习题六样本及抽样分布解答

习题六样本及抽样分布

解答

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

样本及抽样分布

一、填空题

1．设来自总体X 的一个样本观察值为：，，，，，则样本均值 = ，样本方差 =22.716；

2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ；

3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ；

4．设127,,...,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则7

21

(4)i i P X =>=∑ ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，

22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ；

6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y

的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9

的 t 分布。

7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量Y 服从2χ分布，其自由度为 2 ；

8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单

随机样本，则随机变量 22110221115...2(...)

X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ；

9．设随机变量2

1~()(1),,X t n n Y X >=则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1

()P X A >=

11若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2

σμN 的一个样本，则∑==n i i n 11ξξ服从 。

12样本),,(1n X X 的函数),,(1n X X f 称为 ，其中

),,(1n X X f 不含未知参数。

13设总体X 服从),(2σμN ，X 和2S 分别为来自总体X 的样本容量为n 的样本均值和方差，则

212)(σ∑=-n i i X X ～ ，

22)1(σS n -～ 。

14 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量2

9219

1Y Y X X U ++++= 服从 分布。t (9)

15 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量

29

212921Y Y X X V ++++= 服从 分布。F(9,9) 二、选择题

1．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中σ为未知参数，),,(321X X X 是

取自总体X 的一个容量为3的样本，下列不是统计量的是 （ ）

A .321X X X ++

B .},,m ax {321X X X

C .

)(1321X X X ++σ D .)(41321X X X ++

2．设1216,,

,X X X 是来自正态总体2(2,)N σ的一个样本，161116i i X X ==∑，则48~X σ-（ ）.

A. (15)t

B. (16)t

C. 2(15)χ

D. (0,1)N

3．设12,,,n X X X 是取自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，

11n i i X X n ==∑，2211()n n i i S X X n ==-∑,

则)n

X Y S μ-=服从的分布是（ ）.

A. (1)t n -

B. ()t n

C. 2(1)n χ-

D.

4．设12,,...,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值， 记2222221

23111111(),(),(),11n n n i i i i i i S X X S X X S X n n n μ====-=-=---∑∑∑ 224

11(),n

i i S X n μ==-∑则服从自由度1n -的t 分布的随机变量是T =（ A ）；

A

．X

X C

X

X 5．设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是X 总体的

分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的,()n x F x （ B ）

A ．是分布函数

B ．依概率收敛于()F x

C ．是一个统计量

D ．其数学期望是()F x

6．设总体X 服从0－1分布，125,,...,X X X 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A ．12345min{,,,,}X X X X X B ．1(1)X p X --

C ．12345max{,,,,}X X X X X

D ．55X X -

7．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而2σ未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。

A ．2

1

()n

i i X μ=-∑ B ．211()n

i i X X n =-∑

C ．21

(

)n

i

i X σ

=∑ D ．min{}i X

8．设12,,...,n X X X 和12,,...,n Y Y Y 分别来自两个正态总体2(1,2)N -和(2,5)N 的样本，且相互独立，2212,S S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是（ B ） A ．

2

12

2S S B ．

2

12

2

54S S C ．

2

122

45S S D ．

2

122

52S S

9．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ）

A ．,X S 相互独立；

B ．X 与2(1)n S -相互独立；

C ．X 与

2

2

1

1

()n

i i X

X σ=-∑相互独立D ．X 与

2

2

1

1

()n

i

i X

μσ=-∑相互独立。

10．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，

2

21

1(),1n

i i S X X n ==--∑ 则2()D S 等于（ ）

A ．4

n σ B ．4

2n σ C ．41n σ- D ．421n σ- 11．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为1n -的t －分布的随机变量是（ C ）

A

．．n X S D ．2n X S

12．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则（ C ）

A ．22~(1,1)X F n S -

B ．2

2(1)~(1,1)n X F n S

-- C ．22~(1,1)nX F n S - D ．22(1)~(1,1)n X F n S +- 13．设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（ ）。

(A)X ＋Y 服从正态分布。 (B) 2X ＋2Y 服从2χ分布。

(C)2X 和2Y 都服从2χ分布。 (D)2X ／2Y 服从F 分布。

14．设总体X 服从)9,1(N ，91,X X 为X 的样本，则有（ ）。 (A)11-X ～)1,0(N (B)3

1-X ～)1,0(N (Ｃ)．

91-X ～)1,0(N (Ｄ)31-X ～)1,0(N 15．设n X X ,1是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，X 和S 分别为样

本的均值和标准差，则有（ ）。

(Ａ)ｎX ～)1,0(N (Ｂ)X ～)1,0(N (Ｃ)S

X

～ｔ(n-1) (Ｄ)∑=n

i i X 12～2χ(n)

16．设X ，Y 相互独立，X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN ，1

,1n X X 为X

的样本，2

,1n Y Y 为Y 的样本，则有（ ）。

(Ａ)X －Y ～),

(2

22

1

2

121n n N σσμμ+

+ (Ｂ)X －Y ～),

(2

22

1

2

121n n N σσμμ+

-

(Ｃ)X －Y ～),

(2

22

1

2

121n n N σσμμ-

- (Ｄ)X －Y ～

),

(2

22

1

2

121n n N σσμμ+

-

三、解答题

1．设123,,X X X 是总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而0σ>未知，则以下的函数中哪些为统计量为什么 （1）123X X X ++；是 （2）33X μ+；是 （3）1X ； 是 （4）22X μ； 是 （5）

3

1

2

i

i X

σ=∑；不是

（6）max{}i X ； 是 （7）3X σ+；不是

2． 在总体2(52,6.3)N 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值

X 落在与之间的概率。

解：2

6.3~(52,)36

X N }{{}5250.853.8 1.142 1.7146.3/6(1.714)( 1.142)0.8293X P X P -<<=-<

<=Φ-Φ-=

3． 对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值x 与样本方差的观测值2s ，由此你能得到什么结论

(1)5，2，3，5，8： x = 222.059s =

(2)105，102， 103，105，108 x = 222.059s =

4． 设12,,...,n X X X 是取自总体X 的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本12,,...,n X X X 的概率函数或密度函数 ：

(1)~(1,)X B p ；

(2)~()X Exp λ；

(3)~(0,),0X U θθ>。

解：

(1) 1()(1),0,1i i

x x i P X x p p i -==-= 1111122,1(,,)(1)(1)n n i i i i

i i i n x x n x x n n i P X x X x X x p p p p ==--=∑∑====-=-∏

(2) ,0()0,0x e x f x x λλ-?>=?≤?

11

1211,0(1,2,,)(,,,)()0,0,0(1,2,,)n i i i n x n x n n i i n i i i i e e x i n f x x x f x x i n λλλλ=--===??∑??>====?????≤=?∏∏∏ (3) 1,0()0,0

f x θθθ?>?=??≤?

1211,(,,,)()0(1,2

,)0,.n n n i i i f x x x f x x i n o w θθ=??==≤≤=???∏

5. 设12,,...,n X X X 是取自总体X 的一个样本．在下列三种情形下，分别求出2(),(),()E X D X E S .

(1)~(1,)X B p ； 2(1)(),(),()(1)p p E X p D X E S p p n

-==

=- (2)~()X Exp λ； 222111(),(),()E X D X E S n λλλ=== (3)~(0,),0X U θθ>。22

2(),(),()21212E X D X E S n θθθ===

6. 设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ，试证：

（1）2221

1

~()n i i X n χσ=∑； （2）

2221

1()~(1)n i i X n χσ=∑ 解： （1）12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ

~(0,1),(1,2)i i X X N i n

σσ=独立， 2222111()~()n

n i i i i X X n χσσ=

==∑∑

（2）2

1~(0,~(0,1)n

i n i i X X N n N σ=∑∑ 222211()~(1)n

i n i i X X n χσ=?? ?=?

?∑∑

7．设12,X X 是取自总体X 的一个样本． 试证：1X X - 与 2X X - 相关系数等于-1.

解： [22

1211111222

11122221212122

111cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)](0)2222

11((,2222

11cov(,),22

cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)02X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X σσσσσσσσσ+==+=+=-++-==---=--+=--22D （）=D ）D ）-2cov()=同理D （）=2

2

2

222

σσσ+=-

1222,212

X X X X X X σρσ

---=== 8. 设12,,...,n X X X 是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，试求统计量1n i

i i c X =∑的分布，其中(1,2,...,)i c i n =是不全为零的已知常数。

解：22111~(,)n

n n i i i i i i i c X N c c μσ===∑∑∑

9. 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别是取自正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本，且相互独立，试求统计量U aX bY =+的分布，其中,a b 是不全为零的已知常数；

解：

2

222

111111~(,),1,2,,,~(,),~(,)i a X N i n X N a X N a n n σσμσμμ= 2222

2

22222~(,),1,2,,,~(,),~(,)j b Y N j m Y N bX N b n n σσμσμμ=

22221212~(,)a b aX bX N a b n n

σσμμ+++ 10. 设125,,...,X X X 是取自正态总体2(0,)N σ的一个样本,试证:

(1) 当32k =时

,(3);k

t ； (2)

当k =

2

(1,3);k F

解： （1）2~(0,),1,25i X N i σ=

212~(0,2~(0,1)X X N N σ+

2225222345230

~(0,1),3,4,5,(

)~(3),~(3)~t(3),~t(3)i i i X X X X X N i χχσσσ=-++=∴∑即

，

（2

）212~(0,2~(0,1)X X N N σ+ 2222

2233312222

1222122222223333332

()~(1),~(3)2()()332~(1,3),22

3X X X X X X X X X F K X X X X X X χχσσ

σσ+++++=∴=++++ 11. 设124,,...,X X X 是独立同分布的随机变量，且它们都服从(0,4)N ，试证：当11,20100

a b ==时，2221234(2)(34)~(2)a X X b X X χ-+-.

解：122~(0,~(0,1)X X N N -

3434~~(0,1)X X N N -

2222221234~(2)11(2)(34)~(2)20100

11,20100

X X X X a b χχ+-+-== 12. 设121,,...,,n n X X X X +是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，记

2211

11,()n n n i n i i i X X S X X n n ====-∑∑

试证：统计量

~()t n ；

13. 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，从中抽取简单随机样本

122,,...,n X X X ,其样本均值为211,2n

i i X X n ==∑求统计量21(2)n i n i i Y X X X +==+-∑的数学期望 。 解：2

11cov(,)cov(,)cov(,)22i n i i n i i n i X X X X X X X DX DX n n n σ++++=+=+=

2222222

112222(2)()42cov(,)24

222(2)(2)2(2)[(2)](2)022i n i i n i i n i n n

i n i i n i i i i n i i n i i n i D X X X D X X DX X X X n n EY E X X X E X X X n E X X X E X X X D X X X σσσσσσσ+++++==++++-=++-+=+-==+-=+-=+-=+-++-=+=∑∑

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