2009-2014安徽理科数学高考卷附详细解析 - 图文

09年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

参考公式：

S表示底面积，h表示底面的高

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体积 V?Sh P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 V?

第I卷(选择题 共50分)

一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） i是虚数单位，若

1 Sh31?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积ab的值是（ ） 2?i （A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15 （2）若集合A?x|2x?1|?3,B??x???2x?1??0?,则A∩B是（ ） 3?x??1? （A） ??x?1?x??或2?x?3? (B) x2?x?3

2???? (C) ?x???1?1? ?x?2? (D) ??x?1?x???22???2（3）下列曲线中离心率为6的是（ ）

22x2y2x2y2xyx2y2（A） （B） （C）??1??1??1 （D）??1

244246410 (4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ） （A）p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d

（B）p:a＞1,b>1 q:f(x)?ax?b(1?a?0)的图像不过第二象限 （C）p: x=1, q:x?x

（D）p:a＞1, q: f(x)?logax(1?a?0)在(0,??)上为增函数

（5）已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）

（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18

（6）设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)的图像可能是（ ）

22第 1 页 共 69 页

?x?04（7）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面积相等的两部分，则k的

?3?3x?y?4?值是 （ ） （A）

7343 （B） （C） （D） 3734（8）已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)，y?f(x)的图像与直线y?2的两个相邻交点的距离等于?，则f(x)的单调区间是（ ）

（A）[k???,k??5?],k?Z （B）[k??5?,k??11?],k?Z

12121212（C）[k???,k???],k?Z （D）[k???,k??2?],k?Z

3663（9）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）

（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2 （D）y??2x?3

（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） （A）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。 (11）若随机变量X～(?,?2)，则P(X??)=________.

(12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为??1234 （B） （C） （D） 75757575??x?1?2cos?(??R)，它与曲线?（?4y?2?2sin??为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.

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（14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y的最大值是=________.

（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________ （写出所有正确命题的编号）。

1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； ○

2由顶点A作四面体的高，其垂足是?BCD的三条高线的交点； ○

3若分别作?ABC和?ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面； ○

4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; ○

○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

三．解答题;本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 （16）（本小题满分12分）在?ABC中，C-A=

（I）求sinA的值； (II)设AC=

（17）（本小题满分12分）

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区。B肯定是受A感染的。对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是

?1, sinB=。

326，求?ABC的面积。

11。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D中直接受23A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.

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（18）（本小题满分13分）

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2， BD=

2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。

（I）求二面角B-AF-D的大小；

（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。

（19）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?

（20）（本小题满分13分）

2?1?alnx，a＞0，讨论f(x)的单调性. xx2y2?点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线l2与

2ab直线l1:x0y0x?y?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?. a2b2x2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；

ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列。

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（21）（本小题满分13分） 首项为正数的数列?an?满足an?1?12(an?3),n?N?. 4（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 一. 选择题

1-10. BDBAB CACAD

1?7i(1?7i)(2?i)???1?3i，∴a??1,b?3,ab??3，选B。 2?i5112、[解析]集合A?{x|?1?x?2},B?{x|x??或x?3}，∴AB?{x|?1?x??}选D

221、[解析]

b23b216c233、[解析]由e?得2?,1?2?,2?，选B

a2a2a224、[解析]：由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d

a＞b且c＞d，可举反例。选A

5、[解析]：由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即

?an?0d??2a4?33 ，∴，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由?得n?20，选B

?an?1?06、[解析]：y?(x?a)(3x?2a?b)，由y?0得x?a,x?值0，当x?//2a?b，∴当x?a时，y取极大32a?b时y取极小值且极小值为负。故选C。 3wwwk5uom或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C

7、[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

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由?∴S?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4△ABC

144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 2331215交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

22235147∴?k??,k?选A。 2233=

8. [解析]：f(x)?2sin(?x?由2k??

9、[解析]：由f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8得f(2?x)?2f(x)?(2?x)2?8(2?x)?8，

即2f(x)?f(2?x)?x2?4x?4，∴f(x)?x2∴f/(x)?2x，∴切线方程为

?6)，由题设f(x)的周期为T??，∴??2，

?2?2x??6?2k???2得，k???3?x?k???6,k?z，故选C

y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0选A

10、[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

226个点中任意选两个点连成直线，共有C6?C6?15?15?225

种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

?B ?F ?C ?D ? E

? A AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF//ED

共12对，所以所求概率为p?二. 填空题 11、[解析]

124?，选D 225751 212、[解析] 直线的普通方程为y?x，曲线的普通方程(x?1)2?(y?2)2?4

∴|AB|?22?(2|1?2|2)?14 1?113、[解析] 由程序框图知，循环体被执行后a的值依次为3、7、15、31、

63、127，故输出的结果是127。 14、[解析]设?AOC??

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1?cos??x?y????OC?OA?xOA?OA?yOB?OA,2，即? ???cos(1200??)??1x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB,??2∴x?y?2[cos??cos(1200??)]?cos??3sin??2sin(??15、[解析]①④⑤ 三．解答题

16、解：（Ⅰ）由C?A??6)?2

??B?B，，且C?A??∴A??，∴sniAsni?(242?B2B)??(cossni)?4222C

B2，

113∴sinA?(1?sinB)?，又sinA?0，∴sinA?

2332ACBC?（Ⅱ）如图，由正弦定理得 sinBsinAA B

∴BC?ACsinA?sinB6?1333?32，又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

?322616 ????33333116AC?BC?sinC??6?32??32 223X P 1 2 3 ∴S?ABC?17、解：随机变量X的分布列是 1 31 2wwwk5uom1 6X的均值为EX?1?11111?2??3??3266

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是： ① ② └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C ⑤ A—C—D └B ⑥ 16A—B—C—D A—B—C 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

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18、解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG?AF，

G为垂足。连接BG、DG。由BD?AC，BD?CF得BD?平面ACF，故BD?AF。 于是AF?平面BGD，所以BG?AF，DG?AF，?BGD为二面角B－AF－D 的平面角。 由FC?AC， FC?AC?2，得FAC??4，OG?2 2由OB?OG,OB?OD??2，得?BGD?2?BGO?

22

（向量法）以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）

?2?n?AB?0?1x?y?0??设平面ABF的法向量n1?(x,y,z)，则由?得?2

??n1?AF?0?2y?2z?0???x??2令z?1，得?，n1?(?2,?1,1)

??y??1同理，可求得平面ADF的法向量n2?(2,?1,1)。由n1?n2?0知，平面ABF与平面ADF垂直， 二面角B-AF-D的大小等于

wwwk5uom

?。 2（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

P?AC,HP?AC.

由

HPHPAPPC2????1,得HP?。

3CFAEACAC第 8 页 共 69 页

又因为S菱形ABCD?1AC?BD?2, 2故四棱锥H-ABCD的体积V?122S菱形ABCD?HP?.39wwwk5uom

2ax2?ax?219、解：f(x)的定义域是(0,+?),f?(x)?1?2??. 2xxx设g(x)?x2?ax?2,二次方程g(x)?0的判别式??a2?8.

① 当??a2?8?0，即0?a?22时，对一切x?0都有f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上

是增函数。

② 当??a2?8?0,即a?22时，仅对x?此时f(x)在(0,??)上也是增函数。 ③ 当??a?8?0，即a?22时，22有f?(x)?0,对其余的x?0都有f?(x)?0,

wwwk5uom

a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2.

22x f?(x) f(x) (0,x1) + 单调递增 x1 0 极大 (x1,x2) _ 单调递减 x2 0 极小 (x2,??) + 单调递增 a?a2?8a?a2?8a?a2?8)上单调递增, 在(,)是上单调递减, 在此时f(x)在(0,222a?a2?8(,??)上单调递增.

220、解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

x0y0x2y2b22解：（I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,

ababay01b2x0222b2x0b2x?(2?1)?0. 得(2?42)x?2aay0ay0y0第 9 页 共 69 页

?x0?acos?将?代入上式,得x2?2acos??x?a2cos2??0,从而x?acos?. ?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.

y?yxy0??0x?0y?122?b?awwwk5uom

(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程

cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。

x2y2b2ba?x2,y0?a2?x02, （方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?aaab椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??bx0aa2?x02b2x0??2,

ay0xxyyb2x0切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。

abay0因此，l1就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。

x0b2y0a2ay0b（II）tan???tan?,l1的斜率为?,l2的斜率为tan???tan?,

x0ay0a2x0b2b由此得tan?tan??tan2??0,tan?,tan?,tan?构成等比数列。 21、解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，

ak2?3?m(m?1)?1是奇数。则由递推关系得ak?1?4根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?wwwk5uom

1(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。 432?31?3?1；若ak?3，则ak?1??3. 另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1?44第 10 页 共 69 页

根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

a12?3（方法二）由a2??a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。

4an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1)an?1?an???,444

wwwk5uoman2?3因为a1?0,an?1?,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。

4根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。

因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）

源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 如果事件

A与B互斥，那么

P(A?B)?P(A)?P(B)

如果A与B是两个任意事件，P(A)≠0， 那么P(AB)如果事件

?P(A)P(BA)=P(A)P(BA)

A与B相互独立，

?P(A)P(B)

那么P(AB)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． （1）i是虚数单位，

i3?3i?

（A）

13? 412（B）

13?i 412（C）

13?i 26（D）

13?i 26第 11 页 共 69 页

（2）若集合

1A?{x|log1x?}，则CRA?

22?2?? ,???2???（B）?（A）(??,0]???2?? ,???2????2?（C）(??,0]??,???? 2??（3）设向量a?2?（D）?,???? 2??11?(1,0),b?(,)，则下列结论中正确的是

22（B）a?b

（A）|a|?|b| ?2 2（C）a?b与b垂直 （D）a//b

（4）若

f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)?1,f(2)?2,则f(3)?f(4)=

（B）1

2（A）-1 （C）-2 （D）2

（5）双曲线方程为x?2y2?1，则它的右焦点坐标为

（B）(

（A）(2,0) 25,0) 2（C）(6,0) 2（D）(3,0)

（6）设abc?0，二次函数f(x)?ax2?bx?c的图象可能是

（7）设曲线C的参数方程为??x?2?3cos??y??1?3sin?（?为参数），直线l的方程为x?3y?2?0，则曲线

C

到直线l的距离为

（A）1 （C）3 （A）280 （C）360

710的点的个数为 10（B）2 （D）4

（B）292 （D）372

（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为

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（9）动点

A(x,y)在圆x2?y2?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，

点A的坐标是(区间是

（A）[0，1]

13,)，则当0?t?12时，动点A的纵坐标y22（B）[1，7]

（C）[7，12]

关于t（单位：秒）的函数的单调递增

（D）[0，1]和[7，12]、

（10）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立

的是

（A）

X?Z?2Y

2

（B）Y(Y（D）Y(Y

?X)?Z(Z?X) ?X)?X(Z?X)

（C）Y?XZ

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． ．．．．．．．．．．．．．．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）命题“对任何x?R,|x?2|?|x?4|?3”的否定是 ．

3（12）??xy????yx???6的展开式中，x的系数等于 ．

?2x?y?2?0,?（13）设x,y满足约束条件?8x?y?4?0,若目标函数z?abx?y(a?0,b?0)的最大

?x?0,y?0,?值为8，则a

（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值

（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从

甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑

球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．

?b的最小值为 ．

x? ．

2； 55②P(B|A1)?；

11①P(B1)?第 13 页 共 69 页

③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的

指定区域内． （16）（本小题满分12分）

设

?ABC是锐角三角形，

a,b,c分别是内角A，B，C所对边长，并且

sin2A?sin(?3?B)sin(?3?B)?sin2B.

（Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若

（17）（本小题满分12分）

设a为实数，函数 （I）求

． AB?AC?12,a?27，求b,c（其中b?c）

f(x)?ex?2x?2a,x?R.

f(x)的单调区间与极值；

（II）求证：当a

?ln2?1且x?0时，ex?x2?2ax?1.

（18）（本小题满分13分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，

?BFC?90?,BF=FC，H为BC的中点.

EF （I）求证：FH//平面EDB； （II）求证：AC⊥平面EDB； （III）求二面角B—DE—C的大小.

ABHDC第 14 页 共 69 页

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e?1. 2 （I）求椭圆E的方程；

（II）求?F1AF2的角平分线所在直线l的方程；

（III）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不

存在，说明理由.

（20）（本小题满分12分）

设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0.

证明，{an}为等差数列的充分必要条件是：

对任何n?N，都有

111n?????. a1a2a2a3anan?1a1an?1

（21）（本小题满分13分）

品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设n=4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序

第 15 页 共 69 页

号，并令

X?|1?a1|?|2?a2|?|3?a3|?|4?a4|.则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

（I）写出X的可能值集合；

（II）假设a1,a2,a3,a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列； （III）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有

X?2，

（i）试按（II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

2010年高考安徽卷理科数学参考答案

1. B 解析：本题考查了复数的四则运算问题。

由于

3i?31ii(3?3i)===

4123?3i(3?3i)(3?3i)+

3i； 122. A 解析：本题考查了对数不等式的求解及集合的运算。

由于A={x|

log1x≥

212112}={x|log1x≥log1()2}={x|0

2222211}，那么CRA={x|x≤0或

x>

22}；

3. C 解析：本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的位置关系等。

由于a=（1，0），b=（

12，

，

12），那么|a|=1，|b|=

22，选项A错；a?b=1×12+0×

11=22，选项B错；（a

－b）?b=（

12，－

12）（?

1212）=

11×22－

11×22=0，即a－b与b垂直，选项C正确；

112≠

012，选项D

错.

4. A 解析：本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数值与运算问题。

由于f（x）是R上周期为5的奇函数，那么f（3）=f（3－5）=f（－2）=－f（2）=－2，f（4）=f（4－5）=f（－1）=－f（1）=－1，则f（3）－f（4）=－2－（－1）=－1； 5. C 解析：本题考查了双曲线的几何性质。

由于双曲线方程为x2－2y2=1，即x2－

y212=1，那么a2=1，b2=

12，则有c2=a2+b2=

32，即c=

62，那么对

第 16 页 共 69 页

应的右焦点坐标为（

62，0）；

6. D 解析：本题考查了二次函数的图象与参数的关系。

由于abc>0，那么当a>0时，对应的图象开口朝上，有bc>0，对称轴x=－

b<0时，有b>0，此时c>0，2a选项C错误；对称轴x=－

b>0时，有b>0，此时c>0，选项D正确； 2a7. B 解析：本题考查了圆的参数方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等。

由曲线C的参数方程得对应的圆的圆心坐标为C（2，－1），半径r=3，那么C（2，－1）到直线x－3y+2=0的距离d=

710|2?3?(?1)?2|710=，那么曲线C与直线l相切，则C上到直线l距离为

101012?(?3)2的点有2

个；

8. C 解析：本题考查了简单几何体的三视图与直观图的转化，以及简单几何体的表面积计算问题。

由图中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分别为8、10、2的长方体，上面竖着是一个长、宽、高分别为6、2、8的长方体，那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S=2（8×10+8×2+10×2）+2（6×8+2×8）=360；

9. D 解析：本题考查了平面解析几何的创新应用，三角函数概念及其三角函数的图象与性质等。

由于12秒旋转一周，则每秒转过

2?12=

??3，而t=0时，y==sin632t+

，那么动点A的纵坐标关于t的函

数关系式为y=sin（

???t+）（t∈[0，12]），则对应的单调递增区间为636?3∈[2kπ－

?2，2kπ+

?2]，k∈Z，

则有t∈[12k－5，12k+1]，k∈Z，由于t∈[0，12]，则当k=0时，t∈[0，1]，当k=1时，t∈[7，12]； 10. D 解析：本题考查了等比数列前n项的相关性质及其应用。

由于等比数列{an}中Sn=X，S2n=Y，S3n=Z，根据等比数列的相关性质，对应的Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列，则有（Y－X）2=X（Z－Y），即Y（Y－X）=X（Z－X）； 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）存在x?R,使得|x-2|+|x-4|?3 （12）15（若只写C6或C6，也可） （13）4 （14）12 （15）②④

11. “存在x∈R，有|x－2|+|x－4|≤3” 解析：本题考查了存在命题的否定。

由于存在命题的否定是全称命题，对应“对任何x∈R，|x－2|+|x－4|>3”的否定就是“存在x∈R，有|x－2|+|x－4|≤3”；

12. 15 解析：本题考查了二项展开式的性质与通项公式等。

由于二项展开式的通项为Tr+1=Cr6（

24xy2）（－

6－r

yx）=（－1）?C?xr

r

r636?r2?

y3r?32，令6－

32r=3，

解得r=2，那其对应的系数为（－1）2?C6=15；

第 17 页 共 69 页

13. 4 解析：本题考查了线性规划中的平面区域与函数值最值问题，以及利用基本不等式来求解最值问题。

?2x?y?2?0?作出平面区域?8x?y?4?0，如图中的阴影部分，由图知，当过点A（1，4）时，z=abx+y

?x?0,y?0?取得最大值8，此－ab=时等号成立；

14. 12 解析：本题考查了算法中的程序框图的识别与应用。

当x=1时，经过判断其是奇数，则有x=1+1=2；经过判断其是偶数，则有x=2+2=4，经过判断x<8，则有x=4+1=5，经过判断其是奇数，则有x=5+1=6；经过判断其是偶数，则有x=6+2=8，经过判断x=8，则有x=8+1=9，经过判断其是奇数，则有x=9+1=10；经过判断其是偶数，则有x=10+2=12，经过判断x>8，输出x=12； 15. ②④ 解析：本题考查了随机事件的概率，条件概率和互斥事件等问题。

根据题意可得P（A1）=

4?8=－4，即ab=4，而a>0，b>0，那么a+b≥2ab=4，当且仅当a=b=21?0510，P（A2）=

210，P（A3）=

310，可以判断④是正确的；而P（B）

=

5524349×+×+×=10111011101122，则①是错误的；由于

55?P(A1B)10115P（B|A1）===，则②是正

511P(A1)10确的；同时可以判断出③和⑤是错误的；

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答

写在答题卡上的指定区域内．

（16）（本小题满分12分）

本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定

理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 解：（I）因为sin2A?(?3131cosB?sinB)(cosB?sinB)?sin2B 2222,

3132cosB?si2nB?s2inB? 444所以sinA?? （II）由

3?,又A为锐角,所以A?. 23AB?AC?12可得

①

cbcosA?12. ?,所以 由（I）知A?3 cb?24

②

第 18 页 共 69 页

由余弦定理知a2?c2?b2?2cbcosA,

将a?27及①代入，得 c2?b2?52 ③

③+②×2，得(c?b)所以

??100，

c?b?10.

2因此，c，b是一元二次方程t解此方程并由c?10t?24?0的两个根.

?b知c?6,b?4.

（17）（本小题满分12分）

本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I）解：由

令

f(x)?ex?2x?2a,x?R知f?(x)?ex?2,x?R.

f?(x)?0,得x?ln2.于是当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) 故

(??,ln2) — 单调递减 ↘ ln2 0 (ln2,??) + 单调递增 ↗ 2(1?ln2?a) f(x)的单调递减区间是(??,ln2)，单调递增区间是(ln2,??)，

f(x)在x?ln2处取得极小值，

极小值为

f(ln2)?eln2?2ln2?2a?2(1?ln2?a).

?ex?x2?2ax?1,x?R,

（II）证：设g(x)于是g?(x)?ex?2x?2a,x?R.

由（I）知当a?ln2?1时,g?(x)最小值为g?(ln2)?2(1?ln2?a)?0.

于是对任意x?R,都有g?(x)?0,所以g(x)在R内单调递增,

于是当a而g(0)即ex?ln2?1时,对任意x?(0,??),都有g(x)?g(0), ?0,从而对任意x?(0,??),g(x)?0.

?x2?2ax?1?0,故ex?x2?2ax?1.

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（18）（本小题满分13分）

本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何

问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

[综合法]（1）证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH， 又H为BC的中点，?GH//12AB,又EF//12AB,?EF//GH. ∴四边形EFHG为平行四边形，

∴EG//FH，而EG?平面EDB，∴FH//平面EDB.

（II）证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF//AB，

∴EF⊥BC.

而EF⊥FB，∵EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC， 又FH//BC，∴AC=EG.

又AC⊥BD，EG?BD=G，∴AG⊥平面EDB.

（III）解：EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，

在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K， 则∠FKB为二面角B—DE—C的一个平面角. 设EF=1，则AB=2，FC=2，DE=3 又EF//DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=23.

∴FK=EFsin∠KEF=2BF3，tan∠FKB=

FK?3,∴∠FKB=60° ∴二面角B—DE—C为60°. [向量法]

∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又EF//AB，∴EF⊥BC. 又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.

又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABC. 以H为坐标原点，HB为x轴正向，HF为z轴正向， 建立如图所示坐标系.

设BH=1，则A（1，—2，0），B（1，0，0）， C（—1，0，0），D（—1，—2，0），E（0，—1，1）， F（0，0，1）.

（I）证：设AC与BD的交点为G，连GE，GH，

则G(0,?1,0),?CE?(0,0,1),又HF?(0,0,1)?HF//GE.

GE?平面EDB，HF不在平面EDB内，∴FH∥平面EBD，

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nnb???x?y??y?y??xy?nxyiiiii?1??x?x?ii?1n?2i?1n，a?y?bx

?xi?12i?nx2说明：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，复数A．2

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

1+ai

为纯虚数，则实数a为( ) 2?i

??B．－2 C．? D．

??A．2 B．22 C．4 D．42 2

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3

4．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 5．在极坐标系中，点(2,A．2

?3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )

B．

4??29

C． 1??29 D． 3

6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48

B．32?817

C．48?817 D．80

7．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) ．．

A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

8．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( )

A．57 B．56 C．49 D．8

9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)?|f()|对x∈R恒成立，且

?6f()?f(?)，则f(x)的单调递增区间是( ) 2????A．?k??,k???(k?Z)

36?????B．?k?,k???(k?Z)

2???2???C．?k??,k??(k?Z) ?63???第 26 页 共 69 页

D．k???10．函数f(x)＝axm·(1－x)n在区间[0，1]上的图像如图所示，则m，n的值可能是( )

A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．

212

12．设(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a21x21，则a10＋a11＝__________. 13．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．

14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．

15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

????,k??(k?Z) 2?ex16．设f(x)?，其中a为正实数．

1?ax24(1)当a?时，求f(x)的极值点；

3(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

17．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．

(1)证明直线BC∥EF； (2)求棱锥F-OBED的体积．

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18．在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tan an·tan an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.

111???xy； xyxy(2)设1＜a≤b≤c，证明logab?logbc?logca?logba?logcb?logac .

19．(1)设x≥1，y≥1，证明x?y?

20．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟．如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3.假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX；

(3)假定1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均

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值(数学期望)达到最小．

21．设λ＞0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x上运动，点Q满足BQ??QA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP，求点P的轨迹方程．

2

答案：一．选择题：

1、1、A【命题意图】本题主要考查复数的运算和纯虚数的定义。 【解析】

1?ai(1?ai)(2?i)2?a1?2a为纯虚数，所以2???2?i(2?i)(2?i)55-a=0,所以a=2.

故选A

2、C【命题意图】本题主要考查双曲线的方程和性质。

x2y2??1?a2?4?a?2?2a?4 【解析】双曲线的方程为84 故选C.

3、A 【命题意图】本题主要考查函数 的奇偶性和函数的解析式。 【解析】故选A.

4、B【命题意图】本题主要考查本题主要考查线性规划的应用。

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【解析】画出可行域，求出交点为（1，0）,（-1,0），（0，1）、（0，-1），代入比较可得目标函数

z?x?2y得最大值是2

,最小值是2.故选B

5、D【命题意图】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的互化公式。 【解析】由互化公式得点(2,?3)化为(1,3)，圆??2cos?化为，(x?1)2?y2?1所以圆心坐标为

(1,0)，由两点间距离公式得点 (?,) 到圆??2cos? 的圆心的距离为3。

? 故选D

6、C【命题意图】本题主要考查三视图及组合体的表面积计算的基础知识，正确想象出实物图，代人矩形及梯形的表面积公式即可。

【解析】由三视图知该几何体是棱锥。该几何体的表面积为

?2?4?17?4?4?4?2?2? 故选C

2?4?4?48?817 27、D【命题意图】本题主要考查命题的否定。 【解析】由命题的否定定义知选D

8、B【命题意图】本题主要考查集合的子集和交集的运算。 【解析】A的子集共有264-8=56. 故选B

9、C【命题意图】【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质。 【解析】

6?64个，满足SB??有23?8个，则满足S?A且SB??的集合S为

f(x)?f()?sin(2???)?1????k??,???k??66326?????

又

?5?f()?f(?)?sin??0?取???265??f(x)?sin(2x?)

6令2k?

??2?2x??6?2k???2?k???6?x?k??2?3，故选C.

10、B【命题意图】本题主要考查导数的应用和函数的单调性。把每个选项逐一代入即可。 【解析】由对于A选项，在

f(x)?ax(1?x)?f'(x)?a(1?2x)，当0?x?0.5时f'(x)?0，函数

f'(x)?0，函数在?0,1?上是减函数;

对于B

选项，，

?0,1?上是增函数，当0.5?x?1时

11?1?f(x)?ax(1?x)2?f'(x)?3a(x?1)(x?)，当0?x?时f'(x)?0，函数在?0,?上是增函数

33?3?当

1?1??x?1时f'(x)?0，函数在?,1?上是减函数。故选B3?3?第 30 页 共 69 页

.

二．填空题：

11、15【命题意图】本题主要考查本题主要考查算法流程图，关键是循环终止条件的判断。 【解析】通过对流程图分析可知T

12、0【命题意图】本题主要考查二项式定理的应用和性质。 【解析】13、【

202102102120211011(x?1)21?C21x?C21x?C21x????C21x?C21?a10?a11??C21?C21?0

?1?2?3?????k?k(k?1)k(k?1)，令?105,16?22?k?15k?

?【命题意图】本题主要考查向量的数量积公式的应用和向量的夹角。 3析

2解】

2由（a+2b）

2·（a-b）=-6得

a?a?b?2b?a?a?bcos?a,b??2b?1?2cos?a,b??8??61??cos?a,b????a,b??2314、15

3【命题意图】本题主要考查等差中项、余弦定理以及三角形面积公式的应用。

a-4,a,a+4,

由余弦定理知

15

【解析】设三角形的边长分别为

(a?4)2?(a?4)2?a2?2(a?4)a?cos120??a?10?S?、①③⑤【命题意图】本题主要考查反证法和充分必要条件的应用。。 【解析】

对于①，构造直线

与b都是无理数，取直线

1(a?4)a?sin120??1532y?2x，它既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，假设如果ky?2x?2经过整点（1

,0），故②不正确；对于③，易知③正确；对于④，

当k与b都是有理数时，直线由②可知当k与b都是无理数，直线y?kx?by?kx?b经过无穷多个整点，

经过整点，故④不正确；对于⑤，构造直线

y?2x，它是仅经过一个整点（0

x,0）的直线，故⑤正确.

16．解：对f(x)求导得

1?ax2?2ax.f?(x)?e22(1?ax)2

①

4时，若f331解得x1?,x2?.

22(1)当a?′(x)＝0，则4x－8x＋3＝0，

结合①，可知 x f′(x) f(x) 所以，x11(??,) 2＋ ↗ 1 20 极大值 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3(,??) 2＋ ↗ ?31是极小值点，x2?是极大值点． 222

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．

结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a－4a＝4a(a－1)

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≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.

17． (1)(综合法)证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点．

由于△OAB与△ODE都是正三角形， 所以OB

1DE， OG2＝OD＝2.

同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2. 又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合． 在△GED和△GFD中，由OB

1DE2和OC

1DF2

，可知B，C分别是GE和GF的中点，

所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. (向量法)

过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连QE. 由平面ABED⊥平面ADFC，

知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，QE为x轴正向，QD为y轴正向，QF为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．

由条件知E(

3，0

，0)，F(0，0，

3)

，B(

32，?3，02)，C(0，?33，22)．

33,0,)，EF?(?3,0,3)． 22所以EF?2BC，即得BC∥EF.

则有BC?(?(2)解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S而△OED是边长为2的正三角形，故S所以S四边形OBED△OED△EOB＝

32.

＝

3.

＝S△EOB＋S△OED＝

332.

由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ＝所以VF-OBED3，

＝

18．解：(1

13FQ·S. OBED＝32)设t1,t2,?,tn?2构成等比数列，其中t1?1,tn?2?100，

四边形

Tn?t1?t?2??tn?1?tn?2，① Tn?tn?2?t?n?1??t2?t1，②

①×②并利用ti?tn?3?i?t1?tn?2?102,(1?i?n?2)，

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得Tn?(t1tn＋2)?(t2tn＋1)???(tn＋1t2)?(tn＋2t1)＝102(n?2)?an?lgTn?n?2,n?1.

2．

(2)由题意和(1)中计算结果，

知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1. 另一方面，利用tan1?得tan(ktan[(k?1)?k]?tan(k?1)?tank，

1?tan(k?1)?tank

?1)?tank?nn?2i?3tan(k?1)?tank?1.

tan1Sn??bi??[tan(k?1)?tank]i?1所以?19．证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以

tan(k?1)?tank?1]tan1i?3tan(n?3)?tan3??n.tan1?[n?2

x?y?111???xy?xy(x?y)?1?y?x?(xy)2.xyxy

将上式中的右式减左式，得

[y?x?(xy)2]?[xy(x?y)?1]?[(xy)2?1]?[xy(x?y)?(x?y)]?(xy?1)(xy?1)?(x?y)(xy?1)?(xy?1)(xy?x?y?1)?(xy?1)(x?1)(y?1)既然x≥1，y≥1，所以(xy?1)(x?1)(y?1)?0. 从而所要证明的不等式成立．

x,logbc?y，由对数的换底公式得

111logca?,logba?,logcb?,logac?xy.

xyxy111于是，所要证明的不等式即为x?y????xy，

xyxy其中x?logab?1,y?logbc?1.

故由(1)成立知所要证明的不等式成立．

20．解：(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1?(2)设logab?p1)(1?p2)(1?p3)，所

以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于

1?(1?p1)(1?p2)?(1?p3)?p1?p2?p3?p1p2?p1p3?p2p3?p1p2p3

(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布列为

X P 1 2 3 q1 (1?q1)q2 (1?q1)(1?q2) 所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是 EX＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2)＝3－2q1－q2＋q1q2.

(3)方法一：由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX＝3－2p1－p2

＋p1p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值．

下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3，都有3－2q1－q2＋q1q2≥3－2p1－

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p2＋p1p2.(*)

事实上，

??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2)?2(p1?q1)?(p2?q2)?p1p2?q1q2?2(p1?q1)?(p2?q2)?(p1?q1)p2?q1(p2?q2)?(2?p2)(p1?q1)?(1?q1)(p2?q2)?(1?q1)[(p1?p2)?(q1?q2)]?0.即(*)成立．

方法二：①可将(2)中所求的EX改写为3?(q1为3?(q1

?q2)?q1q2?q1，若交换前两人的派出顺序，则变

?q2)?q1q2?q2.

由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值．

②也可将(2)中所求的EX改写为3?2q1?(1?q1)q2，若交换后两人的派出顺序，则变为3?2q1?(1?q1)q3.

由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3＞q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值．

综合①②可知，当(q1，q2，q3)＝(p1，p2，p3)时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的．

21．解：由QM则x即

2??MP知Q2

、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，

Q(x，y0)，M(x，x)，

?y0??(y?x2)，

1

y0?(1??)x2??y，①

，y1

再设B(x)，

1

由BQ??QA，即(x－x，y0

－y1

)＝λ(1－x，1－y0

)，

?x1?(1??)x??,解得?②

y?(1??)y??.0?1?x1?(1??)x??,将①式代入②式，消去y，得?③

22?y1?(1??)x??(1??)y??.2又点B在抛物线y＝x上，所以y1?x1.

02

y1?x1， 222得(1??)x??(1??)y???[(1??)x??],

再将③式代入

(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2， 2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0. 因λ＞0，两边同除以?(1??)，得2x?故所求点P的轨迹方程为

2y?1?0.

y?2x?1.

2011安徽高考理科数学

参考公式： 如果事件

A与B互斥；则P(A?B)?P(A)?P(B)

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如果事件

A与B相互独立；则P(AB)?P(A)P(B)

如果

A与B是事件，且P(B)?0；则P(AB)?P(AB)

P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数z满足：(z?i)(2?i)?5；则z

?（ ）

(C)(A)?2?2i (B)?2?2i ???i (D)???i

（2）下列函数中，不满足：

f(2x)?2f(x)的是（ ）

(A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x?? (D)f(x)??x

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

(A)3 (B)4 (C)? (D)?

3（4）公比为 (A)

2等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11?16，则（ ）

4 (B)5 (C)? (D)?

（5）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）

(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

（6）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b 则“??m

??”是“a?b”的（ ）

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(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 即不充分不必要条件

2（7）(x?2)(15的展开式的常数项是（ ） ?1)2x (A)?3 (B)?2 (C)? (D)?

3?4后，得向量OQ

（8）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转 则点Q的坐标是（ ） (A)(?72,?2) (B) (?72,2) (C) (?46,?2) (D)(?46,2)

（9）过抛物线

y2?4x的焦点F

的直线交抛物线于

A,B两点，点O是原点，若AF?3；

则?AOB的面积为（ ） (A)22 (B) 2 (C) 322 (D)22

（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）

(A)1或3 (B)1或4 (C) 2或3 (D)第II卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置。

2或4

?x?0?（11）若x,y满足约束条件：?x?2y?3；则x?y的取值范围为

?2x?y?3?_____

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____ （13）在极坐标系中，圆距离是_____

（14）若平面向量a,b满足：2a?b（15）设?ABC的内角是_____ ①若ab ③若a3??4sin?的圆心到直线???6(??R)的

?3；则ab的最小值是_____

A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的

?c2；则C??3 ②若a?b?2c；则C??3

?b3?c3；则C??2 ④若(a?b)c?2ab；则C??2

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⑤若(a2?b2)c2?2a2b2；则C??3

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域

内。

（16）(本小题满分12分) 设函数

f(x)?2?cos(2x?)?sin2x 24 （I）求函数

f(x)的最小正周期；

（II）设函数g(x)对任意x?R，有g(x? 求函数g(x)在[??,0]上的解析式。

（17）（本小题满分12分）

??1)?g(x)，且当x?[0,]时， g(x)??f(x)； 222某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道

A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调

题工作结束。试题库中现共有工作完成后，试题库中（Ⅰ）求

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n?m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题

A类试题的数量。

的分布列和均值（数学期望）。

X?n?2的概率； （Ⅱ）设m?n，求X

（18）（本小题满分12分）

平面图形

ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?4，AB?AC?2，

。现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使?ABC与?AA1B1?AC1B1C1所在平面都与平面11?5BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,

（Ⅰ）证明：

得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

AA1?BC；

的长；

（Ⅱ）求

AA1（Ⅲ）求二面角

A?BC?A1的余弦值。

（19）（本小题满分13分）K] 设

f(x)?aex?1?b(a?0) xae （I）求

f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线

y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?3x；求a,b的值。 2（20）（本小题满分13分）

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x2y2 如图，F1作x轴的垂线交椭1(?c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，过点Fab圆的上半部分于点

P，过点F2作直线PF2的垂线交直线

a2x?c于点Q；

（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程； （II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

数列{xn}满足：x12?0,xn?1??xn?xn?c(n?N*)

（I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。

?0

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

1. 【解析】选D

(z?i)(2?i)?5?z?i?2. 【解析】选C

55(2?i)?z?i??2?2i 2?i(2?i)(2?i)f(x)?kx与f(x)?kx3. 【解析】选B

均满足：

f(2x)?2f(x)得：A,B,D满足条件

x y 4. 【解析】选B

1 1 2 2 4 8 4 3 2a3a11?16?a7?16?a7?4?a16?a7?q9?32?log2a16?5

5. 【解析】选C x甲11?(4?5?6?7?8)?6,x乙?(5?3?6?9)?6 55甲的成绩的方差为6. 【解析】选

①?121(2?2?12?2)?2，乙的成绩的方差为(12?3?32?1)?2.4 55A

??,b?m?b???b?a ②如果a//m；则a?b与b?m条件相同

7. 【解析】选D

第一个因式取x，第二个因式取

21x2得：1?C5(?1)514?5

第一个因式取2，第二个因式取(?1)得：2?(?1)8. 【解析】选

5??2 展开式的常数项是5?(?2)?3

A

34?(10cos?,10sin?)?cos??,sin??

553?3?),10sin(??))?(?72,?2) 则OQ?(10cos(??443?【方法二】将向量OP?(6,8)按逆时针旋转后得OM?(8,?6)

2【方法一】设OP 则OQ??1(OP?OM)?(?72,?2) 2第 40 页 共 69 页

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