高三数学专题复习-数列(2)求和及经典练习（含答案）

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高三数学专题复习数列（2）求和及经典练习（含答案）

一、公式法:

利用以下公式求数列的和 1.Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d (?an?为等差数列) 22a1(1?qn)a1?anq2.Sn? (q?1)或Sn?na1(q?1)(?an?为等比数列) ?1?q1?qn(n?1)(2n?1)

6n(n?1)2] 等公式 4.13?23?33?????????n3?[23.12?22?32?????????n2?例已知数列?an?，其中a1?1,a2?3,2an?an?1?an?1?n?2?，记数列?an?的前n项和为Sn，数列

?lnSn?的前n项和为Un，求Un。

解：由题意，?an?是首项为1，公差为2的等差数列前n项和Sn?1?1?2?n?1?2?n?n2，lnSn?lnn?2lnn

2Un?2?ln1?ln2???lnn??2ln?n!?

二、分组求和法

???????对于数列?an?，若an?bn?Cn且数列?bn?、?cn?……都能求出其前n项的和，则在求?an?前n项和时，可采用该法

例如：求和：Sn?0.9?0.99?0.999?0.9999????????0.9????9 ??n个9 解：设an?0.9?????????9?1?10?n ??n个9 ?Sn?a1?a2?a3?a4????????an

?(1?10?1)?(1?10?2)?(1?10?3)?(1?10?4)????????(1?10?n) ?(1???1???????????1)?(10?1?10?2?10?3?10?4????????10?n) ??n个1相加1 ?n?(1?10?n)

9三、倒序相加法（或倒序相乘法）

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将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an)，Sn

表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。

1．倒序相加法例设f(x)?12?2x，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得

。

f(?5)?f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)的值为： 1x?2112x2解：因为f（x）=x，∴f（1－x）=1?x ??xx2?22?22?2?22?211x1?2x1?2(2?2x)112222∴f（x）+f（1－x）=. ?????xxxx22?22?22?22?22设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）

∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=62 ∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=32. 2．倒序相乘法

例如：已知a、b为两个不相等的正数，在a、b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，

b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积pn

解：设插入的这n个正数为a1、a2、a3、……an且数列a、a1、a2、a3、……an、b成等比数列

则ab?a1?an?a2?an?1???????

? pn?a1?a2?a3??????an……① 又pn?an?an?1?an?2??????a1 ……②

2n由①?②得 pn b?(aa)(aa?)????(?aa)?(a)1n2?n1n1

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?pn?(ab) 四、错位相减法

对于数列?an?，若an?bn?cn且数列?bn?、等比数列时，求该数列?an??cn?分别是等差数列、前n项和时，可用该方法。一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，就是错位相减法。例已知数列?an?：an?(2n?1)?3n，求数列?an?前n项和Sn 解：Sn?1?31?3?32?5?33????????[2(n?1)?1]?3n?1?(2n?1)?3n 在上式两边同乘以(或除以)等比数列3n的公比3，得

n2??3Sn?1?32?3?33?5?34????????[2(n?1)?1]3n?(2n?1)3n?1 由①～②（两等式的右边错位相减）

2Sn?1?31?(3?32?1?32)?(5?33?3?33)?????(2n?1)3n?[2(n?1)?1]3n?(2n?1)3n?1 ?1?31?2?32?2?33?????2?3n?(2n?1)3n?1 ?1?31?2(32?33?????3n)?(2n?1)3n?1 ?3?(3n?1?9)?(2n?1)?3n?1?(2?2n)3n?1?6 ∴Sn?(n?1)?3n?1?3 五、裂项相消法

对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩

??下有限项，可得出前项和公式．它适用于c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有： 1．

1111111???(?)

n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k型（其中{}是各项不为0的等差数列，

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2．

1111?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?11111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)11?(n?k?n)

n?k?nk1a?b3．

4．还有：an?f(n?1)?f(n)；

?1a?b(a?b)；