历年中考数学动点问题专集(全)【含答案】

中考动点专题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中

1

以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.

1 以双动点为载体，探求函数图象问题

例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；

(2)写出图3中M，N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2 以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求∠BAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

解(1)∠BAO=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3 以双动点为载体，探求存在性问题

例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯

2

3 形PQCN 的面积都相等?若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.

评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t 的代数式表示PM ，进而利用梯

形面积相等列等式求出t 与a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围. 第(4)小题

是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.

4 以双动点为载体，探求函数最值问题

例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC

上的两个动点，它们分别从点A 、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E

作EH 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt △ACD

的直角边于G ，连结HG 、EB.设HE 、EF 、FG 、GH 围成的图形面积为，AE 、EB 、BA 围成的图形面

积为这里规定：线段的面积为0).E 到达C ，F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s)，

解答下列问题：

(1)当0

(2)①若y 是与的和，求y 与x 之间的函数关系式； (图10为备用图)

②求y 的最大值.

解 (1)以E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以

AC=16，过B 作BO ⊥AC 于

O ，则OB=89，因为AE=x ，所以，因为HE=AE=x ，EF=16-2x ，所以-2x)， 当时， 4x=x(16-2x)，解得x 1=0(舍去)，x 2=6，所以当x=6时，

(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x ，

当8≤x≤16时，AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y 的最大值为50.

当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以当x=13时，y 的最大值为82.

综上可得，y 的最大值为82.

评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、

领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而

构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实

的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类

讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点

为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=）

⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四

边形为平行四边形，求D 点的坐标；

⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB

4 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情

况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．

的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨

论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2y ax bx c =++

经过02P E ?? ? ???及原点(00)O ，

． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC

下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B

点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相

5 似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形

OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△

练习2、如图，四边形OABC 点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。已知折叠CE =3

tan 4

EDA ∠=

。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数

2

(0)y a x b x c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点

B 的左边），与y 轴交于点

C ，其顶点的横坐标为1，且过点

(23)，和(312)--，．

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++）

（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达

式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，

，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角

PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

6

练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴

交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标．

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G

三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C

，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4

BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944

y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相

似（不包括全等），并求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设A P D Q m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，

如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由． 参考答案

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-=

∵抛物线过原点，

∴1)20(a 02+-= ∴41a -=. 抛物线的解析式为1)2x (41y 2+--=,即x x 41y 2+-=

⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形

O

x

7 时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4

102+--=得4x ,0x 21==,

∴B(4,0),OB ＝4.

∴D 点的横坐标为6

将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3,

∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边

形,此时D 点的坐标为(－2,－3), 当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝

∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)

∴直线OP 的解析式为x 21y -= 由x x 41x 212+-=-,

得6x ,0x 21==

.∴P(6,－3)

过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3,

∴PB ＝13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,

∴△PBO 与△BAO 不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点.

所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似.

练习1、解：（1）由已知可得：

3375040a a c ?+=??=??=??

解之得，203a b c =-==，．

因而得，抛物线的解析式为：223y x x =-+． （2）存在．

8 设Q 点的坐标为()m n ，

，则2233

n m =-+

， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△

=

2233m m +=

解之得，12m m ==

当1m =2n =，即为Q

点，所以得2)Q 要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△

，则有33n -=

223333m +=

解之得，12m m =

m =时，即为P 点，

当1m =3n =-

，所以得3)Q -． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．

Q

点的坐标为2)3)-． （3）在Rt OCP △

中，因为tan 3

CP COP OC ∠=

=．所以30COP ∠=． 当Q

点的坐标为2)时，30BPQ COP ∠=∠=． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=．

因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形． 又在Rt OAQ △

中，因为tan 3

QA QOA AO ∠=

=．所以30QOA ∠=． 即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠=． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠=， 所以OQA OQP △≌△．

练习2

图1

9 解：（1）OCD △与ADE △相似。

理由如下：

由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，

1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠，

又90COD DAE ∠=∠=∵°，

OCD ADE ∴△∽△。

（2）3tan 4

AE EDA AD ∠=

=∵，∴设AE=3t ， 则AD=4t 。

由勾股定理得DE=5t 。 358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴。

由（1）OCD ADE △∽△，得

OC CD AD DE

=， 845t CD t t =∴， 10CD t =∴。

在DCE △中，222CD DE CE +=∵，

222(10)(5)t t +=∴，解得t=1。

∴OC=8，AE=3，点C 的坐标为（0，8），

点E 的坐标为（10，3），

设直线CE 的解析式为y =kx +b ，

1038k b b +=??=?，∴，解得128k b ?=-???=?，， 182

y x =-+∴，则点P 的坐标为（16，0）。 （3）满足条件的直线l 有2条：y =－2x +12，

y =2x －12。

如图2：准确画出两条直线。

10 练习3

解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，，

∴由1242393212.b a a b c a b ?-=??++=??-+=-??

，， 解得123.a b c =-??=??=?，，

∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++．

（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D

，，为顶点的三角形与BAC △相似．

在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1

13x x =-=，

(10)(30)A B ∴-，，，． 令0x =，得3y =．(03)C ∴，．

设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E 点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(-4345.AB OB OC OBC ∴===∠=，，

BC ∴==．

要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，

已有B B ∠=∠，则只需BD

BO BC

BA =， ① 或.BO

BD

BC BA =

② 成立．

若是①，则有344

BO BC

BD BA ?===． 而45OBC BE DE ∠=∴=，．

∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2

22222BE DE BE BD +===??

．

解得 94BE DE ==（负值舍去）．

11 93344

OE OB BE ∴=-=-=． ∴点D 的坐标为3944?? ???

，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．

∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．

［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为

3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立

33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944?? ???

，．］

若是②，则有BO BA BD BC ===． 而45OBC BE DE ∠=∴=，． ∴在Rt BDE △

中，由勾股定理，得2222

22BE DE BE BD +===． 解得 2BE DE ==（负值舍去）．

321OE OB BE ∴=-=-=．

∴点D 的坐标为(12)，．

将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．

∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．

∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为

顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944?? ???

，或(12)，． （3）设过点(03)(10)C E ，，

，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，

的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．

12

设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．

512x y ∴==-，． ∴点P 的坐标为(512)-，．

此时，锐角PCO ACO ∠=∠． 又二次函数的对称轴为1x =，

∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，． ∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；

当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠； 当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠． 练习四

解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =-

∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-

（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45

∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45

过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3

∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11

2123422

??+??=

(3)． 假设存在

∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC

∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90

13 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC

在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A

P=

设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m -

①点M 在y 轴左侧时，则1m <-

(ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有

AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=21m -

2= 解得11m =-（舍去） 223m =

（舍去） (ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG PA 即

2=解得：1m =-（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-

② 点M 在y 轴右侧时，则1m >

(ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有AG PA =MG CA

∵A G=1m +，MG=21m -

∴

2= 解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47(,)39

(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有

AG CA =MG PA

即

2= 解得：11m =-（舍去） 24m =

∴M (4,15)

∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似

M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39

，(4,15)

14

练习5、

解：（1）点(30)A -，，(10)C ，

4AC ∴=，3

tan 434

BC BAC AC =?=?=∠，B 点坐标为(13)，

设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，

由0(3)3k b k b =?-+??=+? 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为

y =（2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ，

在Rt ABC △和Rt ADB △中， BAC DAB =∠∠ R t R

t A B

C A

D B ∴△∽△，

D ∴点为所求又4

tan tan 3

ADB ABC ==∠∠，

49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷

=∠134OD OC CD ∴=+=，1304D ??

∴ ???

，

（3）这样的m 存在

在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB =如图1，当PQ BD ∥时，△则

1334135

34

m

m

+

-=+，解得259m =

如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△

则

13

34135

34

m

m

+

-=+

，解得12536m = 例1(2008福建福州)如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：

（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 分析:由t ＝2求出BP 与BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状;

作QE ⊥BP 于点E,将PB,QE 用t 表示,由BPQ S ?=2

1

×BP×QE 可得

S 与t 的函数关系式;先证得四边形EPRQ 为平行四边形,得PR=QE,

再由△APR ∽△PRQ ,对应边成比例列方程,从而t 值可求.

解:(1)△BPQ 是等边三角形,

图1

图2

15 当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,

即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.

(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2t ,得QE=2t·sin600=3t,

由AP=t,得PB=6-t,所以BPQ S ?=21×BP×QE=2

1(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,

所以△QRC 是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.

因为BE=BQ·cos600=2

1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EP=QR,又EP ∥QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,

由△APR ∽△PRQ,得到RQ PR PR AP =,即t

t t t 2633-=,解得t=56, 所以当t=5

6时, △AP R ∽△PRQ. 点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量

大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察

和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊

关系,动中取静,静中求动.

例2(2008浙江温州)如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是

边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作

QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求

点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x

（3）是否存在点P ，使PQR △满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

分析:由△BHD ∽△BAC,可得DH;由△RQC ∽△ABC,可得 y 关于x 的函数关系式;由腰相等列方程可得x 的值;注意需分类讨论解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．

点D 为AB 中点，132

BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC

∴=， ∴5

128103=?=?=AC BC BD DH （2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴

△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365

y x =-+． （3）存在.按腰相等分三种情况：

①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =． A

B C D E R P

H Q M 2

1

16 1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．

84cos 1cos 105

C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ??-+ ???∴=，185

x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655

x -+=， 6x ∴=． ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，

于是点R 为EC 的中点，

11224

CR CE AC ∴===． tan QR BA C CR CA

==， 366528

x -+∴=，152x ∴=． 综上所述，当x 为185或6或152

时，PQR △为等腰三角形． 点评:建立函数关系式,实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示;要求使PQR △为等

腰三角形的x 的值,可假设PQR △为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没

有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反

映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的

一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析

式呢?下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动

点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请

指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值

范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、

GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是

GH=32NH=2

132?

OP=2.

H Q H M

N

G P O A B 图1 x y

17

(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362

1

21x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,

.

∴y =GP=

32MP=23363

1

x + (0

①GP=PH 时,x x =+23363

1

,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题

意.

②GP=GH 时, 23363

1

2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与

x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠

CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴AC

BD CE

AB =,

∴

11x y =, ∴x

y 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2

90α

-?,且函数关系式成立,

∴2

90α

-?=αβ-, 整理得=-

2

α

β?90.

当=-

2α

β?90时,函数解析式x

y 1

=

成立.

例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠

2

22223362

1

419x x x MH PH MP +=-+=+= A

E

D C

B 图2

3(1)

18 ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,

交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于

点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它

的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.

根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE

∽△AEP.

(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴

53x OD =,5

4x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 5

8. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 5

85458=. ∴x y 516= (8250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,

∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.

∴5-x 58=4,得8

5=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.

类似①,可得CF=CE.

∴5-x 58=2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点

O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为

y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,

△AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. A 3(2) A B

C O 图8 H

19

C ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2

1BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ?=?2

1, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=

x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-

. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=

x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为

617或21.

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与

特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊

位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三

角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就

此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题

（一）点动问题．

1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，

以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ．

（1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长；

（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

[题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,

典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上

改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成

了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的

存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．

20 A B C D E O l A ′ A B C

D E O l F

[区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程．

3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.

[ 略解]

解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴BE

CD BD CF = ，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法x

CF 32=， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，x

x 321010+-=，24=x ； 内切，x

x 321010--=，17210±=x ．100<

（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，3

20=

BE ． 类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、

⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题．

（二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD

于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇

重合，求BC 的长；

(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；

②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4

3长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请

说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制

得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．

[区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法． 2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.

[ 略解]

21

(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝

2

1AC ∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC

(2)①92

+=x AC ，9412+=x AO ，)9(12

12

+=x AF ，x x AE 492+=

∴AF 2

1

?=?AE S AEF

x x 96)9(22+=

，x x x S 96)9(322+-= x

x x S 9681

27024-+-= (333<

②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-

x x ，01=x (舍去)，582=x ∵35

82<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切． [类题]09虹口25题． （三）面动问题

如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求ABC ?的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当BDG ?是等腰三角形时，请直接写出AD 的长． [题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]

图3-5

图3-4

图3-3

图

3-1

C C C C

C

1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别

C

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vyle.html