中考数学压轴题精选及答案

中考数学压轴题100题精选

【001

】如图，已知抛物线2

(1)

y a x

=-+a≠0）经过点(2)

A-，0，抛物线

的顶点为D，过O作射线OM AD

∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，

设点P运动的时间为()

t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB

=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，

分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

1

2 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是

；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE 经过点C 时，请直．接．写出t 的值．

图16

【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，

同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时

间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作

EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段

EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值。

3

4 【004】如图，已知直线128:33

l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶 点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向 以每秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重 叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

（第26题

5 【005】如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =?∠.

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.

①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

A D E

B F

C 图4（备用） A D

E B F

C

图5（备用）

A D E

B F

C 图1 图2 A

D

E B

F C P N M 图3

A D

E B

F C P N

M （第25题）

6 【006】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45

。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线

与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD

为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

7 【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），

点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

8

9

【009】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数

k

y x

=

的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于

点K ，连接CD ．

（1） 若点A B ，在反比例函数k

y x

=

的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数k

y x

=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．

)

【010】如图，抛物线23

，两点，与y轴交于C点，且

=+-与x轴交于A B

y ax bx

经过点(23)a

，，对称轴是直线1

-

x=，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P A C N

，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线3

=-+与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E

y x

（不与B D

，，三点的圆交直线BC于点F，

，重合），经过A B E

试判断AEF

△的形状，并说明理由；

（4）当E是直线3

=-+上任意一点时，（3

y x

（请直接写出结论）．

10

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D

第24题图①

D

E

第24题图②第24题图③

11

12 【012】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．

（2） 过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线

上，说明理由．

【013】如图，抛物线经过(40)(10)(02)

，，，，，三点．

A B C-

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x

⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC

△相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA

△的面积最大，求出点D 的坐标．

13

14 【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.

（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；

（3）设M B N ?的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.

(第26题)

x

7)，且顶点C的横

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，3

9

坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

15

16 【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：

123S S ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

17 【017】如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两 点，顶点为D ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；

3） 设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．

（第26

【018】如图，抛物线24

=+-经过(10)

y ax bx a

C，两点，

A-，、(04)

与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)

，在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点

D m m+

的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且45

∠=°，求点

DBP

P的坐标．

18

19 【019】如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF

为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF

—EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO

(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由

(2)令；四边形四边形CNMN CFGH

S S m ，请问m 是否为定值？若是， 请求出m 的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝3

1，Q 为AE 上一点且QF ＝3

2， 抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC

上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重

合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系

为，数量关系为。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）

3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF

相交于点P，求线段CP长的最大值。

20

21 【021】如图，点P 是双曲线1

1(00)k y k x x =<<，上一动点，过点P 作x 轴、y

轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =

x k 2 （0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点．

（1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；

（2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．

①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； ②记2PEF OEF S S S ??=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明

理由。

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