2022年高考数学第68讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验

第68讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验

1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)

的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)都在直线y ＝12

x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(D )

A ．－1

B ．0

C .12

D ．1

由题意知，这组样本数据完全正相关，故相关系数为1，选D .

2．设某大学的女生的体重y(单位：kg )与身高x(单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则

下列结论中不正确．．．

的是(D ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)

C ．若该大学某女生的身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg

D ．若该大学某女生的身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg

A 、

B 、

C 均正确，是回归方程的性质．

D 项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重，选项D 应改为“若该大学某女生身高为170 cm ，则估计其体重大约为58.79 kg ”才正确．

3．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x(万元)

8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(万元)

6.2

7.5

8.0 8.5

9.8 A ．11.4万元 B ．11.8万元

C ．12.0万元

D ．12.2万元

由题意知，x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95

＝10， y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85

＝8， 所以a ＝8－0.76×10＝0.4，

所以当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．

4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男 女 总计

爱好

40 20 60 不爱好

20 30 50 总计

60 50 110 由K 2＝n (ad －bc 2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

算得， K 2＝110×(40×30－20×20)2

60×50×60×50

≈7.8. 附表：

P(K 2≥k) 0.050 0.010 0.001

A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0.1%

的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 因为7.8>6.635，所以99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，选A . 5．对于一组数据的两个函数模型，模型Ⅰ和模型Ⅱ的残差平方和分别为180.2和290.7，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选 模型Ⅰ .

残差平方和越小，函数模型对数据的拟合效果越好；残差平方和越大，说明

函数模型对数据的拟合效果越差． 6．已知x 、y

从所得的散点图分析，a ＝ 2.6 .

因为回归直线方程必过样本点的中心(x －，y －

)，

解得x －＝2，y －

＝4.5，将(2,4.5)代入y ＝0.95x ＋a ，可得a ＝2.6.

7．(2015·重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民

(1)求(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．

附：回归方程y ＝b t ＋a 中，b ＝∑i ＝1

n

t i y i －n t y

－

∑i ＝1

n

t 2i －n t

2

，a ＝y －

－b

t .

(1)列表计算如下：

这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1

n t i ＝15

5

＝3，

y －＝1n ∑i ＝1

n y i ＝365＝7.2. 又l tt ＝∑i ＝1

n t 2i －n t 2＝55－5×32＝10，

l ty ＝∑i ＝1n

t i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，

从而b ＝l ty l tt ＝1210

＝1.2， a ＝y －－b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，

故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.

(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．

8．(2015·湖北卷)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是(C )

A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关

B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关

C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关

D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关

因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b y ＋a ，b >0，则z ＝b y ＋a ＝－0.1b x ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．

9．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过这种血清的人与另外500名未使用这种血清的人一年中的感冒记录比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2＝3.918，经查临界值表知P(K 2≥3.841)≈0.05.下列结论中，正确结论的序号是 ① .

①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；

②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；

③这种血清预防感冒的有效率为95%；

④这种血清预防感冒的有效率为

5%.

因为K 2＝3.918≥3.841，而P(K 2≥3.841)≈0.05，

所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．

10．(2016·湖北省八校第二次联考)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人．该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3])

(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．

①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；

②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05

参考公式：K 2

＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n

＝a ＋

b ＋

c ＋d.

(1)由分层抽样得，男生抽取的人数为120×14000

14000＋10000

＝70人，女生抽取

的人数为120－70＝50人，故x ＝5，y ＝2，

则该校男生平均每天运动的时间为： 1

70

(0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×5)≈1.5, 故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时．

(2)①样本中“运动达人”所占比例是20120＝1

6

，故估计该校“运动达人”有

1

6

×(14000＋10000)＝4000人．

②由表格可知：,

故K 2的观测值

k ＝120(15×45－5×55)220×100×50×70

＝9635≈2.743<3.841.

故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为'运动达人'与性别有关”．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vzxl.html