第2讲 等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n项和

一、选择题

1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )

A．14 C．28

B．21 D．35

解析 ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，∴a4＝4， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28，故选C. 答案 C

2

2．已知递减的等差数列{an}满足a21＝a9，则数列{an}的前n项和Sn取

最大值时n＝( ) A．3

B．4

D．5或6[来源:Z。xx。k.Com]

C．4或5

2

解析 由已知得a2(a1－a9)＝0， 1－a9＝0，即(a1＋a9)·

又∵a1>a9，∴a1＋a9＝0， 又∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝0，

∴数列前4项为正值，从第6项起为负值， ∴S4＝S5且为最大．选C. 答案 C

3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )． A．－1

B．1

C．3

D．7

解析 两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B

4．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ( )． A．6

B．7

C．8

D．9

15?a1＋a15?16?a1＋a16?解析 依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1

22＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.

答案 C

An7n＋45

5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且B＝，则

n＋3n

an使得b为整数的正整数的个数是 ( )．

n

A．2 B．3 C．4 D．5

An7n＋45anA2n－114n＋387n＋19an

解析 由B＝得：b＝＝＝，要使b为整数，则需n＋32n＋2n＋1nnB2n－1n7n＋1912

＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个． n＋1n＋1答案 D

16．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根组成首项为4的等差数列，则a＋b的值是( ) 3

A.8 13C.24

11B.24 31D.72

解析 设四个方程的根分别为x1、x4和x2、x3.因为x1＋x4＝x2＋x3＝1，所以1357x1＝4，x4＝4，从而x2＝12，x3＝12.

33535333531

则a＝x1x4＝16，b＝x2x3＝144，或a＝144，b＝16，∴a＋b＝16＋144＝72. 答案 D 二、填空题

7． 设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

解析 设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 答案 35

S4S38．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若12－9＝1，则公差为________．

4×33×2

解析 依题意得S4＝4a1＋2d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋2d＝3a1＋3d，于是4a1＋6d3a1＋3d

有12－9＝1，由此解得d＝6，即公差为6. 答案 6

9．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.[来源

172

解析 ∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝3，∵a4＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，d＝3，2

ak－a9＝(k－9)d,13－7＝(k－9)×3，k＝18. 答案 18

10．已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}的部分项ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，则kn＝________.

a52

解析 由题意知a1·a17＝a2，a(a＋16d)＝(a＋4d)，得a＝2d，51111

a＝3，∴

1

a1akn＝a13n－1＝a1＋(kn－1)2，kn＝2·3n－1－1. 答案 2·3n1－1

－

三、解答题

11．在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求数列{an}的通项公式．

解 由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.

又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28， 933∴16－25d2＝7，∴d2＝25，∴d＝5或d＝－5. 3331当d＝5时，an＝a7＋(n－7)d＝4＋(n－7)×5＝5n－5； 33341

当d＝－5时，an＝a7＋(n－7)d＝4－(n－7)×5＝－5n＋5. 31341

∴数列{an}的通项公式为an＝5n－5或an＝－5n＋5.

12．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式；

Sn(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？

n＋c若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0， ?a2a3＝45，??a1＋d??a1＋2d?＝45，则由?得?

?a1＋a5＝18，?a1＋?a1＋4d?＝18.?a1＝1，解得?∴an＝4n－3(n∈N*)．

?d＝4.n?1＋4n－3?1??

n－??2n22??Sn(2)由bn＝＝＝，

n＋cn＋cn＋c1

∵c≠0，∴可令c＝－2，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴数列{bn}是公差为2的等差数列．

1

即存在一个非零常数c＝－2，使数列{bn}也为等差数列． 13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.

解 (1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列， a4－a12－8

且公差d＝＝3＝－2.

4－1∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10. (2)令an≥0，得n≤5.

即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0. ∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n； 当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5) ＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)

＝n2－9n＋40，

2

?－n＋9n，n≤5，∴Sn＝?2

?n－9n＋40，n≥6.

14．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

?1?

(1)证明数列?a?是等差数列；

?n?

(2)求数列{an}的通项； (3)若λan＋

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． an＋11

11

解 (1)证明：将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得a－＝3(n≥2)．

nan－1

?1?

所以数列?a?是以

?n?

1为首项，3为公差的等差数列．

1

. 3n－2

1

(2)由(1)可得a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝

n

(3)λan＋即

≥λ对n≥2的整数恒成立， an＋1

1

λ

＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立． 3n－2

?3n＋1??3n－2?

，

3?n－1?

整理得λ≤令cn＝

?3n＋1??3n－2?

，

3?n－1?

?3n＋4??3n＋1??3n＋1??3n－2?

cn＋1－cn＝－

3n3?n－1??3n＋1??3n－4?

＝.

3n?n－1?

因为n≥2，所以cn＋1－cn>0，即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c228?28?

＝3.所以λ的取值范围为?－∞，3?.

??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w08h.html