北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算讲义（学生、家长、教师必备）

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

第二章 有理数及其运算 ■ 通关口诀：

学好有理并不难；基本概念要通关。 整分统称有理数；小数有理也无理。 数轴加上反绝倒。还有负数非负数。 六个概念先学好；五种运算无漏洞。 科学记数表大数；寻找规律有方法。

■ 正奇数学学堂

第一讲：有理数与数轴

【知识点一】正数、负数和0。

1．相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。

2．具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。

3．正负数：正数：大于0的数；负数：小于0的数 。其中正数的正号可省略不写。负数的负号必须写出。

4．0：不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。同时也是具有相反意义的量的基准量。既不是正数又不是负数。

5．正数与负数的分界：数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号。

6．重新认识两个符号——

⑴“+”：运算符号表示加；性质符号表正数。 ⑵“-”：运算符号表示减；性质符号表负数。 ★正奇点睛：

1．其实上述两个符号还有“自己”和“相反”的意思。学了相反数自会明白。

2．注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系。 〖母题示例〗

1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．

2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________． 3．已知下列各数：?15，?234，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________________；负数有____________________．

4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是（ ） A．向东行进50m C．向北行进50m B．向南行进50m

D．向西行进50m

5．下列结论中正确的是 （ ） A．0既是正数，又是负数

B．O是最小的正数 C．0是最大的负数

D．0既不是正数，也不是负数

6．给出下列各数：-3，0，+5，?312，+3.1，?12，2004，+2008．其中是负数的有（ ） A．2个 B．3个

C．4个

D．5个

7．如果规定向东为正，那么从起点先走+40米，再走－60米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？

8．10筐橘子，以每筐15㎏为标准，超过的千

1

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

克数记作正数，不足的千克数记作负数。标重的记录情况如下：+1，－0.5，－0.5，－1，+0.5，－0.5，+0.5，+0.5，+0.5，－0.5。问这10筐橘子各重多少千克？总重多少千克？

9．吐鲁番的海拔是－155m，珠穆朗玛峰的海拔是8848m ，它们之间相差多少米？ 【知识点二】有理数的概念及分类。

1．分数与小数：

⑴小数：有限小数；无限小数（循环；不循环） ⑵分数：可化为整数、有限小数或无限循环小数。

⑶无限不循环小数：不能化为分数（不是分数）。

2．有理数：整数和分数统称为有理数。 3．有理数的分类（两分法和三分法）：略。 4．小数与有理数：小数中的有限小数和无限循环小数属于有理数中的分数。无限不循环小数不是有理数。

5．非负数：零和正数。即：大于或等于0的数。

6．数集： 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。

★正奇点睛：特别注意“小数”与分数和有理数的关系。 〖母题示例〗

1． 有理数：

?2,0,12,10.3,?324,52,?8,?0.38,102,?31,?15,6.3

其中：

正数：

? …? 正分数：? …? 负数：

? …? 负分数：? …? 负整数：? …? 正整数：? …? 2．下列说法正确的是（ ）

A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数

B．有理数不是正数就是负数

C．有理数不是整数就是分数; D．以上说法都正确

3．判断：

①所有整数都是正数；（ ） ②所有正数都是整数：（ ）

③奇数都是正数；（ ） ④分数是有理数： （ ）

4．把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，-45，-15%，-1

12，2217，263．

正数集合{ ?}， 负数集合{ ?}， 整数集合{ ?}， 分数集合{ ?}， 非负数集合{ ?}

5．图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出

2

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

这个重叠部分表示什么数的集合吗?

正数集合 整数集合 【知识点三】数轴的概念、辩识和画法。

1．数形结合的思想：数的准确与形的直观结合。

2．定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

3．数轴有三要素：原点、正方向和单位长度。 4．数轴的画法：水平直线→原点（标0）→确定方向（用箭头表示）→选取单位长度。

5．注意：画数轴时，原点的位置和单位长度的长短要根据题目的实际需要灵活确定。

6．数轴的辨识：三要素+单位长读是否统一。 ●知识点四：数轴上的点与有理数的关系。

1．对应关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点并不是都表示有理数。有理数与数轴上的点不是“一一对应”的关系。

2．数的分布：正有理数用原点右边的点表示；负数用原点左边的点表示；0用原点表示。

3．表示方法：小数最好化成分数后再在数轴上找对应点。数轴上表示某个数时，在该数所在点的位置标一个实心的小黑圆点，再上面或者下面写上对应的数即可。

〖母题示例〗

1.写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:

2．下列所画的数轴中正确的是（ ）

A

B C D

3．在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1.5个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( ) A.?512 B.-4 C.?212 D.212 【知识点五】数轴与有理数的大小。

1．利用数轴可以方便快捷地比较有理数的大小。

2．正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数。

3．数轴上原点右边的点表示的数为正数；原点左边的点表示的数为负数；右边的点表示的数比左边的大。简记为：右大左小。

4．注意：两个负数比较大小时：“表面越大”的数反而越小。

★正奇点睛：数轴的三个基本功能：仓库；排队；数形结合。 〖母题示例〗

1．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小。

－1

12，2，3，－2.7，113，－3，0 2．如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ） A．b>a>0>c B．a

3

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

第二讲：相反数与绝对值

【知识点一】相反数。

1．定义

⑴代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数。也称这两个数互为相反数。规定：0的相反数是0。

⑵几何定义：在数轴上，如果表示两个数的点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，我们称其中的一个数是另一个数的相反数。（互为相反数）

(3)相反数的性质和求法。

2．性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0。

3．求法：按照定义直接写；联想数轴上的位置确定一个数的相反数；“计算法”：a的相反数是－a。 ★正奇点睛：

1．“+”号：还可表示“不变”、“自己”。“-”也可表示“相反数”的意义。

2．巧用相反数“计算法”和上述解释化简“多重括号”。

3．a-b与b-a互为相反数； a+b与–a-b互为相反数。 〖母题示例〗

1．求下列各数的相反数：

（1）-5 （2）1 （3）0 （4）a23 （5）-2b (6) a-b (7) a+2 2．判断： （1）-2是相反数 （2）-3和+3都是相反数 （3）-3是3的相反数

（4）-3与+3互为相反数 （5）+3是-3的相反数

（6）一个数的相反数不可能是它本身 3．化简下列各数中的符号： （1）?(?213) （2）-（+5） （3）???(?7)? （4）

?????(?3)??

4．已知a、b在数轴上的位置如图所示。

（1） 在数轴上作出它们的相反数；

（2） 用“<”按从小到大的顺序将这四个数

连接起来。

5．如果a-5与a互为相反数，求a.的值。 【知识点二】绝对值的概念。

1．几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做该数的绝对值。

2．代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

3．互为相反数的两个数的绝对值相等。一个数的绝对值一定是非负数。

4．符号语言：|a|表示有理数a的绝对值。读做a的绝对值。

5．绝对值的计算公式：

a (a＞0)即：︱a︱=0 (a=0)-a (a＜0) ★正奇点睛：若|x|=x，则x≥0 若IxI=－x，则x≤0。 〖母题示例〗

1．、求4、-3.5的绝对值。 2．比较-3与-6的绝对值的大小。

4

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

3．求-3、-0.4、-2的绝对值，并用“〈”号把这些绝对值连接起来。

4．计算：①?23??12

②?3.4?4133?2 ③?4??14 ④?25??32

5．填空：

（1）求绝对值不大于2的整数＿＿＿＿＿＿ （2）绝对值等于本身的数是＿＿＿，绝对值大于本身的数是＿＿＿＿＿．

（3）绝对值不大于２.５的非负整数是＿＿＿ 6．数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数有___________________.

7.若x＜0，则|x|= ；若|x|=x，则x 8．选择

⑴绝对值最小的有理数是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.不存在

⑵绝对值小于3的负数的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.无数

⑶绝对值等于本身的数有（ ） A.1个 B.2个 C. 4个 D.无数个 【知识点三】两个负数大小的比较（有理数比较大小）。

1．两个正数比较大小：绝对值大的数较大。

两个负数比较大小：绝对值大的数反而小。 2．正数大于负数；负数小于0；正数大0。 3．数形结合比较法：数轴上，数所对应的点在右边的数一定大于左边的数。

4．有理数的两个重要属性：符号决定方向、

目标；绝对值决定距离、数量、长度。确定一个有理数：一定符号，二定值。

5．分类讨论要牢记：人有两性分男女，数有三性正负零。 〖母题示例〗

1．比较-322与-3的大小，并说明理由． 2．用“〈”将 4，12，?234，-|-3|连接起来，

并说明理由．

3．在-

37，-0.42，-0.43，-194中，最大的一

个数是 。

4．有理数a、b在数轴上如图，用 > 、= 或 < 填空

（1）a____b , (2) |a|___|b| , (3)–a___-b, (4)|a|___a , (5) |b|____b

5．如果|x|=|-2.5|,则x=______ 6．绝对值小于3的整数有____个，其中最小的一个是____

7．|-3|的相反数是 ;若|x|=8,则x= .

8． 选择题

（1）如果|a|=-a，那么 （ ）

A a 〉0 B a ＜0 C a ?0 D a?0

（2）若一个数大于它的相反数，则这个数是 （ ）

5

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

A 正数 B 负数 C 非负数 D 非正数 （3）下列判断中：（1）负数没有绝对值；（2）绝对值最小的有理数是0；（3）任何数的绝对值都是

（1）(＋8)＋(＋5) (2)(－8)＋(－5)

(3)(＋8)＋(－5) (4)(－8)＋(＋5) (5)(－8)＋(＋8) (6)(＋8)＋0； （6）（-10.5）+（+1.3） （7）（-

11）+

3 2非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，111（8）（-3.125）+（+3）（9）（-）+（+）

832其中正确的个数有

（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 第三讲：有理数的加减法

【知识点一】有理数加法法则。

1.有理数运算的原则：一定号；二定值。 2.互为相反数的两数相加：和为0；两数和为0，这两数互为相反数（都为0或符号相反，绝对值相等）。

3 . 0 + 任何数 = 任何数。

4.加法法则口诀：同号一边倒，两绝加一起；异号拍马屁，大绝减小绝。（一步一回头，提高准确率）

一定号 二定值 同号 同号一边倒 两绝加一起 异号 异号拍马屁 大绝减小绝 5.结合加法的意义：“合并加；多几加”消化理解。

★正奇点睛：【想一想】

1．若a+b=c，c一定大于a或b，对吗？ 2．若a与b的和为正数，a与b一定都是正数。对吗？如果不对，有哪几种可能？

3．如果两个非负数的和为0，这两个非负数一定都等于0。对吗？ 〖母题示例〗 1.计算

（10）（-313）+0.3 （11）（-22 914）+0 （12）│-7│+│-9715│ 2.某公司三年的盈利情况如下表所示，规定盈

利为“+”（单位：万元）

第一年 第二年 第三年 -24 +15.6 +42

⑴该公司前两年盈利了多少万元？ （2）该公司三年共盈利多少万元？

3.判断

（1）两个有理数相加，和一定比加数大. （ ） （2）绝对值相等的两个数的和为0.（ ） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数.( )

4.一个正数与一个负数的和是（ ） A、正数 B、负数 C、零 D、以上三种情况都有可能

5.两个有理数的和（ ） A、一定大于其中的一个加数 B、一定小于其中的一个加数 C、大小由两个加数符号决定

D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定

5．已知a?2,b?5.

（1）求a?b （2）若又有a?b,求a?b.

6．一个数为-5，另一个数比它的相反数大4，这两数的和为________．

【知识点二】有理数加法的运算律。

1．两律：加法交换律；加法结合律。 2．交换→结合的原则：相反数结合到一起。

6

睿德教育 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 睿待 — 睿其智，德其行。

A 正数 B 负数 C 非负数 D 非正数 （3）下列判断中：（1）负数没有绝对值；（2）绝对值最小的有理数是0；（3）任何数的绝对值都是

（1）(＋8)＋(＋5) (2)(－8)＋(－5)

(3)(＋8)＋(－5) (4)(－8)＋(＋5) (5)(－8)＋(＋8) (6)(＋8)＋0； （6）（-10.5）+（+1.3） （7）（-

11）+

3 2非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，111（8）（-3.125）+（+3）（9）（-）+（+）

832其中正确的个数有

（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 第三讲：有理数的加减法

【知识点一】有理数加法法则。

1.有理数运算的原则：一定号；二定值。 2.互为相反数的两数相加：和为0；两数和为0，这两数互为相反数（都为0或符号相反，绝对值相等）。

3 . 0 + 任何数 = 任何数。

4.加法法则口诀：同号一边倒，两绝加一起；异号拍马屁，大绝减小绝。（一步一回头，提高准确率）

一定号 二定值 同号 同号一边倒 两绝加一起 异号 异号拍马屁 大绝减小绝 5.结合加法的意义：“合并加；多几加”消化理解。

★正奇点睛：【想一想】

1．若a+b=c，c一定大于a或b，对吗？ 2．若a与b的和为正数，a与b一定都是正数。对吗？如果不对，有哪几种可能？

3．如果两个非负数的和为0，这两个非负数一定都等于0。对吗？ 〖母题示例〗 1.计算

（10）（-313）+0.3 （11）（-22 914）+0 （12）│-7│+│-9715│ 2.某公司三年的盈利情况如下表所示，规定盈

利为“+”（单位：万元）

第一年 第二年 第三年 -24 +15.6 +42

⑴该公司前两年盈利了多少万元？ （2）该公司三年共盈利多少万元？

3.判断

（1）两个有理数相加，和一定比加数大. （ ） （2）绝对值相等的两个数的和为0.（ ） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数.( )

4.一个正数与一个负数的和是（ ） A、正数 B、负数 C、零 D、以上三种情况都有可能

5.两个有理数的和（ ） A、一定大于其中的一个加数 B、一定小于其中的一个加数 C、大小由两个加数符号决定

D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定

5．已知a?2,b?5.

（1）求a?b （2）若又有a?b,求a?b.

6．一个数为-5，另一个数比它的相反数大4，这两数的和为________．

【知识点二】有理数加法的运算律。

1．两律：加法交换律；加法结合律。 2．交换→结合的原则：相反数结合到一起。

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w02w.html