数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第五章

第五章 导数与微分

一、填空题

1．设f(x)?(x?a)n?(x)，其中函数?(x)在点a的某邻域内具有n?1阶导数，则

f(n)(a)?____________

n?x?lntdy2．若?，则?_________ nmdx?y?t3．若y?x?(sinx)x，则y'?___________

4．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f'(a)?2?98!，则a?_______ 5．设

2f(x)是可导函数，?x是自变量在点x2处的增量，则

lim?x?0f(x??x)?f(x)?x?__________

f(a?3t)f(a?5t)t6．已知f(x)在x?a处可导，且f'(a)?k(k?0)，则limf(x)xt?0?__________

7．设函数f(x)二阶可导，且lim?1,f??(0)?2，则limx?0f(x)?xx2x?0?______

8．设函数f(x)处处可导，且有f'(0)?1，并对任何实数x和h，恒有

f(x?h)?f(x)?f(h)?2hx，则f'(x)?__________

9．设f(x)是可导函数，且f'(x)?sin2[sin(x?1)],f(0)?4，f(x)的反函数是y??(x)，则?'(x)?__________ ?n?sin?f(x)?lim10．若

n???n?2x??，则f'(x)?__________ ??dyd(sin22n11．设y?f(x)?esin2x，则

x)?__________

12．设x?xy?y?1，则

23dydx2x?1?____________

1?g(x)sin,x?0?13．若f(x)??g(0)?g'(0)?0，则f'(0)?__________ x?0,x?0?14．若f(x)?x2cos2x，则f?ax?b,x?1?x,x?12(20)(0)?__________

15．设f(x)??，在x?1处可导，则a?_____,b?________

16．已知f(?x)??f(x)且f'(?x0)?m?0，则f'(x0)?_________ 16．设y?f(lnx)ef(y)，其中f可微，则dy?_________

?x2,当x为无理数时18．若f(x)???0，当x为有理数时，则f'(0)?_______

19．曲线y?1x在点(1, 1)处切线的斜率是 ；

20．曲线y?sinx在点x??处的切线斜率是 ；

21．若函数y?f(x)在点x0处可导，则它所对应的曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程是 ； 22．过原点且斜率为2x的曲线方程是 ；

23．若抛物线y?x2与y?x3的切线平行，则x? ； 24．若y?ax2与y?lnx相切，则a? 25．曲线(5y?2)3?(2x?1)5在点(0, ?15)处的切线方程是 ；

26．设函数y?lncosx，则y?? ；

27．设奇函数f(x)在点x0处可导，且f?(x0)?k，则f?(?x0)? ； 28．设f(x)?(x?a)?(x)在x?a处可导，且?(x)在x?a处连续，则f?(x0)? ；

x29．当x很小时，e? ；

30．当x很小时，sinx? ； 二、选择填空题

??1．设函数f(x)????xsin01x2,x?0,x?0，则f(x)在点x?0处( )

A.极限不存在 B.极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导

?x2?1?2．设函数f(x)??x?1,x?1，则在点x?1处函数f(x)，( )

?,x?1?2A.不连续 B.连续但不可导 C.可导但导数不连续 D.可导且导数连续

3．设函数f(x)在区间??8,8?内有定义，若当x???8,8?时恒有f(x)?x，则x?0必是f(x)的( )

A.间断点 B.连续而不可导的点 C.可导的点，且f'(0)?0 D.可导的点，且f'(0)?0

24．两曲线y?1x,y?ax342?1??b在点?2,?处相切，则( )

?2?116,b?14 C.a??1,b?A.a??116,b? B.a?3292 D.a?1,b??72

5．设函数f(x)?3x?xA.1 B.2 C.3 D.4

x，则f(n)(0)不存在的最小正整数n必为( )

6．设周期函数f(x)在???,???内可导，周期为4，又lim则曲线y?f(x)在点?5,f(5)?处的切线的斜率为( )

f(1)?f(1?x)2x??1，

x?0A.

12 B.0 C.?1 D.?2

7．若f(x)?xsinx，则( )

A.f??(0)不存在 B.f??(0)?0 C.f??(0)?? D.f??(0)??

8．若f(x)?max{2x,x},x??0,4?，且知f'(a)不存在，a??0,4?，则必有( )

3A.a?1 B.a?2 C.a?3 D.a?12

?sinx?2x,x?0?9．若函数f(x)??x，则f'(x)在点x?0处( )

?1,x?0?A.存在但不连续 B.不存在 C.不仅存在而且连续 D.无穷大

10．若函数f(x)对任意实数x1,x2均满足关系式f(x1?x2)?f(x1)f(x2，且

f'(0)?2，则必有( )

A.f(0)?0 B.f(0)?2 C.f(0)?1 D.f(0)??1 11．函数f(x)?(x2?x?2)x?x不可导的点的个数为( )

3A.3 B.2 C.1 D.0

12．若f(x)在x0点可导，则f(x)在x0点处( ) A.必可导 B.连续但不一定可导 C.不可导 D.不连续

13．设f(x)?x?a?(x)，而?(x)在x?a处连续但不可导，则f(x)在x?a处( ) A.连续但不可导 B.可能可导 C.仅有一阶导数 D.可能有二阶导数

f(a?n)?f(a)14．f(x)在x?a处为二阶可导函数，则limn?0nn?f'(a)?( )

A.

f??(a)2 B.f??(a) C.2f??(a) D.?f??(a)

15．若函数f(x)对任意x均满足f(1?x)?2f(x)且有f(0)?1，f'(0)?C，则( )

A.f'(1)?0 B.f'(1)?C C.f'(1)不存在 D.f'(1)?2C

7．曲线y?x?3x与直线L相切，L平行于x轴，则L与曲线y?x?3x的切点是

33（ ）

(A) (1,?2) (B)(1,2) (C)(?1,?2) (D)(0,0)

8．设y?e?e(A)e(C)exx?x，则y(n)?（ ）

x?e?x (B)en?x?e?x

n?1x?(?1)e2 (D)e?(?1)xe?x

9．抛物线y?x上的点(?11,)处的切线（ ）； 24(A) 平行于x轴 (B) 垂直于x轴 (C) 与x轴正向的夹角为

?4 (D) 与x轴正向的夹角为

3?4

10．若函数y?f(x)在点x0可导，则limf(x0??x)?f(x0)?x； ?（ ）

?x?0(A) ?f'(x0) (B)f'(x0) (C)0 (D)不存在

11．过曲线y?x?44?x上一点(2,3)的切线斜率是（ ）；

(A) ?2 (B) 2 (C) ?1 (D) 1

12．设y?3sinx，则y'=（ ）；

(A) 3(C) 3sinxln3 (B) 3sinxcosx sinx

sinxcosxln3 (D) 3sinx?113．设y?5x?ln5，则dy?（ ）；

(A) x?5xx?1dx (B)(x?515xx?1?15)dx

(C)(5ln5?)dx (D) 5ln5dx

14．下列函数中，在x?1处连续但不可导的函数是（ ）；

(A) y?1x?12 (B) y?x?1

2(C) y?ln(x?1) (D) y?(x?1)

15．设函数f(x)可微，则limh?0f(x?2h)?f(x)h12f'(x)

?（ ）；

(A) ?f'(x) (B)

(C) 2f'(x) (D) 3f'(x)

216．[cos(x)]'?（ ）；

(A) sin(x) (B) ?sin(x) () (C) 2xsin(x) (D)?2xsinx222217．设函数f(x)可微，则在点 x处，?y?dy是关于?x的（ ）无穷小

(A)高阶 (B)等价 (C)低阶 (D)同阶（不等价）

18．函数在点x0处连续是在该点处可微的（ ）条件

(A)充分但非必要 (B)必要但非充分

2．求下列函数的微分： （1）y?x?2x2?13x?x；

34（2）y?xlnx?x； （3）y?x2cos2x； （4）y?x1?x2；

（5）y?eaxsinbx； （6）y?arcsin21?x。

3．利用微分求近似值：

（1）31.02； （2）lg11； （3）tg45?10?； （4）26。

4．为了使计算出球体积准确到1%，问度量半径为r时所允许发生的相对误差至多应是多少？

5．检验一个半径为2米，中心角为55°的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对之弦长，设量角最大误差为0.5°，量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精确。

6．单摆的周期公式是2?Lg，这里L是摆长（单位：厘米），g为重力加速度（980

厘米/秒2），设钟摆的周期为1秒，在冬季押长缩短于0.01厘米，问这钟每天大约快多少？

§4 高阶导数与高阶微分 1．求下列函数在指定点的高阶导数： （1）f?x??3x?4x?5x?9，

32求f???1?,f????1?,f（2）f?x??

x1?x2?4??1?；

，求f???0?,f???1?,f????1?。

3．求下列函数的高阶导数：

（1）f?x??xlnx,求f???x?； （2）f?x??e?x,求f????x?； （3）f?x??ln?1?x?,求f?5??x?； （4）f?x??x3ex,求f?10??x?。

4．设f为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数： （1）y?f?lnx?；

（2）y?f?xn?，（n为自然数）； （3）y?f?f?x??。

5．求下列函数的n阶导数： （1）y?lnx； （2）y?ax（a为非负实数）； （3）y?1x?1?x?22； （4）y?lnxx；

（5）y?sinx。

6．求下列函数的二阶微分 （1）y?1x； （2）y?xarctgx；

（3）y?f?u??e,u???x??x。

u2

7．求下列函数的n阶导数： （1）f?x??xn1?xax；

（2）f?x??e

sinbx，（a，b为实数）。

8．研究函数f?x??x在x=0处的各阶导数。

3

9．设函数y=f（x）在点x处二阶可导，且f??x??0。若这个函数存在反函数x?f试求?f?1?1?y?，

??y。

10．求下列函数的高阶微分： （1）u?x??lnx;V?x??ex,求d3?uv?,d3?3?u??； ?v??u?? ?v?dydx（2）设u?x??e2,v?x??cos2x,求d3?uv?,d3?1．求下列由参量方程所确定的函数的导数

4???x?cost（1）? 在t?0,处导数；

42??y?sint：

t?x???1?t（2）? 在t?0处导数

?y?1?t?1?t?

?x?a?t?sint?2．设?，

??y?a1?cost?求

dydxt??2,dydxt??,dydx2t??22,dydx2t??2

3．求下列由参量方程所确定的函数的二阶导数

dydx22。

t2???x?2t?t?x?ecost（1）?， （2）?

3t???y?3t?t?y?esint

4．设曲线方程x?1?t,y?t?t，求在下列点处的切线方程与法线方程：

2222（1）t=1； （2）t?

。

2?x?f??t?dy6．设?，求 2dx?y?tf??t??f?t?8．求心形线r?a?1?cos??的切线与切点向经之间的夹角。

四、证明题

9．设函数f在点x0存在左右导数，试证f在点x0连续。

11．设f是定义在R上的函数，且对任何x1,x2?R都有f?x1?x2??f?x1?f?x2?，若f??0??1，证明对任何x?R都有f??x??f?x?。

12．证明：若f??x0?存在，则

f?x0??x??f?x0??x?2?x?f??x0?

?x?0lim

??b??0，13．证明：若函数f在[a，b]上连续，且f?a??f?b??k，则在 （a，f??a?f?b）内至少存在一点ξ，使得f????k。

6．设f为可导函数，证明：若x=1时有则必有 f??1??0或f?1??1。

2．设函数f在点x=1处二阶可导，证明：若f??1??1,f???1??0，则在x=1处有ddxddxfx???2ddxf2?x?。

fx???2ddx22f2?x?。

11．设y?arctgx

（1） 证明它满足方程：?1?x（2）求y?0?2?y???2xy??0；

?n?x?0

y?0, n?2k ?0???k??-1??2k?!, n?2k?1

12．设y?arcsinx （1） 证明它满足方程

?1?x?y?2n?2???2n?1?xy?n?x?0?n?1??ny2?n??0

（2） 求 y

x?0.

??12?x, x?0,13．证明：函数f?x???e在x=0处n阶可导，且f??0, x?0?n??0??0，其中n

为任意自然数。

5．证明曲线??x?a?cost?tsint??y?a?sint?tcost?上任一点的法线到原点距离恒等于a。

7．证明：圆r?2asin??a?0?上任一点的切线与向径的夹角等于向经的极角。

五、考研复习题

1．设y?（1）y??ax?bcx?d，证明：

ac1?cx?d?2???1?n?1 d；

b（2）y?n?n!cn?1n?1abcd?cx?d?

2．证明下列函数在x=0不可导：

2（1） f?x??x3； （2）f?x??lnx?1

3．请举一个连续函数的例子，它在已知点a1,a2,???.ak上不可导。

4．证明：

（1）可导的偶函数，其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数，其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数，其导函数为周期函数。

5．对下列命题，若认为是正确的，请给予证明，若认为是错误的，请举一反例予以否定：

（1）设f????，若f在点x0可导，则?和Ψ在点x0都可导；

（2）设f????，若?在点x0可导，Ψ在点x0不可导，则f 在点x0一定不可导；

（3）设f????。若f在点x0可导，由?，Ψ在点x0都可导；

（4）设f????，若?在点x0可导，Ψ在点x0不可导，则f在点x0一定不可导。 ??a?和f???a?，问在什么条件下f??a?6．设??x?在点a连续，f?x??x?a??x?，求f?存在。

7．设g为多项式函数，f?x???x?a??x?b?g?x?,a?b，且在[a，b]上，g?x??0，证明：

（1）g?a?g?b??0；

（2） 存在???a,b?，使得f?????0。

8．设f为n阶可导函数，证明：

?f?ax?b???n??afn?n??ax?b?。

9．设f为可导函数，求下列各题的一阶导数； （1）y?f?ex?ef?x?； （2）y?f?f?f?x???

10．设?,?为可导函数，求y?： （1）y????x??2????x??；

2（2）y?arctg??x???x?；

（3）y?log

??x???x?,??,??0,??1?

11．设x?g?y?为y?f?x?的反函数，问如何由f??x?,f???x?,f????x?算出g????y?？

12．设fij?x??i,j?1,2,???,n?为可导函数， 证明

f11?x? f12?x? ??? f1n?x?df21?x? f22?x? ??? f2n?x?dx ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? fn1?x? fn2?x? ??? fnn?x? f11?x? f12?x? ??? f1n?x?f21?x? f22?x? ??? f2n?x?n

??k?1 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?1?x? fk?2?x? ??? fk?n?x?fk ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? fn1?x? fn2?x? ??? fnn?x?

并利用这个结果求F??x?；

x?1 1 2 （1）F?x?? -3 x 3 -2 -3 x?1x x x232；

（2）F?x??1 2x 3x0 2 6x‘

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