量子力学A卷真题2007年

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题

量子力学A卷

一、在一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中运动的粒子受到微扰

作用。 试求基态能量的一级

修正。

二、粒子在势场V(x) 中运动并处于束缚定态ψn(x) 中。 试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。 三、

1．考虑自旋为的系统。试在的本征态。 其中

是角动量算符，而A，B为实常数。

表象中求算符

的本征值及归一化

2．假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。

四、两个无相互作用的粒子(质量均为m) 置于一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中。对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。 1．两个自旋为

的可区分粒子；

2．两个自旋为的全同粒子。

五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。

2007年量子力学A卷参考答案

一、解：能级，n=1，2，3…。相应的能量本征函数为

因此基态能量的一级修正为

二、解：粒子所受势场作用的力算符

为

三、解：a) 设，则在表象中有

设本征值为设为归一化的本征态，a2+b2=1，

则由本征方程解得本征态为

b) 在为

表象中的本征态为故发现的概率

。

四、解：a) 对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。

其基态：总能量为2F1，而波函数为，有4重

简并。第一激发态：总能量为E1+E2，其波函数为并。

有8重简

b) 自旋的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态：总能量为2E1，波函数为

，非简并。

第一激发态：总能量为E1+E2，波函数为

四重简并。其中，

代表二粒子自旋单态，

代表自旋三重态。

五、解：波函数可设为，

则u(r) 满足约化径向方程，

其中。

对于基态l=0，则方程变为，

其中

以定解。

。其通解为u(r) =Asin(kr+δ) ，。由边界条件可

因此归一化的径向波函数为

又由

，最后求得归一化的总波函数为

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