湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试

数 学 试 卷(理科）

全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数

21?i? 等于（ ） 1?iiA. i B. 0 C.-i D.1+i

22．设f(x)?x?2x?4lnx，则函数f(x)单调递增区间为

（A） (0,??) （B）(?1,0)和(2,??) （C）(2,??) (D)(?1,0) 3．函数y?f(x)的图象如图所示，若

B．2m C．?m D．0

??02?f(x)dx?m，则?0f(x)dx等于（ ） A

．

m

x2y224．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为2，一个焦点与抛物线y?16x的焦点相同，则双

ab曲线的渐近线方程为（ ） A. y??333x B. y??3x C.y??x D.y??x

2231x25．曲线y?e2在点(4,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）

222A．e B．2e C．4e D．6．下列命题错误的是 （ ）

92e 222A、命题“若m?0，则方程x?x?m?0有实数根”的逆否命题为“若方程x?x?m?0无实数根，

则m?0”

2B、“x?1 ”是“x?3x?2?0”的充分不必要条件

22C、对于命题p:?x?R,使得x?x?1?0，则?p:?x?R，均有x?x?1?0

D、若p?q为假命题，则p,q均为假命题

7.棱长均为3三棱锥S?ABC，若空间一点P满足SP?xSA?ySB?zSC(x?y?z?1)则SP的最小值为( )

1

A、6 B、

63 C、 D、1 368．已知函数y?(x?1)f?(x)的图象如图所示，其中f?(x)为函数f(x)的导函数，则y?f(x)的大致图象是( )

y -1

O 1 x

9．如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若三角形ABF2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）

A．5?22 B．5?22 D．4?22 C．4?22

E，F分别是AB1，10．如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，

点，则以下结论中不成立的是（ ） ．．．A．EF与BB1垂直 C．EF与CD异面 11．已知函数

B．EF与BD垂直 D．EF与AC11异面

A

D1A1B1BC1的中

C1F C

EDB

y?f(x)对任意的x?R满足

f'(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式成立的是（ ） ?(（其中)2xfx'(?x)fx2A．2f(?2)?f(?1) B．2f(1)?f(2) C．4f(?2)?f(0) D．2f(0)?f(1)

2

x12．定义方程f(x)?f'(x)的实数根0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数

g(x)?x,h(x)?ln(x?1),1),??((xx))??xx3??11的“新驻点”分别为?,?,?，则?,?,?的大小关系为（ ）

A．?????

B．????? C．????? D．?????

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．复数

4?3i的虚部为 . 1?2i11111???.????（n为正偶数），从“n=2k”到234n?1n14．用数学归纳法证明某命题时，左式为1?“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.

|PF2|215．设F1 , F2为双曲线2?2?1的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且的最小值为8a，则

|PF1|abx2y2双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知x??0,???，不等式x?1427a?2，x?2?3，x?3?4，?，可推广为x?n?n?1，则axxxx等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

已知命题p：?x??1,2?,x?a?0，命题q：?x0?R,x0?2ax0?2?a?0，若“p且q”为真命题，

22求实数a的取值范围．

18．（本题满分12分） 已知函数f(x)?x?alnx． （1）当a??2e时,求函数f(x)的单调区间和极值； （2）若函数g(x)?f(x)?22在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围． x

19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SABS与侧面

SAC均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO?平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值．

OCBA 3

x2y2220. (本小题满分12分)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为23,离心率为,其右焦点为F,

2ab过点B(0,b)作直线交椭圆于另一点A．

????????（1）若AB?BF??6,求?ABF外接圆的方程;

x2y21M(2,0)（2）若过点的直线与椭圆N:2?2?相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足ab3????????????????????25OG?OH?tOP（O为坐标原点），当PG?PH?时，求实数t的取值范围．

321.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?alnx?2(a?R)． x?1（1）当a?1时，求f(x)在x?[1,??)最小值； （2）若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）求证：ln(n?1)?

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB?OP，AB交PO于点C， （Ⅰ）求证：PA?PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP?5，求BC的长度．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

O ●1111*?????（n?N）． 3572n?1A C P

B x轴的正半

?x?8cost已知曲线C1：? （t为参数），以坐标原点为极点，

y?3sint? 4

轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??7．

cos??2sin?（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为(42,3?)，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最4小值．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知a＋b＝1，对?a，b∈（0，＋∞），1a＋4b≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立， （Ⅰ）求

14a＋b的最小值； （Ⅱ）求x的取值范围。

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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试

数 学 试 卷（理科）

一、选择题：BCDBA DABBD AC 二、填空题： 13．-1 14．

1111n2k?1?2k?2 （写n+1-n+2 也给分）15．(1, 3] 16．n

三、解答题：

17.解析：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．

p：x2?a在?1,2?上恒成立，只需a??x2?min?1，所以命题p：a?1；

q：设f?x??x2?2ax?2?a，存在x0?R使f?x0??0，只需??4a2?4?2?a??0，即a2?a?2?0?a?1或a??2，所以命题q：a?1或a??2.

由??a?1?a?1或a??2得a?1或a??2

故实数a的取值范围是a?1或a??2 18．【解析】（1）定义域(0,+?),f'(x)?2(x?e)(x?e)x,???2分

(0,e)减,(e,+?)增 ???4分 f极小(x)?f(e)?0 ???6分

（2）g('x)?2x?ax?2x2???8分 g('x)?0在?1,4?上恒成立,a?2x-2x2,???10分

h(x)?2x-2x2在?1,4?为减函数,a?h(x)?h(4)??63min2???12分

19.解：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，

所以OA?OB?OC?22SA，且AO?BC，又△SBC为等腰三角形， SO?BC，且SO?2SA，从而OA2?SO2?SA22． 所以△SOA为直角三角形，SO?AO．

又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC．???????6分

6

（Ⅱ）解法一：取SC中点M，连结AM，OM，由（Ⅰ）知SO?OC，SA?AC， 得OM?SC，AM?SC．∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角． 由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC． 所以AO?OM，又AM?AO263． SA，故sin?AMO???2AM333??????12分 3所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O?xyz．

设B(1，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，．

??1?1??????11?????11?????SC的中点M??，0，?，MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)．

222222???????????????????????∴MO?SC?0，MA?SC?0．

?????????故MO?SC，MA?SC，

??????????????????MO?MA3cos?MO，MA??????， ??????3MO?MA所以二面角A?SC?B的余弦值为

20.解：（1）由题意知：c?3，e?3．???12分 3c2222?，又a?b?c， a2x2y2a?6,b?3?1 2分 解得：?椭圆C的方程为：?63????????可得：B(0,3)，F(3,0),设A(x0,y0)，则AB?(?x0,3?y0)，BF?(3,?3)， ?????????AB?BF??6，??3x0?3(3?y0)??6，即y0?x0?3 7

?43?x02y02x??0??1???x0?0?3??由?6，或? 3??y0??3?y?3?y?x?30?00?3?433即A(0,?3)，或A(,) 4分

33①当A的坐标为(0,?3)时，OA?OB?OF?3，??ABF外接圆是以O为圆心，3为半径的

22x?y?3 5分 圆，即

②当A的坐标为(433,)时，kAF?1，kBF??1，所以?ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB332323115， ,)，半径为AB?3323为直径的圆，圆心坐标为(??ABF外接圆的方程为(x?2322325)?(y?)? 33322x?y?3，或(x?23)2?(y?23)2?5 6分 综上可知：?ABF外接圆方程是

333（2）由题意可知直线GH的斜率存在．

设GH:y?k(x?2)，G(x1,y1)，H(x2,y2)，P(x,y)

?y?k(x?2)2222?2(1?2k)x?8kx?8k?2?0 由?x得：

?y2?1??2422??64k?4(2k?1)(8k?2)?0得：k2?1（?） 8分 由

28k28k2?2x1?x2?,x1x2?

1?2k21?2k2????????25????25252?PG?PH?，?HG?即1?kx1?x2? 333?k2?1，结合（?）得： 10分 4 8

????OG??????OH?tOP????，?(x1?x2,y1?y2)?t(x,y)

从而x?x1?x2t?8k2y1?y21?4kt(1?2k2)，y?t?t[k(x1?x2)?4k]?t(1?2k2) ?点P在椭圆上，?[8k22?4k216k2?t2(1?2t(1?2k2)]?2[t(1?2k2)]?2，整理得：2k) 即t2?8?81?2k2，??2?t??263，或263?t?2 12分

21.解：（1）f(x)?lnx?2x?1，定义域为(0,??)． ?f'(x)?12x2?1x?(x?1)2?x(x?1)2?0

?f(x)在(0,??)上是增函数．

f(x)min?f(1)?1.

（2）因为f'(x)?a2ax2?2(a?1)x?ax?(x?1)2?x(x?1)2 因为若f(x)存在单调递减区间，所以h'(x)?0有正数解. 即ax2?2(a?1)x?a?0有x?0的解 当a?0时，明显成立 .

②当a?0时，y?ax2?2(a?1)x?a开口向下的抛物线，ax2?2(a?1)x?a?0总有x?0的解；③当a?0时，y?ax2?2(a?1)x?a开口向上的抛物线，

即方程ax2?2(a?1)x?a?0有正根. 因为x1x2?1?0，

所以方程ax2?2(a?1)x?a?0有两正根. 当x?1时，f(x)?f(1)?1；

9

????0，解得0?a?1?x． 1?x2?02综合①②③知：a?12． 或：

ax2?2(a?1)x?a?0有x?0的解

即 a(x2?2x?1)?x有x?0的解 即 a?x(x2?2x?1)有x?0的解

a?x1(x2?2x?1)的最大值(x?0)，?a?2 （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?x?1x?1． 令x?k?1k，则有lnk?1nk?1k?1n12k?1， ??ln?k?1k?． k?12k?1n?ln(n?1)??lnk?1k?1k， ?ln(n?1)?13?115???2n?1．

(法二)当n?1时，ln(n?1)?ln2．

?3ln2?ln8?1，?ln2?13，即n?1时命题成立．

设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)?1113?5???2k?1．

?n?k?1时，ln(n?1)?ln(k?2)?ln(k?1)?lnk?2k?1?13?15???12k?1?lnk?2k?1．根据（Ⅰ）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?x?1x?1． 令x?k?2k?21k?1，则有lnk?1?2k?3，

则有ln(k?2)?1113?5???2k?1?12k?3，即n?k?1时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．

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????OG??????OH?tOP????，?(x1?x2,y1?y2)?t(x,y)

从而x?x1?x2t?8k2y1?y21?4kt(1?2k2)，y?t?t[k(x1?x2)?4k]?t(1?2k2) ?点P在椭圆上，?[8k22?4k216k2?t2(1?22t(1?2k2)]?2[t(1?2k2)]?2，整理得：k) 即t2?8?81?2k2，??2?t??263，或263?t?2 12分

21.解：（1）f(x)?lnx?2x?1，定义域为(0,??)． ?f'(x)?12x2?1x?(x?1)2?x(x?1)2?0

?f(x)在(0,??)上是增函数．

f(x)min?f(1)?1.

（2）因为f'(x)?a2ax2?2(a?1)x?ax?(x?1)2?x(x?1)2 因为若f(x)存在单调递减区间，所以h'(x)?0有正数解. 即ax2?2(a?1)x?a?0有x?0的解 当a?0时，明显成立 .

②当a?0时，y?ax2?2(a?1)x?a开口向下的抛物线，ax2?2(a?1)x?a?0总有x?0的解；③当a?0时，y?ax2?2(a?1)x?a开口向上的抛物线，

即方程ax2?2(a?1)x?a?0有正根. 因为x1x2?1?0，

所以方程ax2?2(a?1)x?a?0有两正根. 当x?1时，f(x)?f(1)?1；

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????0，解得0?a?1?x． 1?x2?02综合①②③知：a?12． 或：

ax2?2(a?1)x?a?0有x?0的解

即 a(x2?2x?1)?x有x?0的解 即 a?x(x2?2x?1)有x?0的解

a?x1(x2?2x?1)的最大值(x?0)，?a?2 （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?x?1x?1． 令x?k?1k，则有lnk?1nk?1k?1n12k?1， ??ln?k?1k?． k?12k?1n?ln(n?1)??lnk?1k?1k， ?ln(n?1)?13?115???2n?1．

(法二)当n?1时，ln(n?1)?ln2．

?3ln2?ln8?1，?ln2?13，即n?1时命题成立．

设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)?1113?5???2k?1．

?n?k?1时，ln(n?1)?ln(k?2)?ln(k?1)?lnk?2k?1?13?15???12k?1?lnk?2k?1．根据（Ⅰ）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?x?1x?1． 令x?k?2k?21k?1，则有lnk?1?2k?3，

则有ln(k?2)?1113?5???2k?1?12k?3，即n?k?1时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．

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22.选修4—1：几何证明选讲 （Ⅰ）证明：连接OA， ∵OA?OB，

∴?OAB??OBA．??????????1分 ∵PA与圆O相切于点A， ∴?OAP?90?．

∴?PAC?90???OAB．????????2分 ∵OB?OP，

∴?BCO?90???OBA．????????3分 ∴?BCO??PAC． ????????4分 又∵?BCO??PCA， ∴?PCA??PAC．

∴PA?PC． ????????????5分

（Ⅱ）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O割线，

∴

PA2?PM?PN?(PO?OM)?(PO?ON)．?????6分 ∵OP?5，OM?ON?3，

2∴

PA?(5?3)?(5?3)?16． ∴PA?4．????????????8分 ∴由（Ⅰ）知PC?PA?4． ∴OC?5?4?1．

18

222在Rt?OBC中，BC?OB?OC?9?1?10

∴BC?10．??????????10分

?x?8costx2y27??1；由??23.【解析】（Ⅰ）由?，消去参数得曲线C1普通方程为，

cos??2sin?649?y?3sint得?cos??2?sin??7，故曲线C2的直角坐标方程为x?2y?7?0． 5分 （Ⅱ）点Q的直角坐标为(?4,4)，设P(8cost,3sint)，故M(?2?4cost,2?3sint)， 2C2为直线x?2y?7?0，M到C2的距离d?85． 10分 5435从而当cost?,sint??时，|4cost?3sint?13|，

555d取得最小值

24. 解析：（Ⅰ）∵a?0,b?0且a?b?1，

1414b4a??(?)(a?b)?5???9， 3分 abababb4a12当且仅当?，即a?，b?时，

ab3314?取最小值9． 5分 ab14（Ⅱ）因为对a,b?(0,??)，使??2x?1?x?1恒成立，

ab∴

所以2x?1?x?1?9， 7分

当x??1时，不等式化为2?x?9， 解得?7?x??1；

11时，不等式化为?3x?9，解得?1?x?； 2211当x?时，不等式化为x?2?9， 解得?x?11；

22∴x的取值范围为?7?x?11. 10分

当?1?x? 19

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