第2章 离散系统的振动微分方程

船舶振动与噪声控制

第2章 离散系统的振动微分方程

第2章 离散系统的振动微分方程江苏科技大学

振动噪声研究所

第2章 单自由度系统的振动

第2章 离散系统的振动微分方程2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础

2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式第1章 概 论 第2章 单自由度系统的振动

2.1.1.实际系统的离散化 工程实际中，即使是一台很简单的机器 ，也是由无限多个质点组成的，这些质 点之间既有弹性，也有阻尼。----连续系 统 任何实际系统的质量、弹性和阻尼都是 连续分布的。因此，用质点动力学的方 法作系统分析时，必须用无穷多个微分

方程来表示。

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简化力学模型的依据 系统本身的复杂程度 外界作用形式 分析精度等等

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简化方法：对系统质量、弹性和阻尼集中处理① 机器中弹性较小而质量较大的构件可以简化成不计

弹性的集中质量；② 质量较小而弹性较大的构件可以简化成不计质量的

弹簧；③ 构件之间阻尼较大的部分用不计质量和弹性的阻尼

器表示。第2章 离散系统的振动微分方程

将某些质量、弹性和阻尼没有明显差别的构件 划分成若干单元，把单元的总弹性和总阻尼作 为无质量的弹性元件和阻尼元件与集中质量元 件连接，从而把一个无穷多自由度的系统简化

成有限个自由度的系统。 (有限元FEM)

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如下为一个通过弹性支承安装的柴油发电机组，只讨论机 组对地面产生的动压力时，可以把整个机组的质量集中在机 组的重心处，机组作为一个集中质量，弹性支承的质量与机 组相比小得多，可以简化成并联的弹簧与阻尼器。

图1.2-1 弹性安装的柴油发电机组 (DOF=1)

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思考：如果一台柴油机弹性的安装在非刚性的 基础上，分析系统在铅垂方向的振动，应该如 何简化？

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如下为柴油机的推进轴系示意图，研究其扭转振动。柄自 由 一度 个数 飞： 轮六 一个 个活 螺塞 旋、 桨连 杆 和 曲 参 数 特 6 征 ： 集 中 质 量 、 扭 转 刚 度 振 动 特 征 ： 扭 转 振 动 + +

图1.2-2 柴油机推进轴系 (DOF=8)

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2.1.2.离散化的力学模型 由质量元件、弹性元件和阻尼元件组成。1.质量元件 无弹性，不耗能的刚体(可以忽略变形的大小)。 是储存动能的元件，起到使振动物体持续运动功能 的作用。

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2.弹性元件

无质量、有弹性，是储存

弹簧变形势能的元件，起到使振动物体回到平衡位置的作用。在波峰或 波谷位置时，弹性元件的势能最大。

图1.2-3 弹性元件

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弹性元件有线性、非线性(渐硬型、渐软型等) 特性。对于线性弹性元件，平动振动系统的力与 位移之间有如下关系：

F

k x S

弹簧刚度：一般用k 表示，单位为(N/m)。

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3.阻尼元件 耗能元件，消耗振动物体的运动动能，将机械能 转化为热能。例如，由于阻尼的作用，自由振动 会逐渐停止。 XFd

阻尼是三种元件中最复杂的一种，实际振动系统的阻

尼难以准确确定，往往是简化为线性阻尼，根据经验或试验来确定。第2章 离散系统的振动微分方程

常见的阻尼模型三种形式: 由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。 由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦(库仑)阻尼。 由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。Fd

x1Fd

x2

斜率 c x2 x1Fd

c

0

阻尼模型(a) (b)

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第2章 离散系统的振动微分方程2.1 实际系统离散化的力学模型

2.2 力学基础 2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式第1章 概 论 第2章 单自由度系统的振动

2.2. 力学基础振动微分方程的建立过程是把实际系统理想化 为离散化的力学模型，并转化为数学模型的过程。

2.2.1自由度和广义坐标 若用某一组独立坐标(参数)就能完全确定系统在 任何瞬时的位置，则这组坐标称为广义坐标。 完全确定系统在任何瞬时位置所需要的独立坐标个 数称为自由度。第2章 离散系统的振动微分方程

一个质点在空间的自由度为3。n个毫不相干、无

任何约束关系的质点系自由度为3n。

一个刚体在空间的自由度数为6。m个无约束刚体的系统自由度数为6m。

图1.2-5 刚体的6个自由度

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由于相互之间的约束，减少了系统的自由度。 一个振动系统力学模型中有n个质点 ，m个刚

体，那么它的自由度DOF(Degree of Freedom )必定满足下列方程： DOF=3n+6m-(约束方程数)

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例题1 (1).在平面内运动的单摆；

图1.2- 6 单摆运动

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方法一：用转角θ来建立广义坐标，则DOF=1方法二：用直角x、 y来建立广义坐标，则由于

有约束方程：

x y R2 2

2

则 DOF=2-1=1结论：对于一个确定的振动系统，自由度的个 数不会因为广义坐标的不同而改变。

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