上海师范大学高数试题 (9)

《微积分下》作业1答案

学院 专业 年级班级 姓名 学号

一、单选题（20×3）

1.

2

x ( B )

A. C.

1

1

(1 x)dx (1 x)dx B.

1

21

2

(1 x)dx

010

12

12

(x 1)dx (1 x)dx

(x 1)dx

(x 1)dx D.

(x 1)dx

1

1

2.下列各式中积分值为零的是（ B ） A.

1

1

xdx B.

2

1

xxdx C. 12 D. 1x

1

1

1

14 x2

3．

0

xsinxdx ( A ）

A. B. C.2 D. 2

A. C.

xsinxdx xdcosx xcosx 0cosxdx= sinx

000

1

4.下列不等式中正确的是（ B ）

x2dx x3dx B.

2

1

1

x2dx x3dx

1

1

x3dx

a

2

12

x2dx D.

3

2

1

xdx

2

1

x2dx

在[0,1]上x x 5．若 (x)

x

x

1

2

dx x3dx

1

te tdt(a为常数），则 (x) ( A )

x

x

x

A. xe B. xe C. e

a

ae a D. e x ae a

6.

(x) tedt te tdt (x) xe x

x

a

e

t

x

1

1xsin(lnx)dx ( C )

A.1 sin1 B.sin1 1 C.1 cos1 D.cos1 1

e

1

1

sin(lnx)dx x

e

1sin(lnx)d(lnx)= cos(lnx)1 cos1 1

e

7．下列广义积分

xe xdx的值是（ A ）

1

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

解： xedx＝lim

x

b 0

b

xde

x

＝lim[ xe

b

xb

e xdx]＝lim[ e x]b0 1

b

b

8.函数f(x) A.

B. C. D.

x

(t2 1)dt.( B )

在x 1有极大值，在x 1有极小值 在x 1有极小值，在x 1有极大值. 在x 1有极大值，在x 1有极大值 在x 1有极小值，在x 1有极小值

f (x) x2 1令f (x) 0得x 1 f (x) 2x f (1) 2 0 在x 1有极小值

f ( 1) 2 0 在x 1有极大值

9.

1

x4 x

2

( C )

A.

11

( 2) B. ( 2) C.2 3 D. 2 44

10

10.若

1111221 (4 x)= 24 x 3 2

2202024 x4 xx

k

(2x 3x2)dx 0,k 0,则k ( A )

33

D.

22

A.1 B.-1 C.

k

k

(2x 3x)dx x x k2 k3 k2(1 k) 0 k 0,,k 1

2

2

3

当k 1

1

(2x 3x2)dx

x2

2231(2x 3x)dx (x x) 0 0

01

11.

f(x) ln(t2 1)dt,则f (x) ( D )

4

2

2

4

A.ln(x 1) B. ln(x 1) C. 2xln(x 1) D. 2xln(x 1)

22

f (x) ln[x() 1] 2x 2xlnx(4 1) 120

12.

xe2xdx ( C )

A.

11111e 1 B. e C. D. 24244

2

120

1212x122xe12x12x2x

xedx xde xe edx e

0200420244

11

13. 设f(x)在[a,b]上可导，且f (x) 0.若 (x) f(t)dt,则下列说法正确的是

x

a

（ C ）

A. (x)在[a,b]上单调减少 B. (x)在[a,b]上单调增加 C. (x)在[a,b]上为凹函数 D. (x)在[a,b]上为凸函数

(x) f(x) (x) f (x) 0

14．下列广义积分收敛的是（ C ） A．

1

1

11x B. 0x21 C. 10

0x

1 D. lnx0x 1

10

x

=lim 0

2x1 0

2

15．设f(x)

sinx

t2

0dt,则f (4) （ A ）

A.12 B. 1

2

C.2 D. 2

f (x) (sinx)2

cosx

16.lim

x

2

(1 e t)dtx 0

x

3

（ B ）

A.0 B.

13 C. 1

3

D. x

t2

)dt2

2

lim

0

(1 e x 0

lim1 e x e x ( 2x)x3

x 03x2

limx 06x 13 17.

d

1

dx

xln(2 x2)dx ( C )

A.ln(2 x2

) B.ln3 ln2 C.0 D.

2x

2 x

2

常数的导数为零 18.当x 0时，

x

(cost 1)dt与xn是同阶无穷小量，则n的值为( C A.1 B.2 C.3 D.4

3

)

lim

x 0

x

(cost 1)dtxn

lim

cosx 1 sinx

lim c(c为常数)

x 0x 0n(n 1)xn 2nxn 1

n 2 1

n 3

19.若 x 表示不超过x的最大整数，则积分

x dx的值为（ D ）

1

2

3

4

4

A.0 B2 C.4 D.6

0 1

当x (0,4)，[x]

2 3

20．定积分

3

0 x 1

1 x 2

2 x 33 x 4

0 x dx 0dx 1dx 2dx 3dx 6

1

2

3

4

193

1x 8

作适当的变化后应等于（ A ）

A.

2

3xdx B

3

3xdx C.

2

3xdx D.

19

3xdx

令x 8 t 二、计算题（10×4） 1． 计算

1

x2dx

解：令x sint

x2dx=

01

20

sint

1t cos2t 122 sin2t = costdt 00020442

2

2. 计算0

1

4

4

1x

t

1

1x

＝

22t12

＝2 (1 )dt＝2[t ln t]0 4 2ln3 01 t01 t2

3．计算

解：

3

1

2

x2 4

2

3

1

x 4＝

1

132x3

(4 x)dx (x 4)dx＝(4x x)1 ( 4x)32 4 233

2

3

2

4

4. 计算 sinxdx

2

解：

2

2

sinx sinxdx ( sinx)dx=[ cosx] 0 [cosx] 4

2

5．计算

2

xe

3 x2

dx

解：令u x2

2

x3e xdx＝

2

414 u11 u4 u 4 u4

uedu[ ue edu[ 4e e＝＝00] 00222115

＝[ 4e 4 e 4 1]＝ e 4 222

6．计算

xxcosdx

2

xx xx 解： xcos＝2xsin 2 sin＝2 4cos 2 4

00220220

7．计算广义积分

1

1 x

1

(1 x)＝lim[0 2

0 解：

1

1

x

＝lim

0

1

8．计算

ln2

ex 1dx

t x ln(t2 1)

ln2

ex 1dx＝ tdln(1 t2)＝ t

11

12t1

2(1 )dt ＝22 01 t1 t

＝2[t

arctgt]1) 2 0 2(1 42

1

9．计算极限limx 0x3

x

sint

( 1)dt t

sinx

1

cosx 11xsintsinx x sinxlim 1)dt=limlimlim 解：lim3 (=== 2320x 0x 0xx 0x 0x 0t18x9x3x3x

1

=

1810．计算广义积分

3

dxx 1)(3 x)

1

5

解：

3

dx(x 1)(3 x)

1

=lim

3

d(x 2) (x 2)2

01 0

3

=lim[arcsin(x 2)]1

0 0

=

0 0

lim[arcsin(1 ) arcsin( 1)]=

2

2

=

6

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