2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修1-2教学案：第三章3.13.1-1 数系的扩充和复数的概念-含答案

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修1-2教学案：第三章3．13．1-1 数系的

扩充和复数的概念-含答案．1.1 数系的扩充和复数的概念

预习课本P50～51，思考并完成下列问题

(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

[新知初探]

1．复数的有关概念

我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．

全体复数所成的集合C叫做复数集．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

[点睛] 复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.

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3．复数的分类

对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：

?实数(b＝0)，

复数z?

虚数(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).?

[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( ) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．(1＋3)i的实部与虚部分别是( ) A．1，3 C．0,1＋3 答案：C

3．复数z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( ) A．m＝±1 C．m＝1 答案：B

复数的概念及分类 x2－x－6[典例] 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚

x＋3数？(3)纯虚数？

2??x－2x－15＝0，

[解] (1)当x满足?

??x＋3≠0，

B．1＋3，0 D．0，(1＋3)i

B．m＝－1 D．m≠1

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即x＝5时，z是实数．

2??x－2x－15≠0，

(2)当x满足?

?x＋3≠0，?

即x≠－3且x≠5时，z是虚数．

??(3)当x满足?x－2x－15≠0，

??x＋3≠0，

2

x2－x－6

＝0，x＋3

即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.

[活学活用]

当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，

∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数． (2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．

2

??m－3m＝0，

(3)当m满足?

2

?m－m－6≠0，?

即m＝0时，z为纯虚数.

复数相

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等 [典例] 已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．

[解析] 设a是原方程的实根， 则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0， 即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i， 所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0， 111

－?2－＋3m＝0， 所以a＝－且?2?2?21

所以m＝. 12[答案]

11 － 122

[一题多变]

1．[变条件]若将本例中的方程改为：x2＋mx＋2xi＝－1－mi如何求解？

2

??x0＋mx0＝－1，

解：设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得?

?2x0＝－m，?

???x0＝1，?x0＝－1，

解得?或?

m＝－2m＝2，????

因此，当m＝－2时，原方程的实根为x＝1，当m＝2时，原方程的实根为x＝－1. m

2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x2－x－1＝(10－x－2x2)i，如何求解？

2m2

解：设方程实根为x0，则原方程可变为3x2由复数相等定义，0－x0－1＝(10－x0－2x0)i，2得：

2m??3x0－2x0－1＝0，?

2??10－x0－2x0＝0，

???x0＝2，

解得?或?71?m＝11?m＝－，?5

5

x0＝－，2

因此，当m＝11时，原方程的实根为x＝2；

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715

当m＝－时，原方程的实根为x＝－.

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复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．

层级一 学业水平达标

1．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( ) A．3－3i C．－2＋2i

B．3＋i D.2＋2i

解析：选A 3i－2的虚部为3,3i2＋2i＝－3＋2i的实部为－3，故选A. 2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( ) A．1 C．－4

B．1或－4 D．0或－4

2

??4－3a＝a，

解析：选C 由题意知?解得a＝－4.

2

??－a＝4a，

3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.

4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( ) A．|a|＝|b| C．a＞0且a≠b

B．a＜0且a＝－b D．a≤0

解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.

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