待定系数法求递推数列通项公式

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最全的待定系数法求递推数列通项

用待定系数法求递推数列通项公式初探

摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列

数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。

一、an??pan?q 型（p、q为常数，且pq?0,p?1） 例题1.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an?1,试求其通项公式。

分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在an?1?2an?1的两边同时加上1，整理为an?1?1?2(an?1)，此时，把an?1?1和an?1看作一个整体，或者换元，令bn?1?an?1?1，那么bn?an?1，即bn?1?2bn，b1?a1?1?2，因此，数列?an?1?或?bn?就是以2为首项，以2为公比的等比数列

an?1?2n，或者b?2n，进一步求出a?2n?1。

nn启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列?an?1?，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？

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其实，已知an?1?2an?1，可变形为an?1???2(an??)的形式，然后展开括号、移项后再与an?1?2an?1相比较，利用待定系数法可得2????1,??1。

这样，对于形如an?1?pan?q（其中p、q为常数，且pq?0,p?1）的递推数列，先变为an?1???p(an??)的形式，展开、移项，利用待定系数法有 (p?1)??q，??q p?1即 an?1?qq?p(an?) p?1p?1?qq?a?,公比为p的等比数列 则数列?an?首项为?1p?1p?1?? an?qqqq ?(a1?)pn?1即an?(a1?)pn?1?p?1p?1p?1p?1 因此，形如an?1?pan?q这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。 那么，若q变为f(n),f(n)是关于n非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？ 二 an?1?pa?qn?r(pq?0,且p?1)型 n例题2.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3n?1,试求其通项公式。

分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为an?1??(n?1)???2(an??n)?1，展开比较得??3,即 an?1?3(n?1)?2(an?3n)?4 进一步

an?1?3(n?1)?4?2(an?3n?4)

则数列?an?3n?4?是a1?3?1?4?8首项为a1?3?1?4?8公比为2的等比数列，所以

an?3n?4?8?2n?1?2n?2，an?2n?2?3n?4

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同样，形如an?1?pa?qn?r的递推数列，设an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)展开、

n?(p?1)x?q移项、整理，比较对应系数相等，列出方程?

(p?1)y?x?r?q?x??p?1?解得 ?

x?rqr?y???2?p?1(p?1)p?1?即an?1??qqrqqr?(n?1)???pa?n?? n??22p?1(p?1)p?1p?1(p?1)p?1???qqr?qqrn??则数列?an?是以为首项，以p为公比a????122p?1(p?1)p?1p?1(p?1)p?1??的等比数列。于是就可以进一步求出?an?的通项。

同理，若a也可以构造新的等比数列，?pa?f(n)其中f(n)是关于n的多项式时，n?1n利用待定系数法求出其通项。比如当f(n)?qn2?rn?s=时，可设 an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?p(an?xn2?yn?z) 展开根据对应系数分别相等求解方程即可。

f(n)为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。

而如果当f(n)是n的指数式，即f(n)?qn?r时，递推公式又将如何变形呢？ 三 a?pa?rqn?s型(pqr?0,且p?1,q?1,p?q)

n?1n例题3.在数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n,试求其通项an。

分析1：由于an?1?3an?2n与例题1的区别在于2n是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上2?2n变为an?1?2n?1?3an?3?2n即 an?1?2n?1?3(an?2n)

则数列?an?2n?是首项为3，公比为3的等比数列an?2n?3n，则

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an?3n?2n

分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除2n?1

an?13an13an1 n?1?n?1????

22222n2就回到了我们的类型一。进一步也可求出an?3n?2n。

例题4.在数列?an?中，a1?3,an?1?3an?5?2n?4,试求?an?的通项an。 分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以2n?1，虽然产生了了

an?1an、，但是又增加nn?1224n?2，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上10整理 n?12 an?1?5?2n?1?3(an?5?2n)?4 进一步

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2) 则数列?an?5?2n?2?是首项为15，公比为3的等比数列 an?5?2n?2?15?3n?1?5?3n 即 an?5(3n?2n)?2

启示：已知数列?an?的首项，an?1?pan?rqn?s(pqr?0且p?1,q?1,q?p)

1）当s?0,即an?1?pan?rqn由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。

思路一：在两边同时除以qn?1，将不含an?1和an的项变为常数，即

an?1panr??n? n?1qqqqr???q??an?为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列?n??最终求解出?an?p?q?1?q????的通项。

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思路二：在两边同时加上qn的倍数，最终能变形为an?1?xqn?1?p(an?xqn) 对应系数相等得 (p?q)x?r，即x?r p?q即 an?1?rr?qn?1?p(an??qn) p?qp?q??r求出数列?an??qn?的通项，进一步求出?an?的通项。

p?q??

2）当s?0时，即an?1?pan?rqn?s

由例4可知只能在选择思路二，两边既要加qn的倍数，也要加常数，最终能变形为

an?1?xqn?1?y?p(an?xqn?y)

比较得x，y的方程组

?(p?q)x?r ??(p?1)y?sr?x??p?q?即?

s?y??p?1?于是 an?1?rsrs?qn?1??p(an??qn?) p?qp?1p?qp?1?rs?求出数列?an??qn??的通项，进一步求出?an?的通项。

p?qp?1??

四：an?2?pan?1?qan?f(n)型(已知a1,a2其中f(n)可以为常数、n的多项式或指数式）以f(n)=0为例。

21例题5.在数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?an?1?an,试求?an?的通项。

33分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把an?1看做常数进行处理，可变

1为an?2?an?1??(an?1?an)，先求出数列?an?1?an?的通项

31 an?1?an?(?)n?1

3

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然后利用累加法即可进一步求出?an?的通项an。

对于形如an?2?pan?1?qan的递推数列，可以设an?2?xan?1?y(an?1?xan)展开，利用

?x?y?p对应系数相等，列方程??xy?q

于是数列?an?1?xan?就是以a2?xa1为首项，y为公比的等比数列，不难求出

?an?1?xan?的通项进一步利用相关即可求出an。

同理，an?2?pan?1?qan?f(n)当f(n)为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形 an?2?xan?1?y(an?1?xan)?f(n) 然后把an?1?xan看做一个整体就变为了前面的类型。

五：an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)型，?an?为正项数列 例题6.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an2，试求其通项an。

分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于an?0，所以可联想到对数的相关性质，对an?1?2an2两边取对数，即

lgan?1?lg(2an2)?lg2?lgan2?2lgan?lg2 就是前面的类型一了，即

lgan?1?lg2?2(lgan?lg2) lgan?lg2?(lg2)?2n?1?lg22

2变形得 an?2n?1n?1?1

对于类似an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得 lgan?1?lgp?anr?rlgan?lgp

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lgp??然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列?lgan?1??为已

r?1??lgp??知首项和公比的等比数列了。求出?lgan?1??最终就可以得出?an?的通项。

r?1?? 同样，如果将an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)中的p换为指数式qn时，同样可以利用相同的方法。即：an?1?qn?anr(q?1且q?R?，r?0,r?1) 两边取对数 lgan?1?lg(qn?anr)?rlgan?nlgq 变为类型二 lgan?1?x(n?1)?y?r(lgan?xn?y) 即可进一步得出?an?的通项。

以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比较复杂的分式型递推数列。 六：an?1?ran?s(pr?0)型

pan?qan，试求其通项an。

3an?2例题7.在数列?an?中，a1?1,an?1?分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为3an?1an?2an?1?an?0后就无法进行处理了。两边同时取倒数

3a?211?n?2??3 an?1anan就是前面的类型一了。

?1?1?3?2??3? an?1?an??1?1所以数列??3?是首项为?3?4，公比为2的等比数列，不难求出

a1?an? an?

12n?1?3

例题8.在数列?an?中，a1?1,an?1?

an?2，试求其通项an。

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分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒

11??4??3 an?1an?2左右两边

11与并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一an?1an?2致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：

2?2x??(3x?1)?an??an?23x?1??an?1?x??x?

3an?23an?2此时如果

2x?22?x，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得x1??,x2?1 3x?132???1?an??23?因此 an?1???

33an?2 an?1?1?（4an?1?1）

3an?2（4an?1?1），

3an?2此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择an?1?1?两边取倒

1an?1?11?3an?2113???

（4an?1?1）4an?14回到了类型一

3113???(?) an?1?154an?15根据类型一的方法易求出：

4?(?4)n?1?1 an?

6?(?4)n?1?1现在我们将两式相比：

22an?3??1?3

an?1?14an?1an?1?

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2??a??n3?则数列??是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出an。

a?1?n??? 通过以上两个例题可知，形如an?1?的综合能力要求较高。

ran?s(pr?0)这一类型的递推数列，对学生

pan?q1、如果右边分子缺常数项，即s?0，那么直接对两边取倒数即可得： 此时，若

1q1p??? an?1ranrqq?1，那就是我们熟悉的等差数列，若?1，那就是前面的类型一——用待rr定系数法求解。

2、若s?0，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数(x)

(r?xp)(an?s?xq)r?px

pan?q an?1?x?然后令

s?qx?x，解出x的值。 r?px而另一种思路是直接设an?1?ran?s变形之后为

pan?qy(an?x)

pan?q an?1?x?然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组

?y?xp?r ?

?x(y?q)?s求出x,y。

两种思路都是解x的一元二次方程，设其解为x1,x2。 an?1?x1?y1(an?x1)y(a?x2)和an?1?x2?2n

p(an?q)p(an?q) 若x1?x2时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为

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类型一。

p(an?q)p(an?x1)?p(q?x1)p(q?x1)11p?????

an?1?x1y1(an?x1)y1(an?x1)y1an?x1y1最终求出an。

当x1?x2时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：

an?1?x1y1an?x1??

an?1?x2y2an?x2?a?x?a?xy所以数列?n1?是首项为11，公比为1的等比数列。进一步求出an。

a1?x2y2?an?x2?

ran2?s(pr?0,p?2r,q2?4rs?0)型 七：an?1?pan?qan2?3例题9.在数列?an?中，a1?2,an?1?，试求其通项an。

2an?2分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：

两边同时加上某个常数，设最终变为：

(an?x)2 an?1?x?

2an?2与原式比较，对应系数相等，得 x2?2x?3 解方程得 x1??1,x2?3 即有：

(an?3)2an?1?3?2an?2

(an?1)2

an?1?1?2an?2对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得

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a?3?an?3? n?1???

an?1?1?an?1?2然后，两边取对数得：

?a?3?a?3an?3?lg?n?2lg lgn?1 ?an?1?1an?1?an?1?2?an?3?a?3则数列?lg?lg5，公比为2的等比数列。 ?是首项为lg1a?1a?1n??1an?32n?1?lg5 lgan?1进一步解得 an?52?352n?1n?1?1?1?452n?1?1

ran2?s 显然，按照例题9的思路，形如an?1?(pr?0)这一类型的参数p、q、r、s必

pan?q须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。 现在来探讨应该满足哪些条件？

ran2?sr(an?x)2?x?设an?1?x?，即：

pan?qpan?qran2?sr(an?x)2 ?x?pan?qpan?q所以 ran2?xpan?xq?s?ran2?2rxan?rx2 对应系数相等得 p?2r,rx2?qx?s?0 方程rx2?qx?s?0要满足??q2?4rs?0 设方程的两根为x1,x2则有

r(an?x1)2 an?1?x1?

pan?qr(an?x2)2 an?1?x2?

pan?q

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a?x?a?x?两式相比得 n?11??n1?

an?1?x2?an?x2?2两边取对数得 lgan?1?x1a?x?2lgn1

an?1?x2an?x2?a?x?a?x数列?lgn1?是首项为lg11，公比为2的等比数列。

a1?x2?an?x2??an?x1?求出?lg?的通项再整理一下就得出了?an?的通项，问题就得以解决了。

a?xn2??

本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学

习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。

参考文献

[1]李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2006.05期 [2]用待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2007.07期 [3]例析待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2009.07期

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