张量第二章

第二章 普通张量的基本概念

§2.1 普通张量的记法

一、

上标、下标、自由指标

普通张量理论采用上标和下标。

上标称为逆变指标，下标称为协变指标。 具有上标的分量称为张量的逆变分量。 具有下标的分量称为张量的协变分量。

同时具有上标和下标的分量称为张量的混变分量。

Ti Ti Tij Tij T?ij Tj?i Tij??k

字母中的上标和下标称为自由指标。对于张量，自由指标的个数就是张量的阶数。

二、爱因斯坦求和约定、哑标 求和简记法（爱因斯坦约定）：

在一个单项式中，同一个指标出现两次，而且一次作为上标，一次作为下标，就表

示对该指标求和。

表示求和的重复指标称为哑标。

ik?i?aijxj 或是 ?i?akx

注意与笛卡儿张量求和的区别。

三、Kronecker记号?

i?j?1 ??? i?j0?ij

?ii?3 ?ki?jk??ij ?ij?ij??ii?3

?ij?kj?lk??li ?kixk?xi aik?jk?aij

四、置换符号

eijk?eijk 应用实例

1、 表示行列式

(i、j、k)循环序列?1????1 (i、j、k)逆循环序列 ?0(i、j、k)非循环序列?1a1a122a23a21a3223ka3?elmnal1aman?eijka1ia2ja3 3a3 a?a12a13 11

2、 矢量的叉积

ji设 a?aej b?bkek c?a?b?cie

e1c?a?b?a1b1e2a2b2e3a3?ciei ci?eijkajbk b3五、求普通导数的简记法

取坐标参数xj，则：

?u?ui?2ui?uii?ui,j ?u,j ?u,j ?ui,jk jjjjk?x?x?x?x?x

§2.2 基矢量、矢量的逆变分量和协变分量

客观过程的内在规律是不应该依赖所选择的坐标系的，即自然规律是协变的。因此，尽可能建立张量方程。摆脱坐标系。现在研究几种坐标系。

一、 笛卡儿直角坐标系

p3(p3)e3(e)e1(e1)p'(p)3pp2(p2)e2(e2)1 笛卡儿直角坐标系采用三个相互垂直的单位矢量作为基矢量。

P?p1e1?p2e2?p3e3?piei

ei称为协变基矢量。pi为逆变分量。

p?p1e1?p2e2?p3e3

ei称为逆变基矢量，pi为p协变分量。

笛卡儿直角坐标系中，ei和ei是重合的，无须区分。

12

二、笛卡儿斜角坐标系

设三个不共面的单位向量e1，e2，e3构成斜角坐标系的协变基矢量。

***e33e3P2e2P1COS?2e2P2e2Pe222e2P1e1e1P21sin?e11e11*2*3*eie1P1e1

p?pe1?pe2?pe3?pei

pi为矢量p的逆变分量。此时，矢量的逆变分量并不等于矢量在坐标轴上的投影。若位移为u?uej，则功：

j**W?p1u1?p2u2?p3u3

以二维为例，两轴夹角为?

**W?p?u?(p1e1*?p2e2)?(u1e1*?u2e2)?pu?pu?(pu?pu)cos?11221221

现在引入一个新的基矢量e*1，e*2,e*3 逆变矢量 e?ei??i 可知：

1、e*j*j*j?ei*(i?j)

2、逆变基矢量e*j不是单位向量。

协变基矢量线性独立，故逆变基矢量也线性独立。 p?p1e?p2e?p3e?pje*1*2*3*j

pj称为p的协变分量。

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j*再计算功： p?pie u?uej

*i W?p?u?pie?uej?piu?j?piu

*j若 p?pei u?pje

i**ij*jii w?pjuj w?piui?pjuj 一般地，设u,v为任意两矢量，则：

u?v?uivi?ujvj

三、 柱坐标

任何一个空间点上的矢量都可以在协变基矢量或逆变基矢量上进行分解。可以这样来理解。

1、空间有个固定的坐标系。基矢量固定在坐标原点。把矢量移至原点分解，然后再移回作用点。

2、 在空间每一点上都有一组基矢量，矢量在作用点分解，基矢量是一个活动框架，可随时安放在空间点上。

对直线坐标系，两者没有区别。对曲线坐标系，采用活动标架会带来极大方便。考查柱坐标，在A点安上协变基矢量构成的活动标架ei，ei是相互正交的单位矢量。

3e3?g3,g3x3d?2cdsPjPA?drrAB?rd?PC?dzABe2?g2,g2kix2e1?g1,g12x11过A点的某线元矢量ds为 ds?e1dr?e2rd??e3dz

dr，d?，dz是ds的逆变分量。若稍作变化，取坐标的微分为矢量ds的逆变分量。前边

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的系数作为协变基矢量，即：

dx?dr dx?d? dx?dz g1?e1 g2?e2?r g3?e3 则：

ds?g1dx1?g2dx2?g3dx3?gidxi

123四、 任意坐标系

对任意坐标系，可把线元矢量表示成下述形式：

ds?gidxi

dxi为坐标微分，gi为协变基矢量。

以后采用由上式所确定的在所有坐标系中都适用的协变基矢量。

现在推导基矢量的具体表达式。

设空间两邻近点A、B，它们对某固定点O的位置矢量分别为r，r'，r'?r?dr，A、B间线元矢量ds?dr

Br?odr?dsArds?dr??r1?r2?r3?ridx?2dx?3dx?idx ?x1?x?x?xgi??r?r,i i?x协变基矢量等于位置矢量对相应曲线坐标的偏导数，其方向与坐标曲线相切。

根据协变基矢量gi按下式确定逆变基矢量g gi?g??i

协变基矢量与逆变基矢量互称互逆向量。

【例】试确定平面极坐标中的协变基矢量和逆变基矢量。

jjj2g?e2gre1r?

15

1

逆变分量）

矢量为一阶张量，标量为零阶张量。

二、 二阶张量的定义

在三维空间中，组成参照标架的协变基矢量和逆变基矢量按式 gi'??ii'gi g??ig

变换，这时

1、 若在原坐标系中的九个分量Tij按式

Ti'j'??ii'?jj'Tij

变换，则这九个分量的集合定义一个二阶逆变张量。

2、

若在原坐标系中的九个分量Tij按式

iji'i'i Ti'j'??i'?j'Tij

变换，则这九个分量的集合定义一个二阶协变张量。

3、

若在原坐标系中的九个分量T?ij及Ti.j按式

i'i' T?j'??i?jj'T?ij Ti?'j'??ii'?jj'Ti?j

变换，则这九个分量T?ij或Ti.j的集合定义一个二阶混变张量。

三、 高阶张量的普遍定义

在三维空间中，构成参照标架的协变基矢量和逆变基矢量按式

gi'??ii'gi 和 g??ig

变换，这时，若在该空间有N?3个分量T??ijkl??（数字或函数系）所确定的物理量或几何量。按式

T??k'l'????ii'j'i'ri'i'i?jj'?kk'?ll'???T??ijkl??

变换，则这些物理量或几何量的集合称为r阶张量。

如全是上标，称为r阶逆变张量。 如全是下标，称为r阶协变张量。

同时具有上标和下标，则称为某阶逆变某阶协变混变张量。

张量的第二个定义

i设ai,b,……, c为r个任意矢量的分量，若N?3个分量T?k???n能将它们构成标量

knr

??T?ki???naibk???cn

i则这N个分量T?k???n的集合构成一个r阶张量。

21

张量的第三个定义

i???j如果把一个r阶张量记为T，Ti???jk???n，Ti??jk??n，T?k???n，……分别是它的逆变分量、协

变分量和各混变分量，则可记为

T?Ti???jk???ngi???gjgk???gnijkn?Tg???gg???gi???jk???n

j?T?ki??????ngi???gjgk???gn

???????这是张量的不变性记法。

四、 商法则

??ji??j如果a?ik???n与任意一个张量的乘积是一个非零张量，则a?k???n一定是一个r阶张量。

【例】已知平面直角坐标系中的应力分量?x，?y，?xy??yx试求极坐标系中应力张量的逆变、协变和混变分量。

??g21122?22?21?12??11?21?12?12??21?11?22?2?2?1?2g2g1?2?1??22?g1?1??2?1?1?1?2?1?1

变换系数为

1'?11'?cos? ?2?sin? ?12'??sin?cos?2' ?2? rr1?11'?cos? ?2? ?12'?sin? ?22'?rco?s '??rsin于是，根据张量的坐标变换求得：

逆变分量：

?rr??1'1'?cos2??x?sin2??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx

22

?????2'2'sin2?cos2?sin?cos?sin?cos?????????yx xyxy2222rrrrsin?cos?sin?cos?cos2?sin2????x??y??xy??yx

rrrr ?r???1'2' ?协变分量：

?r??2'1'sin?cos?sin?cos?sin2?cos2????x??y??xy??yx

rrrr?rr??1'1'?cos2??x?sin2??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx

?????2'2'?r2sin2??x?r2cos2??y?r2sin?cos??xy?r2sin?cos??yx

?r???1'2'??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rcos2??xy?rsin2??yx

??r??2'1'??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rsin2??xy?rcos2??yx

混变分量：

'22??rr???11'?cos??x?sin??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx 2'22??????sin???cos??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx ??2'xr??????12''??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rcos2??xy?rsin2??yx

sin?cos?sin?cos?sin2?cos2???r?????x??y??xy??yx

rrrr?2'?1''22?r?r??1?1?cos???sin??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx 'x???2'22????2'?sin??x?cos??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx ?r?1'22????2'??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rsin??xy?rcos??yx

?

??r???2'1'sin?cos?sin?cos?cos2?sin2????x??y??xy??yx

rrrr 23

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