具有非线性传染率的SEIS模型的定量分析

具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析

周鑫 指导老师：郭金生

(河西学院数学与应用数学专业2014届2班56号, 甘肃张掖 734000)

摘要 本文对传染率为

?ISE1?aIq??S,q?(0,1)的SEIS传染病模型做了定性分析.当基本再生数R0?1

时,无病平衡点是全局稳定的,并疾病最终灭绝.基本再生数R0?1时,平衡点是存在的,并且是局部渐近稳定的,且最终发展为地方病.

关键词 传染病模型;非线性传染率;基本再生数;平衡点;稳定性 中图分类号 O175

A Qualitative Analysis of an SEIS Epidemic Model

With Nonlinear Incidence Rate (No.56,Class2 of 2014,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000) Abstract: Discusses the prevalence of infection of ?ISE1?aIq??S SEIS epidemic qualitative analysis of the model.When the basic reproductive number R0?1, disease-free equilibrium is globally asymptotically stable, and the disease eventually become extinct.When the basic reproductive number R0?1, there is equilibrium point,and is locally asymptotic stable and cut development for endemic disease. Keywords: Infectious disease model; Nonlinear infectious rate; The basic reproductive number; Equilibrium point; stability

1引言

近年来,人们提出了不同的传染率,但在研究了1973年意大利东部港市巴里流行的霍乱之后,Capasso和Serio在传染病模型中引入了饱和传染率,这对之后人们研究传染病具有广泛的影响.文献

[1,2]就引入了形如?IS的传染率,文献

pq[2，3，4]又引入了形如

?IPS1?aIq的传染

1

率,文献[5]又讨论了率

?IS1?S?I为传染率的SEIS模型,而文献[6]讨论了更为一般的非线性传染

,q?(0,1)为传染率的非线性传染率模型,此模型的非线E1?aIq??S性表达了当染病者,潜伏者与易感人群之比增加时,易感者在行为上不但抑制了染病者对传染病的传播,而且控制了与类似传染病症状人群(潜伏者)的交往,加强了对传染病的预防工作,从而多方面抑制传染病的传播.

?ISS?pIk.本文将采用

?IS2 模型建立与分析

本文所考虑的SEIS传染病模型为

?IS?dS?A??dS??I，?dt?(I,E,S)??IS?dE??(d??)E，? (1) dt?(I,E,S)??dI???E?(d????)I，?dt其中S为易感染者的数量,E为潜伏者的数量,I为染病者的数量,A为人口对系统的输入量,d为死亡率(假定S,E,I的死亡率相同),?为由潜伏者转化为染病者的转化率,?为由染病者转化为易感染着的转化率,?为患病者因病而增加的死亡率,其中

E?(I,E,S)?1?aIq??.

S 对模型(1)中的式子累加可以得到

dSdEdI???A?d(S?E?I)??I. (2) dtdtdt 可以观察可得看出,如果假设总人口数为N,则N?S?E?I,且

dNdSdEdI????A?d(S?E?I), dtdtdtdt根据对(2)式的分析可以知道N?{N(S,E,I)|0?S?E?I?A/d}. 现假设R0???A为系统(1)的基本再生数,它是一个染病者在有效传染

d(d????)(d??)期内被混入到易感人群中所产生的二代染病病历数.

通过观察系统(1)可以发现,系统(1)必定存在一个无病平衡点N0(A/d,0,0). 引理 1[7] 对于一个在[0,??)上有界的实值函数f,定义

f??liminff(t),f??limsupf(t)，

t??t??设f:[0,?)?R有界且二次可导的函数,当k??时,tk??且f(tk)?f?或者

f(tk)?f?,则limf'(tk)?0.

k??2

定理1 当R0?1时,系统(1)在无病平衡点N0(A/d,0,0)处是全局稳定的. 证明 对于系统(1)在N0(A/d,0,0)处 ,其特征函数为

(???)[(d????)(d??????)??A/d]?0.

可以得到?????0为一个特征根,其他特征根由

(d????)(d??????)??A/d?0

来确定,为了使得所有的特征根为负根,则当且仅当

?(2d??????)?(2d??????)2?4[(d????)(d??)??A/d]?0. (3)

2化简(3)式可以得到当且仅当(d????)(d??)??A/d?0时,所有的特征根为负根,即R0?1时,N0(A/d,0,0)是局部渐近稳定的.

dE(tk)?0和序列?k??,使得 根据引理1,可以选择序列tk??,使得E(tk)?E,dtk?I(?k)?I?,

dI(?k)?0. d?k 又因为I(tk)?1,所以

E(tk)?S(tk)?A/d. (4)

当(4)中S(tk)?A/d时,则必有E(tk)?0,则不妨在下面的放缩中,取S(tk)?A/d,E(tk)?0,则从系统(1)的第二个方程有

S(tk)I(tk)?I? E?, (5) lim?d??k???[I(tk),E(tk),S(tk)](d??)??对于系统(1)的第三个方程,可以得到

I??则由(5)、(6)式可以得到

??limE(tk)?E?, (6)

(d????)k??(d????)?(A/d?1)2I???A E??E??R0E?, (7)

4(d??)d(d????)(d??)?I???(d??)E????AI??R0I?, (8)

d(d????)(d??)其中(7)意味着当R0?1时,E??0；接着由R0?1且E??0，再根据(8)可以得到I??0.然而,因为E??0,I??0,所以由夹逼定理的推广可以得到

E??E??0,I??I??0.

再根据N0(A/d,0,0)的局部稳定性知道:当R0?1时,平衡点N0(A/d,0,0)是全局渐近稳

3

定的.

根据以上分析,当R0?1时,无论初始潜伏者人数与感染者人数为多少,传染病最终都将消失.

定理2 当R0?1时,S?*(d??)(d????)???(I*,E*,S*),E*?(d??)?I*,I*是

[(d??)(d????)??]I*?在区间(0,A/d)的唯一根.

d(d??)(d????)?(I*,E*,S*)

???A 证明 系统(1)的地方病平衡点N*(S*,E*,I*)的坐标是方程组

??I*S***0?A??dS??I，?***?(I,E,S)???I*S*?*?(d??)E， (9) ?0?***?(I,E,?S)??0??E*?(d????)I*，???在N?{N(S,E,I)|0?S?E?I?A/d}内的正解.

(d????)*I,由于不考虑I?0的情况,再由第二 由方程组(9)的第三个方程可得E*??个方程可以得到

S*?(d????)(d??)(d????)???(I*,E*,S*).

将E*??I*与S*?(d??)(d????)???(I*,E*,S*)代入第一个方程可以得到 d(d??)(d????)?(I,E,S) F(I)?[ 注意到

(d??)(d????)???]I????A?0.

(d??)(d????)?又由于 ?(I,E,S)?0所以F(I)为增函数,则取

limF(0)?????0,

d(d??)(d????)I?0???A,

4

当且仅当limF(0)??I?0d(d??)(d????)???A?0 时,F(I)?0在(0,A/d) 有唯一的实根.

将R0???A代入上式,计算得到

d(d????)(d??)

A?A?0， R0

即R0?1时,F(I)?0在(0,A/d) 有唯一的实根.所以,当R0?1时,N*(S*,E*,I*)是存在的.

定理3 当R0?1时,系统(1)在地方病病平衡点N*(S*,E*,I*)处是局部渐近稳定的.

证明 现假设

?ISE1?aIq??S. ?P(S,E,I)

现在对P(S,E,I)分别求偏导得

?P???I/(1+aIq+nE/S)+??I/S/(1+aIq+?E/S)2?E, ?S?P?-??I/(1+aIq+?E/S)2?, ?E?P???S/(1+aIq+?E/S)-??S/(1+aIq+?E/S)2aIqq, ?I

现在将N*(S*,E*,I*)代入系统(1),即可得jacobian矩阵

??P???S*?d??P*J(N)??*??S?0????P?E*?P????*?I??P?， *?I??P??d???*??I??

?P?d??*?E?32得到J(N*)的特征方程为??a1??a2??a3?0,其中

?P?P?Pa1?*+?+*+?-*+3d,

?I?S?E?P?P?P?P?P?Pa2?2d*+*?-2d*+2?d+**+2d ?S ?I?S?E?S?I?P?P?P?P +??+*-?*+2d?+3d2-**,

?S?E?E?I?P?P?P?P?P?P?Pa3?*+?+*+?-*+3d+(?*-?+?I?S?E?S?E*?S*?I*

5

+?

因为

?P?P?P?P?P-+??)d+?, *****?S?I?E?S?I?P?P?P?0,?0,?0, ?S*?E*?I*所以可以得到a1,a2,a3均大于0.

现在列出劳斯表：

?3 ?2 ? 11 a1 a1a2?a3 a1a2 a3 ?0 运用Matlab可以得到a1a2?a3?0(见附录1),且又因为a1?0,所以根据Routh hurwitz定理即可得地方病平衡点N*是局部渐近稳定的.

根据以上分析,当R0?1时,传染病平衡点是存在且局部渐近稳定的.

3 结论

本文对SEIS传染病模型的动力学系统近行了分析研究,此模型含有常数输入率,又含有

自然死亡率和因病死亡率,因此模型所考虑的总种群数量随时间变化而改变.同时传染率是一种符合实际的非线性传染率.

对于系统(1),基本再生数R0???A完全决定了系统(1)在可行域

d(d??)(d????)N?{N(S,E,I)|0?S?E?I?A/d}

内的动力学行为.如果R0?1,无病平衡点就在{N(S,E,I)|0?S?E?I?A/d}内全局渐近稳定,且疾病最终会灭绝.如果R0?1,则存在唯一的地方病平衡点且局部渐近稳定,且疾病最终发展为地方性传染病.

致谢 感谢郭金生老师在我论文过程中的悉心指导.

参 考 文 献

[1]Liu W M.流行病学模型的动力学行为与非线性发病率[J].数学生物学杂志.1987,25:359-380.

[2]Liu W M,Levin S A.非线性发病率的影响在众位的行为流行病学模型[J].数学生物学杂志,1986,23(1):187-204.

[3]Ruan S,Wang W.传染病模型的动力学行为与非线性发病率[J].微分方程.2003,188:135-163.

[4]王拉娣,李建全.一类具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析[J].应用数学和力学,27,591-596.

6

[5]郭金生,唐玉玲等.具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析[J].河西学院学报.2012,05:41-46. [6]芦雪娟等.具有非线性传染率的SEIS传染病模型的研究[J].西北师范大学学报,2010,46:6-9. [7]Wang W, Ma Z.全球流行病动力学模型与延迟[J].非线性分析:现实世界的应用.2002,3: 809-834.

附录1

Matlab编码:

syms I S E p a q n d o z y;

A=[-S-d,-E,-I+o;S E-d-a I;0 a -d-o-I]; A=y*eye(3)-A; ki=det(A); R=collect(ki,y) R =

y^3+(o+I-E+3*d+a+S)*y^2+(S*a-E*I-2*E*d+2*d*I+2*d*o+2*S*d+2*a*d-E*o+S*I+S*o+a*o+3*d^2)*y+S*I*a+S*d*I+S*d*o-d*E*I+d^2*o+a*d^2+d^3+d*a*o-E*d^2+d^2*I+S*a*d-d*E*o+S*d^2

a1=(o+I-E+3*d+a+S);

a2=(S*a-E*I-2*E*d+2*d*I+2*d*o+2*S*d+2*a*d-E*o+S*I+S*o+a*o+3*d^2);

a3=S*I*a+S*d*I+S*d*o-d*E*I+d^2*o+a*d^2+d^3+d*a*o-E*d^2+d^2*I+S*a*d-d*E*o+S*d^2; b=a1*a2-a3;

R1=collect(expand(b),d) R =

-2*S*E*I-2*S*E*o-a*E*I+3*S*a*o+S*I*a+S^2*o+8*d^3-2*o*E*I+2*o*S*I+I*a*o-E*S*a-E*o^2+S*o^2+a*o^2-E*I^2+S*I^2+E^2*I+E^2*o+S*a^2+a^2*o+S^2*a+S^2*I-2*E*a*o+(8*a+8*I+8*S-8*E+8*o)*d^2+(6*S*a+6*S*o-6*E*I+6*a*o-6*E*o+6*S*I+4*o*I+2*I^2+2*S^2+4*I*a-4*E*a-4*E*S+2*o^2+2*a^2+2*E^2)*d

对应符号：

I S E p a d o y ?P?P?P? ? d ? ? ?I?S?E

7

编号 2010212012

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毕业论文

(2014 届本科)

题 目：具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定 性分析 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 周鑫 指导老师： 郭金生 职称： 讲师 完成日期： 2014 年 5 月 22 日

二○一四年五月

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vz56.html