2018年高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.2 余弦定理达标练习 北师大版必修5

我爱你中国亲爱的祖国2.1.2 余弦定理

[A 基础达标]

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( ) A．8 C．62

2

2

B．217 D．219

2

解析：选D.由余弦定理得：c＝a＋b－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以

c＝219，故选D.

13

2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )

141A．－

51C．－

7

解析：选C.由余弦定理，

13 2222

得c2＝a＋b－2abcos C＝8＋7－2×8×7×＝9，

14所以c＝3，故a最大，

1B．－

61D．－

8

b2＋c2－a272＋32－821

所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－. 2bc2×7×37

3．在△ABC中，a，b，c为角A、B、C的对边，且b＝ac，则B的取值范围是( )

2

?π?A.?0，?

3???π?C.?0，? 6??

?π?B．?，π?

?3??π?D．?，π? ?6?

a2＋c2－b2（a－c）2＋ac（a－c）211

解析：选A.cos B＝＝＝＋≥，因为0

2ac2ac2ac22B∈?0，?.

3

??

π??

4．在△ABC中，若bcos A＝acos B，则△ABC是( ) A．等边三角形 C．直角三角形

B．等腰三角形 D．锐角三角形

解析：选B.因为bcos A＝acos B，

b2＋c2－a2a2＋c2－b2

所以b·＝a·. 2bc2ac所以b＋c－a＝a＋c－b. 所以a2＝b.

2

2

2

2

2

2

2

1

我爱你中国亲爱的祖国所以a＝b.故此三角形是等腰三角形．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( ) A．a>b C．a＝b

2

2

B．a

D．a与b的大小关系不能确定

2

2

2

2

2

2

解析：选A.由余弦定理，知c＝a＋b－2abcos C，则2a＝a＋b＋ab，即a＝b＋ab，则2

?b?＋b－1＝0，所以b＝5－1<1，所以a>b，故选A. ?a?aa2??

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________．

a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2222

解析：依题意得2b×＝a×＋c×，即a＋c－b＝ac，所以

2ac2ab2bc1π

2accos B＝ac>0，cos B＝.又0

23π

答案：

3

1

7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，

4则c＝________．

解析：因为3sin A＝2sin B，所以3a＝2b.又a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c＝a＋b－2abcos C，

2

2

2

?1?222

所以c＝2＋3－2×2×3×?－?＝16，所以c＝4.

?4?

答案：4

1acos B8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋c2，则的值为________．

4c1212a＋c－b22

解析：因为a＝b＋c，所以b＝a－c.所以cos B＝＝

442ac2

2

2??2

a2＋c2－?a－c?4

2

2

2

1

??5c2ac＝. 8a5c8a5acos B所以＝＝. cc8

a·

5

答案：

8

9．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2bsin A. (1)求B的大小；

(2)若a＝33，c＝5，求b的值．

2

我爱你中国亲爱的祖国解：(1)由a＝2bsin A，根据正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，因为sin A≠0，所以sin

B＝.

π

因为△ABC为锐角三角形，所以B＝.

6(2)根据余弦定理，b＝a＋c－2accos B ＝27＋25－2×33×5×所以b＝7.

10．在△ABC中，若已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sin C＝2sin Bcos A，试判断△ABC的形状．

解：由正弦定理，可得sin B＝，sin C＝.

2R2R3

＝7. 2

2

2

2

12

bcb2＋c2－a2

由余弦定理，得cos A＝. 2bc代入sin C＝2sin Bcos A，

b2＋c2－a2

得c＝2b·.

2bc整理得a＝b.

又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以a＋b－c＝ab，

2

2

2

a2＋b2－c21π

即cos C＝＝，故C＝. 2ab23

又a＝b，所以△ABC为等边三角形．

[B 能力提升]

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c－a＝3bc，且b＝3a，则下列关系一定不成立的是( ) A．a＝c C．2a＝c

2

2

2

2

2

2

B．b＝c D．a＋b＝c

2

2

2

解析：选B.因为b＋c－a＝3bc，

b2＋c2－a23

所以cos A＝＝. 2bc2

又因为A∈(0°，180°)，所以A＝30°.因为b＝3a，所以sin B＝3sin A＝

3

.又因为2

B∈(0°，180°)，所以B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，此时△ABC为直角三

角形，得到a＋b＝c，2a＝c.当B＝120°时，C＝30°，此时△ABC为等腰三角形，得到a

3

2

2

2

我爱你中国亲爱的祖国＝c.综上可知，b＝c一定不成立．故选B.

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋

accos B＋abcos C的值是__________． b2＋c2－a2

解析：因为cos A＝，

2bc1222

所以bccos A＝(b＋c－a)．

21222

同理accos B＝(a＋c－b)，

2

abcos C＝(a2＋b2－c2)，

122612

所以bccos A＋accos B＋abcos C＝(a＋b＋c)＝. 2261

答案：

2

3→→

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cos B＝，且AB·BC＝－21.若a＝

57，求角C的大小． →→

解：因为AB·BC＝－21，

→→→→→→

所以BA·BC＝21.所以BA·BC＝|BA|·|BC|cos B＝accos B＝21. 34

又cos B＝，所以sin B＝，ac＝35.又a＝7，所以c＝5.

55所以b＝a＋c－2accos B＝32，所以b＝42.

2

2

2

12

cbc542

由正弦定理＝，得sin C＝sin B＝×＝.

sin Csin Bb4252

3

因为cos B＝＞0，所以B是锐角．因为c＜b，所以C一定是锐角，所以C＝45°.

514.(选做题)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)．

(1)若c＝5，求sin A的值； (2)若A为钝角，求c的取值范围． 解：(1)因为A(3，4)，

B(0，0)，

所以AB＝5， 当c＝5时，BC＝5，

所以AC＝ （5－3）＋（0－4）＝25.

4

2

2

我爱你中国亲爱的祖国AB2＋AC2－BC2

由余弦定理，知cos A＝＝

2AB·AC5＋（25）－52×5×25

2

2

2

＝

5. 5

?5?225因为0

A＝1－??5??

＝5.

(2)因为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)， 所以AC2

＝(c－3)2

＋42

，BC2

＝c2

，

由余弦定理，得cos A＝AB2＋AC2－BC2

2AB·AC. 因为A为钝角，所以cos A<0， 即AB2

＋AC2

－BC2

<0，

所以52＋(c－3)2＋42－c2

＝50－6c<0，所以c>253

.

故c的取值范围为??25?3，＋∞???

. 5