甘肃2013届高三第二次高考诊断数学(理)试题

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甘肃省2013年第二次高考诊断试卷

数学（理）试题

注意事项： 1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要

求的． 1．已知集合A={0，1}，B={y|y2?1?x2,x?A}，则 A ? B=

A．{0，1}

B．{0，1，一1} D．{0，l，一1，一2}

C．{0，1，一1，2}

2．若复数z?1?i，则z为 1?i A．i B．一i C．2i D．1+i

3．显示屏有一排7个小孔可显示0或l，若每次显示其中3个小孔，但相邻的两孔不能同时显示，

则该显示屏能显示信号的种数共有 A．10 B．48 C．60 D．80 4．已知椭圆

x2a2?y2b2?1的左焦点F1，右顶点A，上顶点∠F1BA=90°，则椭圆的离心率是

A．

5?1 2B．

3?1 2C．

3 2D．

1 25．设变量x，y满足|x|?|y|?1，则戈．4+2y的最大值和最小值分别为 A．1，-1 B．2，一2 C．1，一2 D．2，一1 6．执行右图所示的程序，输出的结果为48，对判断框中应填人的条件为 A．i≥4? B．i>4? C．i≥6? D．i>6?

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7．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸，可

得这个几何体的体积是

1 121C．

6A．1 41D．

3B．

8．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则 这个球的表面积是 A．16? B．20? C．24? 9．已知函数y=2sin2（x?

D．32?

?4)?cos2x,则函数的最小正周期

T和它的图象的一条对称轴方程是

3? 883??C．T=?，一条对称轴方程为x? D．T=?，一条对称轴方程为x?

88A．T=2?，一条对称轴方程为x? B．T=2?，一条对称轴方程为x??10．已知点F是双曲线

x2a2?y2b2?1(a?0,b?0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直

于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值

范围是

A．（1，+∞） B．（1，2）

C．（1，1+2）

D．（2，1+2）

11．已知函数y?f(x)和y?g(x)在[一2，2]的图象如下图所示，给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]?0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]?0有且仅有3个根； ③方程f[f(x)]?0有且仅有5个根；④方程g[g(x)]?0有且仅有4个根． 其中正确的命题个数是 A．4 B．3

C．2

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D．1

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12．已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?4)，且当x>2时，f(x)单调递增，如果

（x2?2）<0，则下列说法正确的是 x1?x2?4,且（x1?2）

A．f(x1)?f(x2)的值为正数

B．f(x1)?f(x2)的值为负数

C．f(x1)?f(x2)的值正负不能确定 D．f(x1)?f(x2)的值一定为零

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题。每个试题考生都必须做答．第

22题一第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若点P是曲线y?x2?lnx任意一点，则点P到直线y=x-2的最小值为 . 14．有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概

率是 . 15．设t为实数，e1,e2是向量，若向量2te1?7e2与向量e1?te2的夹角为钝角，则实数t的取值范

围是 . 16．设函数f(x)?1?,[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)）]的值域集x21?22x合 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知数列{an}数的前n项和Sn?n(n?N*)，数列{b}为等比数列，且满足b1?a1，

22b3?b4.

（I）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和．

18．（本小题满分12分）

某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

（I）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

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（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为?，求随机变量?的变分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分） 如图，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为 13，M、N分别是以、，BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8． （I）求证：直线MN∥平面PBC； （Ⅱ）求直线MN与平面ABCD所成的角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

抛物线y2?2px的准线的方程为x=-2，该抛物线上的每个点到准线x=-2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l1:y?x和l2:y??x相切的圆，

（I）求定点N的坐标；

（Ⅱ）是否存在一条直线l同时满足下列条件：

①l分别与直线l1,l2交于A、B两点，且AB中点为E（4，1）；

②l被圆N截得的弦长为2． 21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?1?lnx. x12（I）若函数在区间(a,a?)上存在极值，求实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当x?1，不等式f(x)?k恒成立，求实数k的取值范围· x?1（Ⅲ）求证：[（n+1）!]2>（n+1）·en-2（n∈N*）． 请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 曰 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC为直 径的⊙D交AB 点D，连接DO并延长交AC的延长线于 点E，⊙D的切线DF’交AC于点F （I）求证：AF=CF；

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（Ⅱ）若ED=4，sin∠E=

3，求CE的长． 5

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

?x?t平面直角坐标系中，直线l的参数方程是?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半

?y?3t轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4?2cos2??4?sin??3?0. （I）求直线l的极坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设命题P：关于x的不等式x+|x?2a|>1的解集为R，命题Q：函数y=lg（ax2?ax?1）的定义域为R．如果P且Q为假命题，P或Q为真命题，求实数a的取值范围．

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