高等数学期中A考卷及答案 海大

高等数学试卷

大题 成绩 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1，则fx'(3,2)=（ ） (A) 59 (C) 58 2、设曲面z (B) 56 (D) 55

?xy在点(3,2,6)处的切平面为S，则点(1,?2,4)到S的距离为（ ）

（D）?14

（A）?14 （B）14 （C）14

3、设f(x,y)是连续函数，则二次积分 ( )

4、函数z?x?2y在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（ ）

(A)

5 (B) 0 (C) 3

(D) 2

25、曲线x?sin(t?1),y?lnt,z?t在对应于t?1点处的切线方程是（ ）

(A) (C)

xyz?1?? ; (B) 111xyz?1?? ; (D) 112xy?1z?1??; 112xyz??. 112 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1

y?2u1、设u?xy?，则= 。

x?x?y2、设f(x,y)有连续偏导数，u?f(ex,ey)，则du= 。 3、设L是从点A(－1，－1)沿曲线x2+xy+y2=3经点E(1，－2)到点B(1，1)曲线段，则

曲线积分

________.

4、设u?f(x,y)在极坐标：x?rcos?,y?rsin?下，不依赖于r，即u??(?)，

?2u?2u其中?(?)有二阶连续导数，则2?=________________. 2?x?y 则I=________________。 ,

5、设

三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

曲面S：x?四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

讨论函数z?3x?y?4xy?x?y的极值。 五、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

利用极坐标计算二重积分六、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

设z?z(x,y)由方程?(x?z,y?z)?0所确定，其中?具有一阶连续偏导数，

22 y?z?1，求该曲面的切平面使其在三个坐标轴上截距之积最大。

??D1?x2?y2d?,其中D：x2+y2≤x

试求：

?z?z? 。 ?x?y七、解答下列各题 ( 本 大 题10分 ) 计算

?(xC2?2y2?3x)ds，其中C是x2?y2=R2，R为正数。

八、解答下列各题 ( 本 大 题10分 ) 计算

??dydz?ydzdx?2zdxdy其中∑是圆锥面z???x2?y2被平面z=－1所截

2

下的有限部分曲面的上侧。 九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

设u=u(x,y), v=v(x,y)都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分与

都与积分路径无关。试证：对于函数 u=u(x,y), v=v(x,y). 恒有

试卷号：船(答案)

注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：

第N步实际得分=本题实际得分?解答第N步标准得分解答总标准得分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、(B) 2、B 3、 (C). 4、A 5、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、 1?4、

1xy 2、du?fedx?fedy 122x3、0

1???(?) 5、 I=24 r2

三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

F?x?y?z?1，Fx??12x，Fy??12y，Fz??12z 2分

切平面为：

111X?Y?Z?1 xyz 截距之积为

xyz，设L?xyz??(x?y?z?1) 5分 ??yz??Lx1

????????????L?2x1L??xz??y7分 2y1??xy??Lz2z?x?y?z?1解得：x=y=z=

11，平面为x?y?z??0。 10分 933

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

由??zx?6x?4y?1?0?35?，得驻点??,??

?22??zy?2y?4x?1?0D?zxxzxy?6?4??4?0

5分

8分

zyxzyy?42点???3?2,?5?2??非极值点。 故此函数无极值。

五、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

?原式=2

?20d??cos?01?r2rdr 4分

? =

?2?203(sin3??1)d? 7分 =

?3?49 10分

六、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

???z??z?z?1?1??x???1??x?2?0，?x??， 4分 1??2??z?y?1??z?y)?0，?z?21?(2??y?? 8分 1?? 2

?z?x??z?y?1 （10分） 七、解答下列各题 ( 本 大 题10分 ) C的方程为：x2?y2?1 由对称性?Cxds?0

?Cx2ds??2Cyds 5分 ?2C(x?2y2?3x)ds

4

10分

=

33222(x?y)ds?Rds?3?R3 10分 ??2C2C八、解答下列各题 ( 本 大 题10分 )

解：补一块平面∑1：z=-1,x2+y2≤1，取下侧。 2分

原式???????3???dxdydz???dxdy?????0。 10分

???1?1?D九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

解：

?u?v?2?v??u?y??x,?x2??x(?y) 3分

?v?y???u?x，??2v??u??u?2v?x2??x(?y)??y(?x)???y2 ?2v?2?v?x2??y2?0 7分 同理：??2u?2u?x2??y2?0 。 10分

5

6分

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