北京市重点中学2015届高三8月开学测试数学含答案

2014—2015学年度第一学期开学检测

高 三 数 学 试 卷 （考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符

合题目要求的一项）

2（1）已知集合A?xx?2x?3?0，B?x?2?x?2，则A????B?

（A）??2,?1? （B）??1,2? （C） ??1,1? （D）?1,2? （2）设a,b?R，则“a?b”是“aa?bb”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

2??x?1???x?0?（3）已知函数f?x??? ，则下列结论正确的是 cosx???x?0????（A）f?x?是偶函数 （B）f?x?在???,???上是增函数 （C）f?x?是周期函数 （D）f?x?的值域为??1,???

（4）已知函数f?x??x?2?1，g?x??kx. 若方程f?x??g?x?有两个不相等的实根，

则实数k的取值范围是

（A）?0,? （B）?,1? （C） ?1,2? （D）?2,??? （5）已知向量a,b的夹角为45，且a?1，2a?b?10，则b?

（A）2 （B）2 （C） 22 （D）32 （6）函数f?x??2xlog1x?1的零点个数为

2???1?2??1??2?（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4

（7）若将函数f?x??sin2x?cos2x的图象向右平移?个单位，所得图象关于y轴对称，

则?的最小正值是 （A）

??3?5? （B） （C） （D）

8484（8）对于函数f?x?，若存在非零常数a，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f?x??f?2a?x?，则称f?x?为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是

（A）f?x??

x （B）f?x??x2 （C）f?x??tanx （D）f?x??cos?x?1?

第II卷 （非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9） 已知a,b?R，i是虚数单位.若a?i与2?bi互为共轭复数，则?a?bi?? .（10）设0???

2?2，a??sin2?,cos??，b??cos?,1?，若a∥b，则tan?? . ?3x?1???????x?0??（11）已知函数f?x???log1x???x?0? ，则不等式f?x??1的解集为 .

??3

（12）在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知b?c?则cosA的值为 .

（13）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD?120，点E,F分别在边BC,DC上，

?1a，2sinB?3sinC， 4BC?3BE，DC??DF. 若AE?AF?1，则?的值为 .

（14）若集合?a,b,c,d???2,0,1,5?，且下列四个关系：

① a?2； ② b?2； ③ c?0； ④ d?5.

有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组?a,b,c,d?的个数是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

已知函数f?x??cosx?sin?x?（Ⅰ）求f?x?的最小正周期； （Ⅱ）求f?x?在??????32，x?R. ?3cosx??3?4????,?上的最小值和最大值. 44??（16）（本小题14分）

在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知a?3，cosA?6，32（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求?ABC的面积.

（17）（本小题13分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n?N）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 频数 B?A??.

14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

① 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，

【文科学生继续做】 求当天的利润不少于75元的概率.

【理科学生继续做】 求当天的利润X（单位：元）的分布列与数学期望.

（18）（本小题14分）

设函数f?x??lnx?m，m?R. x（Ⅰ）当m?e（e为自然对数的底数）时，求f?x?的极小值； （Ⅱ）讨论函数g?x??f??x??

（19）（本小题13分） 设函数f?x??alnx?处的切线的斜率为0.

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若存在x??1,???，使得f?x??

（20）（本小题13分）

x零点的个数. 31?a2x?bx，a?R且a?1. 曲线y?f?x?在点?1,f?1?? 2a，求a的取值范围. a?1x2y2 已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的焦距为4，且过点Aab（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

?2,3.

?（Ⅱ）设P?x0,y0?（x0y0?0）为椭圆C上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q. 取点

B0,22，连接BQ. 过点B作BQ的垂线交x轴于点D，点E是点D关于y轴的对称点.

试判断直线PE与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.

??2014—2015学年度第一学期第一次练习

高 三 数 学 试 卷 答 案 （考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符

合题目要求的一项）

2（1）已知集合A?xx?2x?3?0，B?x?2?x?2，则A????B?

（A）??2,?1? （B）??1,2? （C） ??1,1? （D）?1,2?

2 解：A?xx?2x?3?0?xx??1或x?3，A????B??x?2?x??1?，选A.

（2）设a,b?R，则“a?b”是“aa?bb”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

解法一：按b的符号分类讨论

解法二：构造函数f?x??xx，利用f?x?在???,???上为增函数，选C.

2??x?1???x?0?（3）已知函数f?x??? ，则下列结论正确的是 ??cosx????x?0?（A）f?x?是偶函数 （B）f?x?在???,???上是增函数 （C）f?x?是周期函数 （D）f?x?的值域为??1,???

解：作出f?x?的图象，选D.

（4）已知函数f?x??x?2?1，g?x??kx. 若方程f?x??g?x?有两个不相等的实根，

则实数k的取值范围是

（A）?0,? （B）?,1? （C） ?1,2? （D）?2,???

??1?2??1??2?解：作出函数f?x??x?2?1的图象，易得k??,1?. 选B.

?1??2?

（5）已知向量a,b的夹角为45，且a?1，2a?b?10，则b?

（A）2 （B）2 （C） 22 （D）32

2?解：2a?b?10，4a?4a?b?b?10，4?1?4?1?bcos45?b?10， 2222?b?22b?6?0，b?32. 选D.

（6）函数f?x??2xlog1x?1的零点个数为

2（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4

gl解：令f?x??0，得o12?1??1?x???. 转化为g?x??log1x与h?x????的交点个数，

22????2xx画出它们的图象，知有两个交点. 选B.

（7）若将函数f?x??sin2x?cos2x的图象向右平移?个单位，所得图象关于y轴对称，

则?的最小正值是 （A）

??3?5? （B） （C） （D）

8484解：f?x??sin2x?cos2x?令2?x??????????2sin?2x??，f?x????2sin?2?x?????，

4?4???k???，k?Z. 28?4?k???2，再取x?0，得???当k??1时，得?的最小正值是

3?. 选C. 8（8）对于函数f?x?，若存在非零常数a，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f?x??f?2a?x?，则称f?x?为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是

（A）f?x??x （B）f?x??x2 （C）f?x??tanx （D）f?x??cos?x?1?

解：由题设知f?x?的图象关于直线x?a（非y轴）对称，选D.

第II卷 （非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知a,b?R，i是虚数单位.若a?i与2?bi互为共轭复数，则?a?bi?? . 解：a?2,?b?1. ?a?bi???2?i??3?4i. （10）设0???

22解：sin2??cos?，2sin?cos??cos?，由题设知cos??0，2sin??cos?，

222?2，a??sin2?,cos??，b??cos?,1?，若a∥b，则tan?? .

tan??1. 2?3x?1???????x?0??（11）已知函数f?x???log1x???x?0? ，则不等式f?x??1的解集为 . ??3解法一：代数法

解法二：图象法，解集为??1,?.

（12）在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知b?c?则cosA的值为 .

解：由2sinB?3sinC及正弦定理得2b?3c，即b?2??1?3?1a，2sinB?3sinC， 431c. 又b?c?a，故a?2c. 242?3?c??c2??2c??222b?c?a12?????. 所以cosA?32bc42?c?c2

BC?3BE，?BAD?120?，（13）已知菱形ABCD的边长为2，点E,F分别在边BC,DC上，

DC??DF. 若AE?AF?1，则?的值为 .

解法一：以AB,AD为基底.

11????AE?AF?AB?BE?AD?DF??AB?BC???AD?DC?3????????? ??AB?1AD???AD?1AB??1AB2??1?1?AB?AD?1AD2??????3?3??????3??

11?1102??22??1??22cos120??22???1 ?33?3?3??

??2.

解法二：分别以BD,AC为x,y轴，建立平面直角坐标系. 用坐标法解. （14）若集合?a,b,c,d???2,0,1,5?，且下列四个关系：

① a?2； ② b?2； ③ c?0； ④ d?5.

有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组?a,b,c,d?的个数是 .

解：分类讨论

（1）若 ① 真，则 ② ③ ④ 均假. 即a?2，b?2，c?0，d?5. 于是a?b，矛盾！ （2）若 ② 真，则 ① ③ ④ 均假. 即b?2，a?2，c?0，d?5. 此时有2个解：

?1,0,2,5?与?0,1,2,5?.

（3）若 ③ 真，则 ① ② ④ 均假. 即c?0, a?2,b?2,d?5. 此时有1个解：

?1,2,0,5?.

（4）若 ④ 真，则 ① ② ③均假. 即d?5,a?2,b?2,c?0. 此时有3个解：

?5,2,1,0?,?1,2,5,0?,?0,2,5,1?.

故符合条件的有序数组?a,b,c,d?的个数是2?1?3?6.

三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）

???3已知函数f?x??cosx?sin??x?3???3cos2x?4，x?R. （Ⅰ）求f?x?的最小正周期； （Ⅱ）求f?x?在?????4,??4??上的最小值和最大值. 解：（Ⅰ）f?x??cosx?sin??x????3???3cos2x?34 ?cosx??1?sinx?3cosx??323?22??cosx? ?4?1332sinxcosx?2cos2x?4 ?14sin2x?34?1?cos2x??34 ?14sin2x?34cos2x ?12sin???2x???3?? f?x?的最小正周期为

2?2??. （Ⅱ）???4?x?4??5?6?2x??3??6??1?sin???2x???3???12 当2x?????32，即x???12 时，f?x?取最小值?12； 当2x????36， 即x??4 时，f?x?取最大值

14.

（16）（本小题14分）

2分 4分 6分 7分 9分 分 13分 11 在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知a?3，cosA?6，B?A??2.

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求?ABC的面积.

2解：（Ⅰ）因0?A??，故sinA?1?cos2A?1???6?3??3????3. 因B?A??2，故sinB?sin??A???6?2???cosA?3. 3?6由正弦定理

abasinB3sinA?sinB，得b?sinA?3?32. 3

（Ⅱ）cosB?cos??A???3?2????sinA??3. sinC?sin?????A?B????sin?A?B? ?sinAcosB?cosAsinB ?33?????3??6?6?1. ?3???333 ?ABC的面积为111322absinC?2?3?32?3?2.

17）（本小题13分）

3 2分 4分 6分 8分 10分 11分

12分 14分

（

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n?N）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 频数

① 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，

【文科学生继续做】 求当天的利润不少于75元的概率.

【理科学生继续做】 求当天的利润X（单位：元）的分布列与数学期望.

14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 ??10n?85????n?17?解：（Ⅰ）y?? ，n?N. 5分 ??85?????????????n?17?

（Ⅱ）① 平均数为

55?10?65?20?75?16?85?54?76.4. 8分

100②【文科学生继续做】

利润不少于75元当且仅当日需求量不少于16枝，所求概率为1??0.1?0.2??0.7. 13分 ②【理科学生继续做】

X?55,65,75,85.

P?X?55??0.1，P?X?65??0.2，P?X?75??0.16，P?X?85??0.54.

X（单位：元）的分布列为 55 X 0.1 P

65 0.2 75 0.16 85 0.54 EX?55?0.1?65?0.2?75?0.16?85?0.54?76.4 13分（每个结果各1分）

（18）（本小题14分）

设函数f?x??lnx?m，m?R. x（Ⅰ）当m?e（e为自然对数的底数）时，求f?x?的极小值； （Ⅱ）讨论函数g?x??f??x??

解：（Ⅰ）当m?e时，f?x??lnx?x零点的个数. 3e，其定义域为?0,???. 1分 xf??x??1ex?e?2?2 2分 xxx令f??x??0，x?e. 3分

x f??x? f?x? ?0,e? ? e 0 极小值 ?e,??? ? 5分

故当x?e时，f?x?取得极小值f?e??lne?

e?2. 6分 ex1mx3x?3m?x3（Ⅱ）g?x??f??x????2??，其定义域为?0,???. 7分 23xx33x令g?x??0，得m??设h?x???

13x?x. 8分 313x?x，其定义域为?0,???. 则g?x?的零点为h?x?与y?m的交点. 9分 3h??x???x2?1???x?1??x?1?

x h??x? h?x?

?0,1? ? 1 ?1,??? ? 0 极大值 故当x?1时，h?x?取得最大值h?1??作出h?x?的图象，可得

2. 11分 32时，g?x?无零点； 12分 32② 当m?或m?0时，g?x?有且仅有1个零点； 13分

32③ 当0?m?时，g?x?有两个零点. 14分

3① 当m?

（19）（本小题13分） 设函数f?x??alnx?处的切线的斜率为0. （Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若存在x??1,???，使得f?x??

1?a2x?bx，a?R且a?1. 曲线y?f?x?在点?1,f?1?? 2a，求a的取值范围. a?1解：（Ⅰ）f??x??a??1?a?x?b， 2分 x由曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线的斜率为0，得f??1??0， 3分 即a??1?a??b?0，b?1. 4分 （Ⅱ）由b?1，得f?x??alnx???1?a2x?x. x??1,??? 21?a?x2?x?a?x?1???a??1?a?x?a?? 5分

f??x????1?a?x?1??xxx令f??x??0，得x1?1，x2?① 当a?aa2a?1?1?. 6分

1?a1?a1?a1a?1， 时，

21?a在?1,???上，f??x??0，f?x?为增函数，f?x?令

??min?f?1??1?a?a?1?1?， 22?a?1a2?，即a?2a?1?0，解得?2?1?a?2?1. 8分 2a?11a?1， ② 当?a?1时，

21?ax f??x? f?x? a??1,?? 1?a??1?a a0 ?a?,???? 1?a??? ? 极小值 aa2aa?a?fx?f?aln???????min 1?a2?1?a?a?1a?1?1?a?

不合题意，无解. 10分

③ 当a?1时，

??f?1???a?1a?，符合题意. 12分 2a?1综上，a的取值范围是?2?1,2?1???1,???. 13分

（20）（本小题13分）

x2y2 已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的焦距为4，且过点Aab（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

?2,3.

?（Ⅱ）设P?x0,y0?（x0y0?0）为椭圆C上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q. 取点

B0,22，连接BQ. 过点B作BQ的垂线交x轴于点D，点E是点D关于y轴的对称点.

试判断直线PE与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.

???a2?b2?4?解：（Ⅰ）由题设，得?2， 2分 3?2?2?1?ab2?x2y2?a?8??1. 4分 解得?2，故椭圆C的方程为84??b?4离心率e?

c22. 5分 ??a222（Ⅱ）由题意知点Q?x0,0?.

设点D?d,0?，则BD?d,?22，又BQ?x0,?22， 由BD?BQ，得BD?BQ?0，dx0?8?0，d??????8. 7分 x0由点E是点D关于y轴的对称点，得点E??8?,0?. 8分 ?x0?直线PE的斜率为

y0x0?8x0?x0y0 2x0?8x02y02??1，即x02?2y02?8. 因点P在椭圆C上，故84于是直线PE的斜率为?x0x?8?，其方程为y??0?x??. 10分 2y02y0?x0??x2?y2??84?1联立方程组? ， ?x?8? ?y??0?2y??x?x?00?代入消元得 ?x22220?2y0?x?16x0x?64?16y0?0，

利用x20?2y20?8，化简得x2?2x0x?x20?0. 因??0，故方程组有两组相同的实数解，所以直线PE与椭圆C相切.

11分

12分 13分

x02y02??1，即x02?2y02?8. 因点P在椭圆C上，故84于是直线PE的斜率为?x0x?8?，其方程为y??0?x??. 10分 2y02y0?x0??x2?y2??84?1联立方程组? ， ?x?8? ?y??0?2y??x?x?00?代入消元得 ?x22220?2y0?x?16x0x?64?16y0?0，

利用x20?2y20?8，化简得x2?2x0x?x20?0. 因??0，故方程组有两组相同的实数解，所以直线PE与椭圆C相切.

11分

12分 13分

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