Mathematica的所有画图函数或命令进行总结和分类及部分习题

一、 对Mathematica的所有画图函数或命令进行总结和分类（对它的一些重

要可选项进行说明），并画出一些有趣的图形

我们首先可以把Mathematica的画图函数做如下分类: 1、 平面直角坐标系的二维函数 （1） ListPlot[{y1,y2,..}] ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2}，……}] 绘出由离散点对(n,yn)组成的图 绘出由离散点对(xn,yn)组成的图 （2） Plot[函数f，{x，xmin，xmax}，选项] f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲线 Plot[{f1，f2，f3……}}，{x，xmin，一张图上画几条曲线，所有线共用一个x范围 xmax}，选项] （3） PlarametricPot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax},选项] ParametricPlot[{{x1[t],y1[t]},{x2[t],y2[t]},……},{t,tmin,tmax}，选项] （4） PolarPlot[r[t],{t,min,max},选项] （5） ImplicitPlot[隐函数方程，自变量的范围，作图选项] 重要可选项的说明： （1） AspectRatio->1/GoldenRatio 生成图形的纵横比，如果不输入此命令系统默认图像的高宽比为黄金分割 （2） PlotSytle->{{style1},{style2},..} 例如：PlotSytle->RGBColor[0,1,0] 用来确定曲线的线宽、线性、线性颜色等属性 曲线的线性颜色等属性，方括号内的三个数字只能取0~1之间 （3） PlotPoints->15 （4） PlotRange （5） AxesLabel->{xlabel,ylabel} （6） Frame ->True,False 曲线取样点，越大越细致，即计算机在描点作图时，每个单位长度内所取得点数 表示作图的值域 x,y轴上的说明文字，即注释 是否在图像上画出边框 画出极坐标方程r=r(t)的图形，提前打开作图软件包，输入<

2空间直角坐标系的三维函数 （1） ListPlot3D[array] （2） Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项] （3） ParametricPlot3D[{x(u),y(u),z(u)},{ u,umin,umax }，选项] ParametricPlot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},...},{ u,umin,umax }] （4） ParametricPlot3D[{x(u,v),y(u,v),z(u,v)},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax} 重要可选项的说明： （1） ViewPoint ->{x,y,z} （2） DisplayFunction->Identity （3） DisplayFunction->$DisplayFunction （4） Boxed -> True,False （5） BoxRatios->{sx,sy,sz} （6） BoxStyle （7） Lighting ->True （8） LightSources->{s1,s2..} （9） MeshRange->{{xmin,xmax}, {ymin,ymax}} 三维视点，默认为{1.3,-2.4,2} 表示图形不在屏幕上显示出来 表示图形在屏幕上显示出来 是否画三维长方体边框 三轴比例 三维长方体边框线性颜色等属性 是否染色 si为某一个光源si={{dx,dy,dz},color} color为灯色，向dx,dy,dz方向照射 网格范围 选项]：在指定区域内画出参数方程所确定的曲面 二维数据阵array的立体高度图 在指定区域内画出空间曲面f[x,y] 在指定区域内画出参数方程所确定的曲线 多条空间参数曲线

有趣的图形： 1、

2、

三、（1） 这是一个兔子繁殖的模型，一对子兔一个月后成为一对成兔，而成年兔每个月能繁殖一对子兔，这样下去，每个月统计一下成年兔的数目，有如下的关系：

月份： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… Fn： 1 1 2 3 5 8 13 21 …… 不难看出：F1?1;F2?1;Fn?Fn?1?Fn?2。这就是著名的裴波那奇数列。通过数学软件编程，请问第40年、80年有多少成年兔？你能给出几种求裴波那奇数列通项的方法。 满足

Fn?Fn?1?Fn?2的数列完全由前两项决定，既由向量(F1,F2)决定，能否利用线性代数中

的子空间和向量线性表示的理论给出它的通项的一种求法。

（2）雌鸟每年只育一只小雌鸟，次年各自又育一只雌鸟，每鸟只能育十次。请问第30年、100年有多少雌鸟？你能求出第n年有多少雌鸟吗（通项）？（设鸟都不死）

解：（1）、

第40年的成年兔：

? 第80念得成年兔：9.21685 ?1.89955求斐波那契数列通项的方法： 方法一、（向量线性表示）

已知数列： A0=a，A1=b， F[n+1]=c*F[n]+d*F[n-1] （a=b=c=d1时就是斐波那契数列） 求F[n]的表达式

解：这个数列经过整理后可得一个F[n]与F[n-1]的线性组合，即A*F[n]+B*F[n-1]是一个等比数列的形式 令 F[n+1]- k F[n]=p(F[n] - k F[n-1])————————————————————-(1）

这样 如果令B[n+1]=F[n+1] – k F[n]，则B[n]（n=1, to n) 是一个等比数列。 (1）=> F[n+1]= p F[n]+k F[n] –pk F[n-1]

和 F[n+1]=c*F[n]+d*F[n-1] 比较，可知有 p+k=c，pk=-d 这样知道 p 和 k 是 x^2 - cx -d=0 的两个根。

这样 p= [c+sqrt(c^2+4d)]/2 k=[c-sqrt(c^2+4d)]/2, (当c=d=1时 p=[1+sqrt(5)]/2,k=[1-sqrt(5)]/2)

这样可以求得数列 B[n]的通项公式是

B[n+1]=B[n]*p= B[1]*p^n=(F[1]-k F[0]) *p^n =（b-ka)p^n 即

F[n+1] - k F[n] =（b-ka)p^n

k F[n] - k^2 *F[n-1]= k（b-ka) p^(n-1) k^2F[n-1] - k^3 *F[n-2]= k^2（b-ka) p^(n-2) .....

k^n F[1] - k^(n+1) *F[0]= k^n（b-ka) 两边分别相加

得 F[n+1] - k^(n+1)F[0] =（b-ka)(p^n - k^n*k/p)/（1-k/p） 这样F[n+1]=（b-ka)(p^n - k^n*k/p)/（1-k/p） + k^(n+1)F[0]

从而 F[n]=（b-ka)(p^（n-1） - k^n/p)/（1-k/p） + k^n*a

对于斐波那契数列， a=b=1, p=[1+sqrt(5)]/2,k=[1-sqrt(5)]/2) 带入并化简（n从1开始）

F[n]=

方法二、（线性代数中的子空间） 因为满足条件F[n]=F[n-1]+F[n-2]（下文用条件1指代）的任意两个数列的和仍然满足条件1，满足条件1的任意一个数列｛F[n]｝的常数倍｛ｋF[n]｝仍然满足条件1.考虑有复数组成的数列｛F[n]｝的全体组成的集合V对于通常的加法和数乘构成的复数域C上的线性空间，则其中满足条件1的全体数列组成的集合 U=｛｛F[n]｝|F[n]=F[n-1]+F[n-2],n>2｝ 对于加法和数乘封闭，是V的一个子空间。U中的每个数列F={F[n]}有他的前两项F[1],F[2]唯一确定，记作f(F[1],F[2]).映射f: (F[1],F[2]) →f(F[1],F[2])是二维数组空间C2到U的同构，因此U是二维空间。

解方程x2=x+1得到两个不同的根x1=(1+sqrt[5])/2和x2=(1-sqrt[5])/2,也就是在U中找到了两个线性无关的等比数列f（1，x1）,f(1，x2)（这里的f（1，x1）={x1n-1},f(1，x2)={x2n-1}）,它们构成了U的一组基。求斐波那契数列f(1,1)在这组基下的坐标（a,b），即就是求满足条件f(1,1)= af（1，x1）+bf(1，x2)，即（1，1）=a（1，x1）+b(1，x2)的a，b的值，也就是求满足条件a+b=1，ax1+bx2=1的a，b的值。可得Fn= f(1,1)= af（1，x1）+bf(1，x2)= ax1n-1 +bx2n-1=

x1n-1(x2-1)+x2n-1(1-x1) = x2n - x1n = [(1+sqrt[5])/2]n - [(1-sqrt[5])/2]n

x2 - x1 x2 - x1 sqrt[5]

方法三、

令F[n]= f(n)，则F[n]= F[n-1] + F[n-2]改写成函数方程

f(n+2)= f(n+1)+ f(n)（n>0）………………………………………（1）

假如我们已经求的方程（4）的两个特解f1，f2，则对任意c1c2∈R，f=c1f1+c2f2也必是方程（1）的解，这是因为

f1(n+2)= f1(n+1)+ f1(n)…………………………………………（2）

f2(n+2)= f2(n+1)+ f2(n)…………………………………………（3）

所以，由（2）*c1+（3）*c2可得

c1f1（n+2）+c2f2（n+2）=（c1f1（n+1）+c2f2（n+1））+(c1f1（n）+c2f2（n）） 此式即表明f= c1f1+ c2f2满足方程（1）。

代入初始条件F[1]=F[2]=1，即f(1)=f（2）=1，可以确定待定系数c1，c2，进而求方程（1）的两个特解。

由F[1]=F[2]=1,以及递推关系可知f(n)>0，以f（n）同除方程（1），可得 f(n+2) f(n+2) — f(n+1) — 1 = 0 f(n+1) f(n) f(n)

2

可见，若{f（n）}式等比数列，记公比f(n)/f(n+1)=q，则上式成为q-q-1=0，其解为 q1=(1+sqrt[5])/2 q2=(1-sqrt[5])/2

因而f1（n）=[(1+sqrt[5])/2]n-1, f2=[(1-sqrt[5])/2]n-1 是函数方程（1）的两个特解。通解则为 F[n]=f(n)=c1f1(n)+c2f2(n)=c1[(1+sqrt[5])/2]n-1 + c2[(1-sqrt[5])/2]n-1 代入初值条件f(1)=f(2)=1, 可得 c1+c2=1

c1[(1+sqrt[5])/2]+c2[(1 – sqrt[5])/2]=1

解得c1=1/sqrt[5][(1+sqrt[5])/2] c2= - 1/sqrt[5][(1- sqrt[5])/2], 故

F[n]=f(n)=

解：（2）、

雌鸟前10年是按照规律的等比数列增长，即a=2n-1。

从第11年开始，每一年都有十年前的鸟不育所以把每只鸟看成无限繁殖，最后再减去不育的那一部分即得到结果

an=2n-1 (0

an= (n>10)

Mathematica程序：

所以第30年共有第100年共有

只雌鸟 5.35822只雌鸟6.32587?

第n年时，即通项为：

an=2n-1 (0

an=

(n>11)

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