2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第5讲 双曲线(含解析)新人教A版

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第5讲 双曲线

一、选择题

x2y2

1.设双曲线2-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( ).

a9

A.4 B.3 C.2 D.1

x2y2

解析 双曲线2-=1的渐近线方程为3x±ay=0与已知方程比较系数得a=2.

a9

答案 C

x2y2

2.已知双曲线C:2-2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为

ab

( ).

x2y2

A.-=1 205x2y2

C.-=1 8020

x2y2

B.-=1 520x2y2

D.-=1 2080

解析 不妨设a>0,b>0,c=a2+b2. 据题意,2c=10,∴c=5.

b2b

双曲线的渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在C的渐近线上,∴1=.

aa由①②解得b2=5,a2=20,故正确选项为A. 答案 A

y2→→

3.已知双曲线x-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的

3

2

最小值为 A.-2

( ).

D.0

81B.-

16

C.1

y22

解析 设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x-1,y2=3(x2

3→→

-1),PA1·PF2=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2181→→

x-?2-,其中x≥1.因此,当x=1时,PA1·-x-5=4?PF2取得最小值-2,选A. ?8?16答案 A

2x2y222a4.过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x+y=的切线,切点为E,ab4

→→→

延长FE交双曲线右支于点P,若OF+OP=2OE,则双曲线的离心率为

( ).

1

A.2 B.

10 5

C.

10 2

D.10

→→→→→→→→

解析 设双曲线的右焦点为A,则OF=-OA,故OF+OP=OP-OA=AP=2OE,即OE1a

=AP.所以E是PF的中点,所以AP=2OE=2×=a.所以PF=3a.在Rt△APF中,a2

225

+(3a)2=(2c)2,即10a2=4c2,所以e2=,即离心率为e=

2答案 C

x2y2

5.已知双曲线-2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐

4b近线的距离等于 A.5

2

510=,选C. 22

( ).

C.3

D.5

B.4 2

x2y2

解析 易求得抛物线y=12x的焦点为(3,0),故双曲线-2=1的右焦点为(3,0),即c

4b5

=3,故32=4+b2,∴b2=5,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,∴双曲线的右焦点到

2

其渐近线的距离为

?5×3??2?

5

1+

4

=5.

答案 A

6.如图,已知点P为双曲线-=1右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I169

为△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立,则λ的值为( )

x2y2

54A. B. 8543C. D. 34

解析 根据S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,即|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,

a4

即2a=λ2c,即λ==. c5

答案 B 二、填空题

7.双曲线-=1的右焦点到渐近线的距离是________.

36解析 由题意得:双曲线-=1的渐近线为y=±2x.

36

x2y2

x2y2

2

∴焦点(3,0)到直线y=±2x的距离为答案 6

322+1

=6.

x2y2

8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-2=1的离心率为5,则m的值为________.

mm+4解析 由题意得m>0,∴a=m,b=m2+4. m2+m+4c

∴c=m+m+4,由e==5,得=5,

am

2解得m=2. 答案 2

9.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点.若

AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.

x2y2

解析 设双曲线的标准方程为2-2=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),

ab4=a+b,??

∴?49

2-2=1,??ab2

2

??a=1,

解得?2

?b=3,?

2

∴双曲线的标准方程为x-=1. 3答案 x-=1

3

x2y2

10.如图,双曲线2-2=1(a,b>0)的两顶点为A1,

abA2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则

(1)双曲线的离心率e=________;

(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S1S2的比值=________.

S2解析 (1)由题意可得a 3+51+5

,∴e=. 22

3

2

2

y2

y2

b2+c2=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=

b2+c221bcS12bc2bc

(2)设sin θ=22,cos θ=22,=2===e-=

2a22b+cb+cS24asin θcos θ4a2bc

22b+c2+5

. 2

1+52+5

答案 (1) (2)

22三、解答题

11.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程;

(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.

解 (1)由已知:c=13,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实、虚轴长分别为m,n,

a-m=4,??

则?1313

7·=3·.?m?a

解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.

x2y2x2y2

∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.

493694

(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,

所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=213, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

∴cos∠F1PF2=

2|PF1|·|PF2|102+42-?213?24

==. 52×10×4

12.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10). (1)求双曲线方程;

→→

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0; (3)求△F1MF2的面积.

(1)解 ∵e=2,∴设双曲线方程为x2-y2=λ. 又∵双曲线过(4,-10)点,∴λ=16-10=6, ∴双曲线方程为x2-y2=6.

(2)证明 法一 由(1)知a=b=6,c=23, ∴F1(-23,0),F2(23,0),

4

mm

∴kMF1=,kMF2=,

3+233-23m2m2

∴kMF1·kMF2==,

9-12-3又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3,

→→

∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,MF1·MF2=0.

→→

法二 ∵MF1=(-3-23,-m),MF2=(23-3,-m), →→∴MF1·MF2=(3+23)(3-23)+m2=-3+m2. ∵M在双曲线上,∴9-m2=6, →→∴m2=3,∴MF1·MF2=0.

(3)解 ∵在△F1MF2中,|F1F2|=43,且|m|=3,

11∴S△F1MF2=·|F1F2|·|m|=×43×3=6.

2222xy

13.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且PF1

ab⊥PF2,|PF1|=8,|PF2|=6. (1)求双曲线的方程;

→→

(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A,B两点,且F1A=2F1B,求此直线方程.

解 (1)由题意知,在Rt△PF1F2中, |F1F2|=|PF1|2+|PF2|2, 即2c=82+62=10,所以c=5.

由椭圆的定义,知2a=|PF1|-|PF2|=8-6=2,即a=1. y2

所以b=c-a=24,故双曲线的方程为x-=1.

24

2

2

2

2

(2)左焦点为F1(-5,0),两渐近线方程为y=±26x. 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在.

设过左焦点的直线方程为y=k(x+5),则与两渐近线的交点为?

?5k,106k??和

?26-k26-k?

?-5k,106k??k+26k+26?. ??

→→

由F1A=2F1B,得

?5k+5,106k??-5k+5,106k??26-k?=2??或者

26-k??k+26k+26??

5

5k106k??5k106k??

?-k+26+5,k+26?=2?26-k+5,26-k?, ????26解得k=±.

3

26

故直线方程为y=±(x+5).

3

x2y2

14. P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:2-2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的

ab1

左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为. 5(1)求双曲线的离心率;

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为→→→

双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求λ的值.

x2y2x2y200解 (1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线2-2=1上,有2-2=1.

ababy0y01

由题意有·=,

x0-ax0+a5

c30

可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==. a5

222

??x-5y=5b,

(2)联立?得4x2-10cx+35b2=0.

??y=x-c,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

?x+x=2,则?35b

xx=.?4

1

2

2

12

5c

??x3=λx1+x2,→→→→

设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,即?

??y3=λy1+y2.

22

又C为双曲线上一点,即x23-5y3=5b,有

(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.

2222化简得λ2(x21-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b.

又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,

22222所以x21-5y1=5b,x2-5y2=5b.

由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, ②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.

6

5k106k??5k106k??

?-k+26+5,k+26?=2?26-k+5,26-k?, ????26解得k=±.

3

26

故直线方程为y=±(x+5).

3

x2y2

14. P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:2-2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的

ab1

左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为. 5(1)求双曲线的离心率;

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为→→→

双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求λ的值.

x2y2x2y200解 (1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线2-2=1上,有2-2=1.

ababy0y01

由题意有·=,

x0-ax0+a5

c30

可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==. a5

222

??x-5y=5b,

(2)联立?得4x2-10cx+35b2=0.

??y=x-c,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

?x+x=2,则?35b

xx=.?4

1

2

2

12

5c

??x3=λx1+x2,→→→→

设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,即?

??y3=λy1+y2.

22

又C为双曲线上一点,即x23-5y3=5b,有

(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.

2222化简得λ2(x21-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b.

又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,

22222所以x21-5y1=5b,x2-5y2=5b.

由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, ②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.

6

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/w01o.html

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