k?45k?4又|F2C|=|F2D|?F2R?l?k?kF2R??1

?k?kF2R20k)220k25k?4?k????1 2225k4?20k1?25k?40?(?2

2

2

∴20k=20k－4，而20k=20k－4不成立， 所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．

2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．

3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是[a?c,a?c]．

4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会． 5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．

2

第2课时 双 曲 线

基础过关

典型例题 第 - 9 - 页

例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.

解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC?=1332 (m)，BB?=2532 (m).设双曲线的

x2y2方程为2?2?1 （a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.

ab252(y?55)2132y2?1,2?2?1. 因为点B、C在双曲线上，所以2?12b212b

?252(y?55)2??1 (1)?225?12bb 解方程组?由方程（2）得 y?（负值舍去）.代入方程（1）

2212?13?y?1 (2)22?b?125b?55)225212得化简得 19b+275b－18150=0 （3） ??1,2212b2(x2y2??1. 解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：

144625例3. ?ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BC?4，且sinC?sinB?sinA，求顶点A的轨迹方程．

解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为BC?4，所以B(?2,0)，

c(2,0)．利用正弦定理，从条件得c?b?121?4?2，即AB?AC?2．由双曲线定义知，点A的轨2迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为x2?y2?1(x?1)． 3x2y2变式训练3：已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?3x，两条准线

ab的距离为l.

（1）求双曲线的方程；

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（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM2kPN的值.

?b?a?3,?2?2a?1,?（1）解：依题意有：?c

?a2?b2?c2,??解得a2?1,b2?3.y2?1. 可得双曲线方程为x?32 （2）解：设M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(?x0,?y0).

设P(xP,yP),则kPM?kPN2022yP?y0yP?y0yP?y0???2.2xP?x0xP?x0xP?x02y0又x??1,322所以y0?3x0?3,22同理yP?3xP?3,

所以kPM?kPN223xP?3?3x0?3??3. 22xP?x0x2?y2?1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C例4. 设双曲线C：2交于不同的两点P、Q。

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1P?A2Q?1，求点T的坐标； （2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设FA??FB，若

??[?2,?1],求|TA?TB|（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

解：（1）由题，得A1(?2,0),A2(2,0)，设P(x0,y0),Q(x0,?y0) 则A1P?(x0?2,y0),A2Q?(x0?2,?y0).

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2222由A1P?A2Q?1?x0?y0?2?1,即x0?y0?3. ????① 2x02?y0?1. ????② 又P(x0,y0)在双曲线上，则2联立①、②，解得 x0??2 由题意， x0?0, ?x0?2.

∴点T的坐标为（2，0） ????3分

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y） 由A1、P、M三点共线，得

(x0?2)y?y0(x?2) ????③ ????1分

由A2、Q、M三点共线，得

(x0?2)y??y0(x?2) ????④ ????1分

联立③、④，解得 x0?2,y0?x2y. ????1分 x∵P(x0,y0)在双曲线上， 2()2∴x?(2y)2?1.

2xx2?y2?1 (x?0,y?0). ????1分 ∴轨迹E的方程为2（3）容易验证直线l的斜率不为0。

x2，代入?y2?1中，得 故可设直线l的方程为 x?ky?12(k2?2)y2?4ky?2?0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),y1?0且y2?0

则由根与系数的关系，得y1?y2??22k ??⑤

k?2y1y2??2. ??⑥ ????2分 k2?2y2∵FA??FB ∴有y1??，且??0. ，将⑤式平方除以⑥式，得

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y1y24k214k2 ????1分 ??2??2????2??2y2y2?k?2k?2由??[?2,?1]??511?????2????2?0 2??14k222????2?0?k2??0?k2? ????1分

277.k?2∵TA?(x1?2,y1),TB?(x2?2,y2),?TA?TB?(x1?x2?4,y1?y2).

2k4(k2?1),?x1?x2?4?k(y1?y2)?2??2. 又y1?y2??2k?2k?2故|TA?TB|2?(x1?x2?4)2?(y1?y2)2

15(k2?1)24k216(k2?2)2?28(k2?2)?8 ??2?22222(k?2)(k?2)(k?2)?16?令t?288 ?222k?2(k?2)12711712.?0?k???t?[,]. ∴，即 22716k?22162k?2721722. ∴|TA?TB|?f(t)?8t?28t?16?8(t?)?4271169]. 而 t?[,]， ∴f(t)?[4,16232∴|TA?TB|?[2,132]. 821的双曲线C经过3变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为

点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，QA2?PA2?0。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

x2y2解（1）设双曲线C的方程为2?2?1?a?0,b?0?

ab 第 - 13 - 页

217a2?b272?e?,?e?,即?,333 a2b24?2?,① 3a又P（6,6）在双曲线C上，?3636??1 a2b2②

由①、②解得a2?9,b2?12.

x2y2??1。 所以双曲线C的方程为

912（2）由双曲线C的方程可得A1??3,0?,A2?3,0?,又P?6,6? 所以△A1PA2的重点G（2,2）

设直线l的方程为y?k?x?2??2代入C的方程，整理得

?4?3k?x22?12k?k?1?x?12k2?2k?4?0??③

又设M?x1,y1?,N?x2,y2?,Q?x0,y0?x0?kPA2x1?x26k?k?1?8?k?1????;y?kx?2?2?.002223k?43k?4y08?1?k??2,kQA2??2. x0?33k?6k?1216?1?k???13k2?6k?12?QA2?PA2?0,?kPA2?kQA2??1,?整理得3k?10k?4?0 解得k?25?13 3④

2??4?3k?0由③，可得? 2????48?5k?8k?16?0??解得?46?446?423?k?,且k?? 5535?13 3⑤

由④、⑤，得k?

小结归纳 第 - 14 - 页

5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．

第3课时 抛 物 线

基础过关

1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．

2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① y2?2px，焦点为 ，准线为 ． ② y2??2px，焦点为 ，准线为 ． ③ x2?2py，焦点为 ，准线为 ． ④ x2??2py，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对y2?2px(p?0)进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率e? ．

④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，P(xo,yo)是抛物线上一点，则PF? ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB＝ ，y1y2 ． ii) 若AB所在直线的倾斜角为?(??0)则AB＝ ． 特别地，当???时，AB为抛物线的通径，且AB＝ ． 2iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）． iv)

11为定值，且等于 ． ?|AF||BF| 典型例题 例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点A(?3,n)到焦点的距离为5，求抛

第 - 15 - 页

物线的方程和n的值．

解：设抛物线方程为y2??2px(p?0)，则焦点是F(?,0) ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5

?n2?6P故?解得P＝4，n??26 ?p22(?3?)?n?5?2?p2故所求抛物线方程为y2??8x,n??26

变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程． 解：因为对称轴是x轴，可设抛物线方程为y2?2px或y2??2px(p?0) ∵故抛物线方程为y2?24x或y2??24x

例2. 已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B． (1) 若AB?16，求直线l的方程． 3p?6，∴p＝12 2(2) 求AB的最小值． 解：(1)解法一：

设直线l的方程为：x?my?1?0 代入y2?4x整理得，y2?4my?4?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)

则y1,y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1?y2??4m 根据抛物线的定义知：| AB |＝x1?x2?2 ＝(1?my1)?(1?my2)?2?4(m2?1) 若|AB|?16163，则4(m2?1)?,m?? 333即直线l有两条，其方程分别为：

x?33y?1?0,x?y?1?0 33解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝

2P3(θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝±， 2sin?2即直线AB的斜率k＝tanθ＝±3， 故所求直线方程为：

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x?33y?1?0或x?y?1?0. 33(2) 由(1)知，|AB|?4(m2?1)?4 当且仅当m?0时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝

2P4＝2 2sin?sin?∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)

变式训练2：过抛物线y＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

（ ）

2

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 解：B

例3. 若A(3，2)，F为抛物线y2?2x的焦点，P为抛物线上任意一点，求PF?PA的最小值及取得最小值时的P的坐标．

解：抛物线y2?2x的准线方程为x??

过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |

要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点

从而|PA|＋|PF|的最小值为3??此时P的坐标为(2，2)

1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 . 答案

2

D．不存在

12127 217 2

2

变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x?2y(0?y?20)，在杯内放入

一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。 解：0?r?1

例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等．

2

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∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于

2y1＝y2?x12?x2?(x1＋x2)(x1－x2)＝0

∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0

即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．

(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m

所以x1、x2满足方程：2x＋x－m＝0

且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝

x1?x21?? 282

121214141 32y0＝－x0＋m＝

由N∈l得：于是b＝

121＋m 1611＋m＝－＋b 1645519＋m＞－＝

323216169，＋?) 322

即l在y轴上截距的取值范围是(

变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y＝x上，求正方形的面积．

设C、D的坐标分别为(y1，y1)，(y2，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1． ∴

y1?y2y1?y22222

＝

1＝1，即y1＋y2＝1 ① y1?y2又| CD |＝1?k2|x1?x2|＝2|y1?y2| ＝2(y1－y2) | BC |＝

|y12?y1?4|2?y12?y1?42(y1－y1＋4恒正)

2y12?y2?42

由| CD |＝| BC |，有2(y1－y2)＝解①、② 得 y1＝2或y1＝3

2 ②

当y1＝2时，有| BC |＝32，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝52，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50．

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小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．

3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质． 基础过关

1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）

2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，

第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系

y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————．

利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆

x2y2??1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为a2b2?x12y12??1??a2b2y?yy?yAB的中点，则 ?两式相减可得12?1222x1?x2x1?x2?x2?y2?1??a2b2

即 ．

对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．

典型例题 ??b2a2

例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x－y＝1相交于A、B两点．

(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？

22

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(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解： (1) 联立?2

?1y ?消去22?y?ax? (3－a)x－2ax－2＝0 ① 22?3x?y?1?显然a≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：

???4a2?8(3?a2)?0???6?a?6? ???2?0??2?a??3或a?3?a?3?a∈(－6，－3)∪(3，6)

若A、B分别在双曲线的两支上，则有：

?4a2?8(3?a2)?0??a∈(－3，3) ?2?0?2?a?3(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝＝

2a． a2?32

2a，x1x2

3?a2∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋ax1x2＋1 ＝a2

2

22a＋a2＋1＝1 a?33?a22∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴此时△＞0，符合要求．

2＋1?a＝±1 a2?3变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y＝ax恰有一个公共点，求实数a的值. 解：联立方程为??y?(a?1)x?12?y?ax2

?x?1 ?y?0(1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解 ?(2) 当a≠0时，消去x得① 若② 若得1＋

a?12y?y?1?0 a?x??1a?1＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解? ay??1?a?1≠0，即a≠－1，令△＝0 a4(a?1)4?0，解得a＝－ a5此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．

45 第 - 20 - 页

例2. 已知双曲线方程2x－y＝2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；

(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解：(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有关系x1?x2?4,y1?y2?2．又据对称性知x1?x2，所以

y1?y2是中点弦P1P2所在直线的斜率，由P1、P2在双曲线上，则有关系x1?x222

22222x1?y1?2,2x2?y2?2．两式相减是：

2(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0

∴2?4(x1?x2)?2(y1?y2)?0 ∴

y1?y2?4 x1?x2所求中点弦所在直线为y?1?4(x?2)，即4x?y?7?0．

(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0 方法同(1)，联立方程???2x2?y2?2，消去y,得2x2?4x?3?0

??2x?y?1?0然而方程的判别式??(?4)2?4?2?3??8?0，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．

变式训练2：若椭圆

x2y2??1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） 369A．2 B．－2 C． D．－ 解：D

例3. 在抛物线y＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围． 解法一：设B、C关于直线y?kx?3对称，直线BC方程为x??ky?m，代入y2?4x得，

y2?4ky?4m?0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC中点M(x0,y0)，则y0?2

1312y1?y2??2k,x0?2k2?m 2∵点M(x0,y0)在直线l上，∴?2k?k(2k2?m)?3 ∴m??2k3?2k?3k3?2k?3(k?1)(k2?k?3)，代入??16k2?16m?0，得?0，即?0 kkk解得?1?k?0

2??y1?4x1解法二：设B(x1,y1)，C(x2,y2)关于l对称，中点M(x0,y0)，则?

2?y?4x2?2 第 - 21 - 页

相减得：(y2?y2)(y1?y2)?4(x1?x2) ∴2y0?(?)?4,y0??2k，则x0?1k?2k?3 k2∵M(x0,y0)在抛物线y2?4x内部，∴y0?4x0

k3?2k?3(k?1)(k2?k?3)化简而得?0，即?0，解得?1?k?0．

kk变式训练3：设抛物线x2?12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则AF?BF? . 解：8 例4. 已知椭圆

x2a2?y2＝1(a为常数，且a>1)，向量m＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且

以m为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）． (1) 求t表示△ABC的面积S( t )；

(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．

y 12

B

解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)，

?y?t(x?a)?由?x2 得(a2t2?1)y2?2aty?0 2?2?y?1?aA O C x

∴ y＝0或y＝

2at at?122∴ 点B的纵坐标为yB?2at at?122∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|2yB ＝

2a2t(t?0,a?1) a2t2?18t4t?11t2(2) 当a＝2时，S(t)＝＝

814t?t

∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥24t?＝4 当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立. ∴ S(t)＝

84t?1t1t12121t≤＝2

84即S(t)的最大值S(t)max＝2

第 - 22 - 页

x2y2变式训练4：设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于

abAF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且AP? （1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

8PQ 5x?3y?5?0相切，求椭圆C的方程.

解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） A（0，b）知FA?(c,b),AQ?(x0,?b)

y A P F O Q x b2?FA?AQ,?cx0?b?0,x0??2分

c28b258,y1?b?? 设P(x1,y1),由AP?PQ，得x1?13c1358b225()(b)213c?13?1?? 因为点P在椭圆上，所以

a2b21222

整理得2b=3ac，即2（a－c）=3ac，2e2?3e?2?0,故椭圆的离心率e＝??

2

b23⑵由⑴知2b?3ac，得?a；c22又c11?，得c?a， a2231

于是F（－a，0）， Q(a,0)

22△AQF的外接圆圆心为（

11

a，0），半径r=|FQ|=a???

221|a?5|所以2?a，解得a=2，∴c=1，b=3，

2x2y2??1 所求椭圆方程为43小结归纳 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．

2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐

第 - 23 - 页

标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验． 3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．

第 - 24 - 页

圆锥曲线单元测试题

一、选择题

1． 中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是 （ ）

x2y2A．??1

4312

x2y2B．??1

34y2?1 4C．

x2 ?y2?1

4 D．x2?2

2． AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ） A．2 C．

32

B．

5212

D．

x2y22

3． 若双曲线?2?1的一条准线与抛物线y＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）

8bA．2 C．4

B．22

D．42

2

4． 已知抛物线y＝2x上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）

A． B． C． 2 D．3 5．已知双曲线x2

125232y2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?MF2＝0，则点M到x轴的2距离为 （ ） A． B． C．

23 D．3 343536．点P(－3，1)在椭圆

x2a2?y2b2?1(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为a＝(2,－5)的光线，

经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 A．C．

13 B．

33 （ ）

12 D．

22x2y27． 椭圆??1上有n个不同的点：P1，P2，?，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公

43差大于

1的等差数列，则n的最大值是 100 （ ）

第 - 25 - 页

A．198 B．199 C．200 D．201 8． 过点(4, 0)的直线与双曲线范围是（ ） A．| k |≥1 C．| k |≤3

B．| k | >3 D．| k | < 1

122

2

x2y2??1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值4129． 已知θ为三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程xsinθ－ycosθ＝1表示 （ ）

A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线

10．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则（ ） M N M N M N F1 F F 12A．e1 > e2 > e3 C．e1①＝ e2 < e3 二、填空题

2

F2 F2 F1 B．e1 < e2 < e3 ② D．e1＝e2 > e3 ③

11．抛物线y＝x上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 . 12．双曲线3x－4y－12x＋8y－4＝0按向量m平移后的双曲线方程为量m＝ ．

x2y213．P在以F1、F2为焦点的双曲线??1上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是—————————．

1692

2

x2y2??1，则平移向4314．椭圆

x2y2??1中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 . 16915．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

① 设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA?PB?k，则动点P的轨迹为双曲线； ② 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，若OP?(OA?OB)，则动点P的轨迹为椭圆；

③ 方程2x－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

2

12 第 - 26 - 页

x2y2x2④ 双曲线??1与?y2?1有相同的焦点．

25935其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）． 三、解答题

16．已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为123，求双曲线的方程．

17．已知动圆C与定圆x＋y＝1内切,与直线x＝3相切. (1) 求动圆圆心C的轨迹方程；

(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.

18．如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y2?2px(p?0)于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点． (1) 写出直线l的截距式方程； (2) 证明：

111??； y1y2b2

2

(3) 当a?2p时，求?MON的大小．

第 - 27 - 页

y l M a N b x

O

19．设x，y∈R，i,j为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 (1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．

(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) OP?OA?OB且OAPB为矩形，求直线AB方程.．

20．动圆M过定点A(－2，0)，且与定圆A′：(x－2)＋y＝12相切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求PE?PF的取值范围．

21．已知椭圆

x2y2??1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1(－c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的a2b22

2

动点，满足|F1Q|?2a，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2＝0，|TF2|≠0．

(1) 设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a?x； (2) 求点T的轨迹C的方程；

(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b？若存在，求∠F1MF2

y 的正切值，若不存在，请说明理由． Q P

F1 O F2 x

2

ca 第 - 28 - 页 圆锥曲线单元测试题答案

1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (－2，

9x2－1) 13.?y2?1(y?0) 14. 9x－32y＋73＝0 15. ③④

1616. 解：以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示： 设双曲线方程为：

x2y2??1 a2b2y 依题意有：

c??e?a?2?1???S?PF1F2?|PF1|?|PF2|?sin60?123

2??|PF1|?|PF2|?2a??P 60° F2 x F1 0 解之得：a＝4，c＝16，b＝12

x2y2故所求双曲线方程为：??1

412222

17．解：(1) 设C(a,b),则R?3?a

?⊙C与⊙O内切，?a2?b2?1?3?a

?b2??4a?4即轨迹方程为y2??4x?4

22(2) 设Q(x0,y0)，则y0??4x0?4 2?PQ?(x0?m)2?y0?(x0?m)2?4x0?4??x0?(m?2)?

2?4m当m?2?1，即m??1时

PQmin??1?(m?2)?2?4m?xay?1 bm2?2m?1?m?1 当m?2?1，即m??1时，PQ?2?m min18．解：(1) ?(2) 由直线方程及抛物线方程可得：

by2＋2pay－2pab＝0

故 y1?y2?所以

?2pa,y1y2??2pa b11y?y1??12? y1y2y1y2b(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2

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则k1?y1y,k2?2. x1x22

2

当a＝2p时，知y1y2＝－4p，x1x2＝4p 所以，k1k2＝－1，即?MON＝90°．

19．( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,－2)，F2(0，2) 则a＝F1M，b＝F2M，即

|a|＋|b|＝|F1M|＋|F2M|，即|F1M|＋|F2M|＝8 又∵ F1F2＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b＝12

y2x2所求轨迹方程为 ??1

16122

( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋3，A(x1，

?y?kx?322

y1)，B(x2，y2)，则 ??(3k＋4)x＋18kx－21＝0 ?y2x2??1??1612x1＋x2＝－

18k?21 x12x2＝2 23k?43k?4y12y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2)＋9

3b?48k2＝

3k2?4∵ OAPB为矩形，∴ OA⊥OB OA?OB＝0 ∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝±所求直线方程为y＝±

5 45x＋3． 420．解：(1)A′(2，0)，依题意有|MA′|＋?＝23

?|MA′|＋|MA|

E ?y P(0, 2) ?M ?＝23 ＞22

∴点M的轨迹是以A′、A为焦点，23为长轴上的椭圆，∵a＝3，c＝2 ∴b＝1．因此点M的轨迹方程为

2

A(－2,0) A′(2,0) F x x2?y2?1 3x22222

(2) 解法一：设l的方程为x＝k(y－2)代入?y2?1，消去x得：(k＋3)y－4ky＋4k－3

3＝0

由△＞0得16k－(4k－3)(k＋3)＞0 ?0≤k＜1 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

4

2

2

2

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4k2?34k2则y1＋y2＝2，y1y2＝2

k?3k?3又PE＝(x1，y1－2)，PF＝(x2，y2－2) ∴PE2PF＝x1x2＋(y1－2)(y2－2) ＝k(y1－2)2k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)

?4k2?3?4k2?? ?2??4＝(1＋k)?22?k?3k?3??2

＝

9(k2?1)2???91??? 2k2?3?k?3??2?229?∵0≤k＜1 ∴3≤k＋3＜4 ∴PE2PF∈??3,?

解法二：设过P(0，2)的直线l的参数方程为

?x?tcos?(t为参数，?为直线l的倾角) ?y?2?tsin??代入

x2?y2?1中并整理得： 32

2

(1＋2sin?)t＋12sin?2t＋9＝0 由△＝12sin?－36(1＋2sin?)＞0 得：sin?＞ 又t1t2＝

22

2

2

129

1?2sin2?∴PE2PF＝PE2PFcos0° ＝|PE|2|PF|＝t1t2＝

9

1?2sin2?129?由＜sin?≤1得：PE2PF∈?3,? ?2?2?21．(1) 证法一：设点P的坐标为(x，y) 由P(x，y)在椭圆上，得

|F1P|＝(x?c)2?x2 b2222(x?c)?b?x ＝

a2F1 y Q P O F2 T x

＝(a?x)2

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4k2?34k2则y1＋y2＝2，y1y2＝2

k?3k?3又PE＝(x1，y1－2)，PF＝(x2，y2－2) ∴PE2PF＝x1x2＋(y1－2)(y2－2) ＝k(y1－2)2k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)

?4k2?3?4k2?? ?2??4＝(1＋k)?22?k?3k?3??2

＝

9(k2?1)2???91??? 2k2?3?k?3??2?229?∵0≤k＜1 ∴3≤k＋3＜4 ∴PE2PF∈??3,?

解法二：设过P(0，2)的直线l的参数方程为

?x?tcos?(t为参数，?为直线l的倾角) ?y?2?tsin??代入

x2?y2?1中并整理得： 32

2

(1＋2sin?)t＋12sin?2t＋9＝0 由△＝12sin?－36(1＋2sin?)＞0 得：sin?＞ 又t1t2＝

22

2

2

129

1?2sin2?∴PE2PF＝PE2PFcos0° ＝|PE|2|PF|＝t1t2＝

9

1?2sin2?129?由＜sin?≤1得：PE2PF∈?3,? ?2?2?21．(1) 证法一：设点P的坐标为(x，y) 由P(x，y)在椭圆上，得

|F1P|＝(x?c)2?x2 b2222(x?c)?b?x ＝

a2F1 y Q P O F2 T x

＝(a?x)2

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