2010年A题《储油罐的变位识别与罐容表标定》论文

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘 要

为了解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，我们建立了积分方程模型。从计算油面高度与储油体积的函数关系出发，考虑有无变位及纵向、水平偏转对罐容表测量的影响，建立更加合理的标定罐容表模型。

问题（1），对于无变位且几何外形规则的小椭圆型储油罐，首先通过几何及积分运算，得到罐内储油量V的函数表达式，建立模型一，然后对求得的模型进行误差分析和修正。当?=4.1?时，在无变位情况下修正模型一的基础上，建立模型二，利用附件1中的实验数据，计算模型二的误差值，从而再次修正由积分得到的理论模型。然后用实际数据做出检验，得到修正后的相对误差?max?2%，说明模型的修正取得了很好的效果。利用修正后的模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（详见表1），取部分数值如下： 高度高度高度高度H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L 1 1.2 31 611.5 61 1805.2 91 3057.5 2 3.4 32 646.4 62 1847.9 92 3096.1 3 6.5 33 681.7 63 1890.7 93 3134.4 问题（2），对于两端是球冠体，中间是圆柱体的储油罐，首先考虑无变位情况下实际储油罐两端球冠中的油量体积，继而考虑纵向倾斜?角度的情况，可以通过油罐中倾斜液面的平均高度简化为水平液面的液面高度近似计算。而中间的圆柱体，在模型二的计算基础上进行了模型的改进。将三部分的油量体积值相加，可以得出储油罐内油量V关于纵向倾斜角度?和油位高度h的函数表达式。由几何关系可知储油罐内实际油位高度h与显示油位高度H和横向偏转角度?有关，通过模型六的建立，求解出实际油位高度h与显示油位高度H的转化关系式，从而对罐容表重新进行标注。

再利用附件2的数据，求得出油量相对误差的平均值，以平均相对误差最小作为目标函数，用matlab编程优化出变位参数

。最后将变位

参数代入模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。 关键词：罐容表标注 变位识别 枚举法

2 问题重述

生活中常用罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。储油罐常在使用一段时间后，发生罐体的位置发生变位，从而导致罐容表发生改变。按照规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

3 问题分析

通过建立数学模型，求得罐内油量V关于纵向倾斜角?、横向倾斜角?及油位高度h的函数关系，解决罐容表的重新标定。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据数学模型确定变位参数，解决储油罐的变位识别问题。 3.1 问题一的分析

当油罐无变位时，油的体积为油的侧面积与油罐长度之积。当油罐纵向倾斜?角时，油面相对于水平面的高度为h，油量的计算将随着h的变化而改变。当h=Lsin?和h?2bcos?将油量计算分成了三种情况。

由于探针、注油管和出油管具有一点的体积，以及随着油面的升高，油的压强的变化，会使计算量与测量量之间存在误差，综合考虑各方面的因素，可以达到误差与油面高度的关系，在可调节误差范围内，使得计算值更接近于测量值。 3.2 问题二的分析：

实际的油罐与实验用的油罐主要区别在于多出两端球冠体。将油罐的体积分为中间圆柱体和两端球冠体三个部分来计算。圆柱体的体积计算与问题一的计算方式类似。两端的球冠体将根据油面相对于水平面的高度h的不同，计算球冠中油的体积、高度h与纵向倾斜角?、横向倾斜角?的关系。将球冠体积油量与圆柱体油量相加得到总的油量与高度h，纵向倾斜角?，横向倾斜角?，根据所给的测量数据，代入不同的h，得到多个?,?的关系式，从而可以解出?,?。即可得到油量与h的关系，取不同的h值，对罐容表重新标注。

4 条件假设与符号说明

4.1问题的假设

(一) 假设问题（2）中的?，??10o；

（二）假设对球冠体积的近似计算产生的误差对结果不造成太大影响 （三）假设假设油面最高达到探针口 4.2 符号说明 符号 含义 h 油面距水平高度(m) 纵向偏移角（弧度） 横向偏移角（弧度） 椭圆或圆的弓形面积(椭圆长半轴长(m) 椭圆短半轴长(m) 储油罐的底面长度(m) 储油体积() ) ? ? s a b L V V1 V2 左球冠油量体积(m3) 右球冠油量体积(m3) 问题二圆柱半径，常量(m) i?1,2,3邻界高度 r hi h' r' 用于说明某些问题提出的高度(m) 用于说明某些问题提出的圆的半径，变量(m) 5 模型的建立与求解

5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1模型一

当油罐无变位时，油罐的侧面图如图1所示，建立如图所示坐标系。

图1 油罐侧面图

当油面高度为h时，侧面图上阴影部分面积表达式：

可求得储油体积表达式：

利用所建模型，并结合附表1中油位高度的数据，通过matlab编程，得到理论计算罐容量值。将计算得到的预测值与附表中给出的测量值，代入matlab中，比较结果如图2：

图2 无变位时预测值与测量值

预测值与测量值的差值，可得如图3：

图3 差值（进油量/L×油位高度/mm）

模型一的误差分析：

测量值与计算值之间的误差值与高度h值间的函数关系式近似为一条直线，查阅相关资料。探针、注油管和出油管具有一点的体积。探针的直接大约为80mm，而注油管与出油管一般为直接120mm，管壁厚为35mm的空心圆柱体。同时，随着油量高度的上升，油罐内部的温度、压强等因素将发生改变，油的实际体积也会受到影响。

综合考虑各因素，给出上述因素对计算值的影响关系为?y?y算?y测?60h。 模型一的改进：

根据上述误差的分析，对模型进行改进，考虑温度压强，已经管道自身的体积对油量的影响，通过计算改良后的预测值与测量值的差值，可得如图4：

图4 差值（进油量/L×油位高度/mm）

由相对误差

，可得图5：

图5 相对误差

经过改进，计算值与测量值更加接近，相对误差?max?2%。

5.1.2模型二

油罐纵向变位且变位角度为?。

探究罐体变位后对罐容表的影响，根据变位后油面可能处于不同的位置，考虑到当油面超过探针口时，随着油面的上升，探针已经失去了显示的意义，因此可确定三个端点h1=Lsin?、h2?2bcos?、h3?2bcos??0.4sin?（如图6）分三种情况进行求解。

图6 油罐拋面图

（一）当油面水平高度小于h1时：（如图7）。

图7 油罐剖面图

将图7中油量的剖面?AOB单独取出分析，建立如图8所示直角坐标系，根据几何关系，可做出图8中的边长表达式，设在0y方向上，y点处与0z方向平行高度为h’。

图8 油部结构坐标系

当Y=y时：

可求出储油体积：

表达式中h的范围为：

（二）当油面处于水平高度小于h2时：

如图9所示：

图9 油罐剖面图

与（一）同理，建立的y0z直角坐标系（如图10），根据图9的角度、长度表达式，可做出图10中的边长表达式。设在0y方向上，y点处与0z方向平行高度为h’。

图10 油部结构坐标系

当Y=y时：

V2=?L0h?Ltan?1cos?sdy??sdh' htan??cos?

表达式中h的可行范围为：

（三）当油面水平高度大于h2小于h3时：

如图11所示：

图11 油罐拋面图

取图11油罐无油的剖面?AOB，如图12建立直角坐标系，根据图11的角度、长度表达式，可做出图12中的边长表达式，设在0y方向上，y点处与0z方向平行高度为h’。

图12 油部结构坐标系

可求出高度h'表达式：

代入图1中s的表达式：

可求出油面体积：V3??abL??表达式中h的可行范围为：

模型求解：

模型中所使用的高度h为油面与水平面之间的高度，而实际标注的为探针所测得的油面高度H，事实上，h与H存在着线性关系，如图13：

bh??Ltan?sin?0sdy??abL??2hcos?hb?Ltan??cos?b?Ltan??1sdh' tan?

图13油罐剖面图

根据几何关系可以求出h?Hcos??0.4sin?。 利用所建模型，并结合附表1中油位高度的数据，考虑模型一中提出的误差，通过matlab编程，得到理论计算罐容量值。比较预测值与测量值，可得到如下折线图：

图14 有变位时预测值与测量值（进油量/L×油位高度/mm）

通过图14可以发现，利用模型求出的油高和测量值非常吻合，因此可以利用模型建立新的罐容表如表一：

表1 罐体变位后的罐容表标定值 高度高度高度高度H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L 1 1.2 31 611.5 61 1805.2 91 3057.5 2 3.4 32 646.4 62 1847.9 92 3096.1 3 6.5 33 681.7 63 1890.7 93 3134.4 4 10.6 34 717.5 64 1933.5 94 3172.3 5 16.0 35 753.8 65 1976.4 95 3209.8 6 22.5 36 790.6 66 2019.2 96 3246.9 7 30.4 37 827.7 67 2062.1 97 3283.5 8 39.6 38 865.3 68 2104.9 98 3319.8

9 50.3 39 903.3 69 2147.7 10 62.4 40 941.6 70 2190.5 11 76.1 41 980.3 71 2233.3 12 91.4 42 1019.4 72 2275.9 13 108.3 43 1058.7 73 2318.5 14 126.8 44 1098.4 74 2361.0 15 148.8 45 1138.3 75 2403.4 16 170.6 46 1178.5 76 2445.7 17 193.8 47 1219.0 77 2487.9 18 218.1 48 1259.7 78 2529.9 19 243.5 49 1300.7 79 2571.8 20 269.8 50 1341.9 80 2613.5 21 297.1 51 1383.2 81 2655.0 22 325.3 52 1424.8 82 2696.3 23 354.3 53 1466.5 83 2737.5 24 384.1 54 1508.4 84 2778.4 25 414.6 55 1550.5 85 2819.1 26 445.9 56 1592.7 86 2859.5 27 477.8 57 1635.0 87 2899.7 28 510.3 58 1677.4 88 2939.6 29 543.5 59 1719.9 89 2979.2 30 577.2 60 1762.5 90 3018.5 罐体变位后对罐容表的影响（左无变位，右有变位）：

99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 3355.5 3390.8 3425.5 3459.7 3493.4 3526.4 3558.9 3590.7 3621.8 3652.2 3681.8 3710.7 3738.7 3765.9 3792.1 3817.3 3841.4 3864.3 3885.9 3924.5 3948.6 3972.3

图2与图13预测值与测量值（进油量/L×油位高度/mm）

通过对比无变位、变位后油面水平高度与储油体积的图像走向，我们可以得知，随着油面水平高度每单位增高，变位后的储油体积增长率大于无变位的储油体积，且所测得最低容量比无变位时大。变位后，罐容表最低刻度变大，同单位刻度间隔变小。按照如图2与图13中进油量与高度的关系，将罐容表重新进行标定。

5.2 问题二的模型建立与求解 5.2.1 模型一：

求解半径为r'高度为h的弓形面积，如图15：

图15 左视抛面图

根据几何关系得到弓形面积s与圆的半径r和高度h之间关系为：

r'?h'2112r'???2?r'2??r'?h'??r'?h'?r'22（1）

r'?h'?r'arccos?r'2?(r'?h')2?r?h'?r's?2arccos5.2.2模型二 球冠油量计算

仅考虑油罐发生纵向变位，偏移的角度为?，求解两个球冠的油量。 5.2.2.1左球冠：

当h?2rcos? ，建立如图所示坐标系：

图16 左球冠剖面图

圆方程：?x?1.625???y?1.5??1.6252 （2）

22h??油面直线方程：y??tan??x?1?? （3）

sin???由方程（2）、（3）：

解出油面方程与圆方程的角度纵坐标y0

h??同时，可以列方程求出直线x?1与油面方程的交点?1,?

cos???对于特定的y，延平面Y?y截左球冠所的圆的半径

同时可以求出：

根据方程（1）s?r'arccosr'?h'?r'2?(r'?h')2?r?h'? r'y00hcos?0左球冠油量V1'?h,?,????sdy??sdy??y0hcos?sdy

当h?2rcos?，左球冠油量为一定值V?5.2.2.2 右球冠：

当h?Lsin?时，球冠中油量V2?0；

433?。 192当Lsin??h?2rcos??2sin?时，建立如图所示坐标系：

图17 右球冠剖面图

球冠剖面所在圆方程：

(4)

油面直线方程：

(5)

由方程（4）、（5）：

解出油面方程与圆方程的角度纵坐标y1

同时，可以列方程求出直线x??1与油面方程的交点??h???1,cos??7tan???

对于特定的y，延平面Y?y截左球冠所的圆的半径r?1.6252??y?1.5?2可得出：

根据（1）中的截面面积： s?r'arccos右球冠中油量：V2'?h,?,???r'?h'?r'2?(r'?h')2?r?h'? r'hcos??7tan??0sdy??sdy??0y1?7tan??y1hcos?sdy

5.2.3 模型三 圆柱体油量计算

圆柱体油量计算与问题一类似，模型的建立与问题相同，只是面积s的表达公式不同，在此不再赘述。仅对问题一的模型计算方法做一些改进

（一）当油面处于水平高度h1时，储油体积的计算方式与问题一相同。 （二）当油面处于水平高度h2时：

设油罐与地面的截面夹角为，油罐底边长为L（如图18）。由于O为油面中点，三角形A0B与三角形E0F全等，所以梯形ABCDE面积与矩形BCDF面积相等。储油体积可看作，求解以BC弓形面为底面，CD为高的柱体。

图18 油罐拋面图

根据油面高度求解油面中心到罐底的距离h'?h?4sin?：

cos?

代已知罐体半径：r?1.5 可求出储油体积：

（三）当油面处于水平高度h3时：

设油罐与地面的截面夹角为，油罐底边长为L（如图19）。

图19 油罐拋面图

根据勾股定理求解出油罐的总高：

既而求解出空余空间的高：

记情形一的体积公式为V1?h?，则情形三的体积公式为

5.2.4 模型四

在前三个模型的基础上考虑横向变位，偏移角度为?

由于油罐具有高度对称性，因此横向偏移并不会导致油罐内油的分布，横向偏移仅会影响油量高度的测量，如图20：

图20 横向偏转倾斜后正截面图

H为不考虑横向变位时，探针测得的油高，H'为出现横向偏移时实际测得的油高，根据H与H'的几何关系可知： H??H'?r?cos??r=?H'?1.5?cos??1.5；

在根据问题一算出的油面与水平面的高度h与H的关系

h?Hcos??2sin?，可以得到，当考虑横向和纵向偏移后h与H' 关系：

h?(H'?r)cos?cos??1.5cos??2sin?

5.3 模型求解： 5.3.1模型一的求解

考虑到积分无法准确计算，为简化计算，根据假设（一），近似认为

??tan??sin???，arccos(x)??x? 。依据辛普森公式

22bb?aa?bf(x)dx?(f(a)?f()?f(b))，近似计算出左右球冠油量?a62V1?h,?,??,V2?h,?,??

5.3.2 模型二的求解

根据模型所给出的体积公式，利用matlab编程求解三种情形对应的体积公式V(h,?,?) 5.3.3 ?,?值的确定

依据假设，所给数据处于情形二，则当油高去所给数据的值时，油量体积V?V1'?V2?V2'。参照数据可以达到油量差?V与油高差?h之间的函数对应关系，通过MATLAB，对?V和?h进行二次拟合，拟合曲线方程为?V=26.237?h?1.189。如图21

根据所给数据油高，代入体积公式，得出不同高度所对应的油量计算值，得到多组?V与?h的对应关系，分别令

??0.001i,i?1,2,L180,??0.001j,j?1,2,L180枚举，目标函数为

min?|?v?26.237|，利用matlab求解得?=2.5o,，?=4.58o。

?h5.2.4 油量的重新标注

根据求解的体积公式以及?，?取值，对油量重新标注如下表

油量（mm3）

高度H(cm)

油量（mm3）

高度H(cm)

813.53 32548.52 10 160

2382.36 34444.41 20 170 3665.14 36348.21 30 180 4973.85 38261.82 40 190 6367.9 40187.82 50 200 7876.45 42129.67 60 210 9523.25 44092.14 70 220 11335.61 46081.81 80 230 13352.75 48108.01 90 240 15641.47 50184.29 100 250 18342.41 52331.26 110 260 21916.59 54582.13 120 270 26895.01 56996.09 130 280 28774.88 59699.74 140 290 30659.06 150

由模型四，得出油面与水平面的高度h与H的关系的函数关系式：

h?(H'?r)cos?cos??1.5cos??2sin?

5.2.5模型的检验

将由模型求出的油量?V与?h的关系与测得的关系进行比较，标记结果如图22。由图可知，模型的结果与实际比较吻合。

图 22

6 模型的优缺点分析

模型优点：

1、 详细计算、分析了罐体变位后对罐容表的影响，得出了测量高度与储油体积的函数关系，使用适当的数值代替来降低积分过程中的运算量。

2、 在模型建立后，本文针对罐体变为前后理论模型进行详细的误差修正，增强了模型的实际应用性，可以增加修正后理论值的准确度。 模型缺点：

由于对较大规模的数据处理较为困难，没有充分使用实际测量数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性，在模型的结果中可能存在一定误差。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vzqw.html