2012年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷-二次校对

www.zgxzw.com 中国校长网 2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件A与B互斥；则P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A与B相互独立；则P(AB)?P(A)P(B)

P(AB)P(B)如果A与B是事件，且P(B)?0；则P(AB)?

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足：(z?i)(2?i)?5；则z?（ ）

(A)?2?2i (B)?2?2i

i (C)???(D)???i

【解析】选D

(z?i)(2?i)?5?z?i?52?i?z?i?5(2?i)(2?i)(2?i)?2?2i

（2）下列函数中，不满足：f(2x)?2f(x)的是（ ）

(A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x?? (D)f(x)??x

【解析】选C

f(x)?kx与f(x)?kx均满足：f(2x)?2f(x)得：A,B,D满足条

件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） (A)3 (B)4 (C)? (D)? 【解析】选B

x y 1 1 2 2 4 8 4 3 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 4.公比为32等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11?16，则（ ） (A)4 (B)5 (C)? (D)? 【解析】选B

a3a11?16?a7?16?a7?4?a16?a7?q?32?log2a16?5

295.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选C x甲?15152(4?5?6?7?8)?6,x乙?15(5?3?6?9)?6

甲的成绩的方差为

(2?2?1?2)?2，乙的成绩的方差为

215(1?3?3?1)?2.4

22（6）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b?m 则“???”是“a?b”的（ ）

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件

(D) 即不充分不必要条件

【解析】选A

①???,b?m?b???b?a ②如果a//m；则a?b与b?m条件相同

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www.zgxzw.com 中国校长网 （7）(x2?2)(1x2?1)的展开式的常数项是（ ）

5 (A)?3 (B)?2 (C)? (D)? 【解析】选D

第一个因式取x2，第二个因式取

1x214得：1?C5(?1)?5

第一个因式取2，第二个因式取(?1)5得：2?(?1)5??2 展开式的常数项是5?(?2)?3 ????????3?（8）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转后，得向量OQ

4 则点Q的坐标是（ ） (A)(?72?, ) (B) (?72,22) (C) (?46,?2) (D)(?46,2)

【解析】选A

????34【方法一】设OP?(10cos?,10sin?)?cos??,sin??

55????3?3?),10sin(??))?(?72,?2) 则OQ?(10cos(??44?????????3?【方法二】将向量OP?(6,8)按逆时针旋转后得OM?(8,?6)

2??????????1??? 则OQ??(OP?OM)?(?72,?2)

2（9）过抛物线y2?4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF?3； 则?AOB的面积为（ ） (A)22 (B) 2 (C)

322 (D)22

【解析】选C

设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3 得：3?2?3cos??cos??1213 又m?2?mcos(???)?m?123222321?cos??32

?AOB的面积为S??OF?AB?sin???1?(3?)??322 （10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换

的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）

(A)1或3 (B)1或4 (C) 2或3 (D)2或4

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www.zgxzw.com 中国校长网 【解析】选D C6?13?15?13?2

2①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人

第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. ．．．．．．．．．．．．．．．．．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. ?x?0?（11）若x,y满足约束条件：?x?2y?3；则x?y的取值范围为_____

?2x?y?3?【解析】x?y的取值范围为_____[?3,0]

约束条件对应?ABC边际及内的区域：A(0,3),B(0,),C(1,1)

23则t?x?y?[?3,0]

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____ 【解析】表面积是_____92

该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱 几何体的表面积是

S?2?12?(2?5)?4?(2?5?4?4?(5?2))?4?92

22（13）在极坐标系中，圆??4sin?的圆心到直线??【解析】距离是_____

2?6(??R)的距离是_____

3 2圆??4sin??x?(y?2)?4的圆心C(0,2)

?60?23(??R)?x?3y?0；点C到直线l的距离是直线l:??2?3

??????（14）若平面向量a,b满足：2a?b?3；则a?b的最小值是_____ ??9【解析】a?b的最小值是_____?

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www.zgxzw.com 中国校长网 ???2?2??2a?b?3?4a?b?9?4a?b ?2?2??????????94a?b?4ab??4a?b?9?4a?b??4a?b?a?b??8（15）设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是_____ ①若ab?c2；则C??3 ②若a?b?2c；则C??2?3 ?2 ③若a3?b3?c3；则C? ④若(a?b)c?2ab；则C??3

⑤若(a2?b2)c2?2a2b2；则C?【解析】正确的是_____①②③

①ab?c?cosC?2

a?b?c2ab22222?2ab?ab2ab2?122?C??32

②a?b?2c?cosC? ③当C??2a?b?c2ab2?4(a?b)?(a?b)8ab?12?C??3

时，c2?a2?b2?c3?a2c?b2c?a3?b3与a3?b3?c3矛盾

?2 ④取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得：C? ?3 ⑤取a?b?2,c?1满足(a2?b2)c2?2a2b2得：C?

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)

设函数f(x)?22cos(2x??4)?sinx

2 （I）求函数f(x)的最小正周期；

?x?)?g(x) （II）设函数g(x)对任意x?R，有g(2，且当x?[0,?2]时， g(x)?12?f(x)；

求函数g(x)在[??,0]上的解析式。

22【解析】f(x)?cos(2x??4)?sinx?212cos2x?12sin2x?12(1?cos2x)?12?12sin2x

（I）函数f(x)的最小正周期T?2?2??

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www.zgxzw.com 中国校长网 （2）当x?[0, 当

g(x)?g(x??2]时，g(x)?x?[?12?f(x)?12sin2x

?2,0]12sin2x

时，(x??2??2 )?2)?12sin2(x??2)??当x?[??,??2)时，(x??)?[0,?2) g(x)?g(x??)?12sin2(x??)?12sin2x

??1?sin2x(??x?0)??22得：函数g(x)在[??,0]上的解析式为g(x)??

1??sin2x(???x?)??22（17）（本小题满分12分）

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后 该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用 的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n?m道 试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试 题库中A类试题的数量。 （Ⅰ）求X?n?2的概率；

（Ⅱ）设m?n，求X的分布列和均值（数学期望）。 【解析】（I）X?n?2表示两次调题均为A类型试题，概率为

nm?n1（Ⅱ）m?n时，每次调用的是A类型试题的概率为p?

2?n?1m?n?2

随机变量X可取n,n?1,n?2

P(X?n)?(1?p)?X P 214，P(X?n?1)?2p(1?p)?n 141212，P(X?n?2)?p?n?2 14214

n?1 1214 EX?n?14?(n?1)??(n?2)?n??n?1

答：（Ⅰ）X?n?2的概率为 （Ⅱ）求X的均值为n?1

n?1m?n?2m?n

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（18）（本小题满分12分）

平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?4，AB?AC?A1B1?A1C1?2，

5。现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使?ABC与?A1B1C1所在平面都

与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。

。

（Ⅰ）证明：AA1?BC； （Ⅱ）求AA1的长； （Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,A1O,A1O1 则AB?AC?AO?BC，面ABC?面BB1C1C?AO?面BB1C1C 同理：A1O1?面BB1C1C 得：AO//A1O1?A,O,A1,O1共面 又OO1?BC,OO1?AO?O?BC?面AOO1A1?AA1?BC （Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D?OA 得：O1D//OA?AD//OO1

?BC OO，面A1B1C1?面BB1C1C?OO1?面A1B1C1?AD?面A1B1C1 1? AA1AD?2DA?422?(2?1)2? 5中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 （Ⅲ）AO?BC,A1O?BC??AOA1是二面角A?BC?A1的平面角 在Rt?OO1A1中，A1O?OO1?A1O1?22224?2?25

222 在Rt?OAA1中，cos?AOA1?AO?A1O?AA12AO?A1O55??55

得：二面角A?BC?A1的余弦值为?（19）（本小题满分13分）

K]

。

设f(x)?ae?x1aex?b(a?0)

（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?1at32x；求a,b的值。

【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at?x?b?y??a?1at1at2?at?1at222

①当a?1时，y??0?y?at??b在t?1上是增函数

1a?b

得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a? ②当0?a?1时，y?at?1at?b?2?b

x 当且仅当at?1(t?e?（II）f(x)?ae?x1a,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2 11aexx?b?f?(x)?ae?aex

12?2?ae??b?3a??f(2)?322?????aee 由题意得：? ??3???f?(2)??ae2?1?3?b?1?22??ae2?2?（20）（本小题满分13分）

如图，F1(?c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)

的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，

a2过点F2作直线PF2的垂线交直线x?c于点Q；

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www.zgxzw.com 中国校长网 （I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程； （II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

xa22【解析】（I）点P(?c,y1)(y1?0)代入

b2?yb22?1得：y1?b2a

?04?0a PF1?QF2????1 ①

?c?c4?c 又

a2c?4 ② c?a?b(a,b,?c0③)

222 由①②③得：a?2,c?1,b?b3 既椭圆C的方程为

2x24?y23?1

（II）设Q(ay?0a?2??1?y2?2a ,y2)；则PF1?QF2?2?c?cac?cc22cxya?? 2?2?1?y?2aaab?cc2?02a?b2 得：kPQb?2ba22?22ba22x22x?y?? x2b?ba 过点P与椭圆C相切的直线斜率k?y? 得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

x??c?ca?kPQ

2* 数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N)

（I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。 【解析】（I）必要条件

2 当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列

充分条件

22 数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x1?x1?c?c?x1?0

得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0

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www.zgxzw.com 中国校长网 （II）由（I）得：C?0

①当c?0时，an?a1?0，不合题意

②当c?0时，x2?c?x1,x3??c2?2c?x2?c?0?c?1

22 xn?1?xn?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?c

22 xn?2?xn?1??(xn?xn)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1) ?1当c?14时，xn?c?12?xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?1与xn?1?xn同号，

由x2?x1?c?0?xn?2?xn?0?xn?1?xn

limxn?1?lim(?xn?xn?c)?limxn?n??n??n??2c 当c?14时，存在N，使xN?12?xN?xN?1?1?xN?2?xN?1与xN?1?xN异号

与数列{xn}是单调递减数列矛盾 得：当0?c?

14时，数列{xn}是单调递增数列.

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