数理方程期末 复习

1、设ui满足线性方程Lui?0(i?1,2?n)，那么它们的线性组合u??ui必然满足方

i?1n程 。

2.定解问题的适定性包括：存在性、唯一性和 . 3、只有初始条件没有边界条件的定解问题称为 4、n阶贝塞尔方程的标准形式为： 5、

ddJ0(x)? , xJ1(x)? , dxdx6. 若非齐次边界条件为u(0,t)??1(t),ux(l,t)??2(t)，则要将边界条件齐次化可选取辅助函

数W(x,t)?

?ut?a2uxx,t?0,0?x?l7、由分离变量法得到定解问题?的级数形式的解为?u?0,t??u?l,t??0?u?x,0????x??u?x,t???cnen?1??(n?a2)tlsinn?x, 则其中cn? l8. 由分离变量法得到的波动方程混合问题的级数解，有明显的物理意义，故分离变量法又称

为____________ 法.

9、一长为l的均匀细弦，弦的x?0端固定，x?l端作简谐振动coswt，弦的初始位移和初始速度都是零，弦的振动过程中重力因素的影响可忽略不计,并且不受其他外力作用,弦的位移函数u(x,t)所满足的定解问题是：

1、两个自变量的二阶线性偏微分方程Auxx?Buxy?Cuyy?Dux?Euy?Fu?f的特征方程

为：A(dy)2?Bdxdy?C(dx)2?0 ( ) 2．当n为正整数时，贝塞尔函数Jn与J?n是线性无关的。 ( ) 3. 定解问题的适定性包括：存在性、唯一性和稳定性. ( ) 4．对于 “一维非齐次波动方程、非齐次边界条件”的混合问题，若边界条件和自由项都与时

间变量t无关, 则有可能通过引入适当的辅助函数，使方程和边界条件同时齐次化。 ( ) 5．一维热传导方程是椭圆型方程。 ( ) 6．一维波动方程是双曲型方程。 ( )

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7、对Laplace方程和Poisson方程不需给出初始条件。 （ ） 8、特征函数展开法适用于“非齐次方程、齐次边界条件、零初始条件”的定解问题。 ( ) 9、对于任何“非齐次方程、非齐次边界条件”的混合问题，必能通过引入适当的辅助函数，使得方程和边界条件同时齐次化。

三解答题

1、写出初始位移为?(x)=x2，初始速度为?(x)?cosx的无界弦的自由振动所对应的定

解问题，利用达朗贝尔公式求出其解u(x,t)；并在x,t坐标平面上画出下列图形： ⑴ 点(x,t)的依赖区间；⑵.区间 [x1,x2]的决定区域；⑶ 点x0的影响区域。

2、⑴ 当n为非负整数时，写出n阶第一类贝塞尔函数Jn(x)的级数表示式；并由此写出

J0(x)与J1(x)的级数表示式的前5项。

⑵ 计算积分xJ2(x)dx

3、用分离变量法求下列定解问题的解：

2??u2?u??t?a?x2,???u?0, ??xx?0??u?x?t?0??0?x?l,t?0,?u?x?0,t?x?l0,

4、求解下列柯西问题：

2??2u?2u?u?42?0,y?0,???x????2?5?x?y?y??x ?

?u2?u?x,?1,???x????y?0?yy?0?第 2 页 共 3 页

??2u?2u?2?2??x?y5求定解问题??ux?0?0,???u?0,?0,0?x?a,0?y?b0?y?b0?x?a.的解。

ux?a?y,?u?0,???yy?0?yy?b??2u?26、求定解问题?ux2?x2??y2?,???ux2?y2?1?0.

x2?y2?1,的解。

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