信号分析习题

1. 三角波脉冲信号如图1-1所示，其函数及频谱表达式为

/2

求：当时，求的表达式。

??2A????????当??t?0??2?dx(t)??2A解：x1(t)?????????当0?t???函数图形见图1-5所示。dt2????0????????????当t???2?

图1-5

X1(f)?(j2?f)?X(f)?????????????j2?f??A2sinc(2?f?2

)2. 一时间函数f（t）及其频谱函数F（ω）如图1-2所示已知函数

，示意画出x（t）和X（ω）的函数图形。当

时，X（ω）的图形会出现什么情况？（

角频率）

为f（t）中的最高频率分量的

解：见图1-6所示。图（a）为调幅信号波形图，图（b）为调幅信号频谱图。当 两边图形将在中间位置处发生混叠，导致失真。

时，

bb3. 图1-3所示信号a（t）及其频谱A（f）。试求函数f(t)?a(t)?(1?cos2?f0t)的傅氏

变换F（f）并画出其图形。

解：由于

f(t)?a(t)?(1?cos2?f0t)?????????a(t)?a(t)?cos2?f0t

???a(t)???A(f)并且

1

???cos2?f0t???[?(f?f0)??(f?f0)]21F(f)?A(f)?A(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]2所以

11??????????A(f)?A(f?f0)?A(f?f0)22F（f）的频谱图见图1-7所示：

?

4.求图1-4所示三角波调幅信号的频谱。 解：图1-8所示调幅波是三角波与载波 cos?0t 的乘积。两个函数在时域中的乘积，对应其在频域中的卷积，由于三角波频谱为：

?2sinc2(?f?2)

余弦信号频谱为[?(f?f0)??(f?f0)] 卷积为

12?2sinc2(?f???(f?f0)??(f?f0)1?)?[?(f?f0)??(f?f0)]?[sinc2?sinc2] 22422??例1.判断下列每个信号是否是周期的，如果是周期的，确定其最小周期。 （1）f(t)?2cos(3t?) （2）f(t)?[sin(t?)]2

46（3）f(t)?[cos(2?t)]?u(t) （4）f(t)?sin?0t?sin2?0t 解：（1）是周期信号，Tmin?2?；（2）是周期信号，Tmin??； 3（3）是非周期信号，因为周期函数是定义在(??,?)区间上的，而f(t)?[cos2?t]u(t)是单边余弦信号，即t>0时为余弦函数，t<0无定义。属非周期信号； （4）是非周期信号，因为两分量的频率比为1，非有理数，两分量找不到共同的重复周期。2但是该类信号仍具有离散频谱的特点（在频域中，该信号在???0和??2?0处分别有两条仆线）故称为准周期信号。

例2.粗略绘出下列各函数的波形（注意阶跃信号特性）

（1）f1(t)?u(?t?3) （2）f2(t)?u(?2t?3) （3）f3(t)?u(?2t?3)?u(?2t?3) 解：（1）f1(t)是由阶跃信号u(t)经反折得u(?t)，然后延时得u[?(t?3)]?u(?t?3)，其图形如下(a)所示。

?2t(?（2）因为f2(t)?u(?2t?3)?u[32)其]波形如下图(b)所示。。（这里应注意

u(2t)?u(t)）

（3）f3(t)是两个阶跃函数的叠加，在t??图(c)所示。

3时相互抵消，结果只剩下了一个窗函数。见下2

例3. 粗略绘出下列各函数的波形（注意它们的区别）

（1） f1(t)?sin?(t?t0)?u(t)；（2）f2(t)?sin?t?u(t?t0)（3）f2(t)?sin?(t?t0)?u(t?t0) 解：（1）具有延时的正弦函数与单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(a)所示。 （2）正弦函数与具有延时的单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(b)所示。

（3）具有延时的正弦信号与延时相同时间的阶跃信号的乘积。其波形如下图(c)所示。

例4.从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为（0，-1），振幅为2，周期为4π，求该正弦波的表达式。

解：已知幅值X=2，频率?0?2?2???0.5，而在t=0时，x=-1，则将上述参数代入一般T4?表达式x(t)?X?sin(?0t??0) 得?1?2sin(0.5t??0)；?0??30o 所以x(t)?2sin(0.5t?30?)

例5.设有一组合复杂信号，由频率分别为724Hz，44 Hz，500 Hz，600 Hz的同相正弦波叠加而成，求该信号的周期。

解：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数则：

244,??724,??500,??600 222??????????????????而 T??????????????????????????????????所以该信号的周期为0.25s。

11??0.25(s) f4例6．利用?函数的抽样性质，求下列表示式的函数值：

（1） f(t)?e?3t?1?(t); （2）f(t)?2u(4t?4)?(t?1); （3） f(t)?（5） f(t)?d?t[e??(t)]; （4）f(t)?????f(t0?t)??(t?t0)dt; dt??????(t2?4)dt; （6）f(t)???(1?cost)??(t?)dt; ??2解：?函数是一类应用广泛的重要函数。在卷积运算、傅立叶变换及测试系统分析中，利用它可以简化许多重要结论的导出。本例题的目的在于熟悉并正确应用?函数的性质。

?3t?1（1）由于f(t)???(t)???f????????t)?f(t)?e?(t)?e?1?(t)则f(t)?e?3t?1?(t)?e?1?(t)

（2）

f(t)?2u(4t?4)?(t?1)11??这里应注意：u(0)?[u(0)?u(0)]?

?????????2u(0)??(t?1)??(t?1)22f(t)??????f(t0?t)??(t0?t)dtf(0)??(t?t0)dt?f(0)

????????????f(t)???d?t[e?(t)]dt（3）

d?????????[?(t)]??'(t)dt（4）

f(t)??????f(t0?t)??(t0?t)dtf(0)??(t?t0)dt?f(0)

??????????????

（5）

f(t)???(t2?4)dt???????????????(t?2)????(t?2)??dt?2???

这里应注意信号?(t2?4)的含义，由于?(t)表示t=0时有一脉冲，而在t?0时为零。所以?(t2?4)就表示当t=±2时各有一脉冲，即?(t2?4)??(t?2)??(t?2)。

（6）

f(t)??(1?cost)?(t?)dt??2???????????t??)dt?1??2????

例7.已知一连续时间信号x（t）如下图(a)所示，试概括的画出信号x(2?)的波形图。

t3

解：x(2?)是x（t）经反折，尺度变换并延时后的结果。不过三种信号运算的次序可以任意编排，因此该类题目有多种解法。以下介绍其中的两种求解过程。 方法一 信号x（t）经反折→尺度变换→延时

（1） （2）

反折：将x（t）反折后得x（-t），其波形如图(b)所示。

尺度变换：将x（-t）的波形进行时域扩展的x(?)。其 波形如图(c)所示。

t3t3（3）

延时：将x(?)中的时间t延时6，得x[?(t?6)]其波形如图(d)所示。

t3t3方法二 信号x（t）经尺度变换→反折→延时。 （1） （2） （3）

尺度变换：将x（t）在时域中扩展，得x()。其波形如图(e)所示。 反折：将x()反折，得x(?)，其波形如图(f)所示。

延时：将x(?)中的时间t延时6，即将原波形向右平移6，得x[?(t?6)]。同样可得变换后的信号x(2?)。其波形如图(g)所示。

例8.已知e(t)和h(t)的波形图如下图(a),(b)所示，试计算e(t)与h(t)的卷积积分。

t3t3t3t3t3t3e(t)?h(t)??e(?)h(t??)d?

???

解：（1）反折：将e(t)与h(t)的自变量t用τ替换。然后将函数h(?) 以纵坐标为轴线进行反折，得到与h(?)对称的函数 。见图(c)所示。

（2）平移：将函数h(t??) 沿τ轴正方向平移时间t，得函数h(t??) 。（注意，这里的t是参变量），见图(d)所示。

（3）相乘并取积分：将h(t??) 连续地沿τ轴平移。对于不同的t的取值范围，确定积分上、下限，并分段计算积分结果。 以下进行分段计算：

（a）当???t??所以 e(t)?h(t)?0

（b）?1时，h(t??) 的位置如图(e)所示。这时h(t??)与没有重合部分。211?t?1时，的位置如图(f)所示。这时h(t??)与 e(?)的图形重叠区间为?至22t1t2t1t。把它作为卷积积分的上、下限，得：e(t)?h(t)??11?(t??)d????

?244162（c）1?t?31时（即t?1，并且t?2??时），则的位置如图(g)所示，这时的图形重22叠区间为（?t1133，1），把它作为卷积积分的上、下限，得e(t)?h(t)??11?(t??)d??t?

?224162（d）

31?t?3时，（即t?2??，同时t?2?1），由图(h)可知积分区间为（t-2，1）。2211t2t3得 e(t)?h(t)??1?(t??)d?????

t?22424（e）3?t??时，h(t??)与e(?)无重叠部分，见图(i)所示，这时e(t)?h(t)?0

1?0????????????????????当????t???2?2?t?t?1????当?1?t?1??????????????44162?3?3t3e(t)?h(t)????????????当1?t?????归纳以上结果得

4162??t2t33??????当?t??????????????4242??0????????????????????当t??????????? 卷积结果见图（j）所示。

例9.求下图所示锯齿波信号的傅立叶级数展开式。

f(t)t

解：锯齿波信号表达式为（一周期内） ?0?由公式得

2? T1Ta0??2Tf(t)dtT?2??????1Tt1dt?T?0T2

2Ttcosn?0tdt?0 ?0TT2Tt1????bn??sinn?0tdt??

T0Tn?2?11111所以 f(t)??(sin?0t?sin2?0t?sin3?0t???sinn?0t)式中 ?0?

T2?23n?an?例10.周期性三角波信号如下图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

解：先把信号展开为傅立叶级数三角形式为

1TE222Tf(t)dt?T??23102221T22122?[?TE(1?t)dt??E(1?t)dt]2T?2TT0TE??0.577E3E4E11f(t)??2(cos?1t?2cos3?1t?cos5?1t??)

2?35显然，信号的直流分量为a0?信号的有效值为

11T22[?Tf(t)dt]2T?2

E14E 基波分量有效值为?2?0.287E 22?1021?[?TE2(1?t)2dt?T?2TTE??0.577E3?T20221E(1?t)dt]2

T221TE2信号的平均功率为?2Tf(t)dt?

?T23例11. 周期矩形脉冲信号f（t）的波形如下图所示，并且已知τ=0.5μs，T=1μs，A=1V，则问；该信号频谱中的谱线间隔Δf为多少？信号带宽为多少？

解：（1）谱线间隔：：

????1?（2）信号带宽

2?2?11??6?2??106或 ?f?f1???6?1000(kHz) T110T110B(?)?2???2?116?4??10B(f)???2000(kHz) 或 ?6?60.5?10?0.5?10

例12.求指数衰减振荡信号f(t)?(e?atsin?0t)?u(t)的频谱。

解：由于(e?atsin?0t)?u(t)?1?atj?0t?j?0t1 e(e?e)?u(t) 并且F[e?at?u(t)]?2ja?j?F[e?atej?0t?u(t)]?于是可得

1a?j(???0)1a?j(???0)

F[e?ate?j?0t?u(t)]?利用傅立叶变换的线形性质可得

F[e?atsin?0t?u(t)]????????????????????????????????111[?]2ja?j(???0)a?j(???0)?0(a?j?)2??02

例13.已知F(?)??(???0)，试求f（t）。

解：利用傅立叶变换的对称性可求得f（t）。将题中给定的F（ω）改写为f（t），即

F(t)??(t??0)

F[F(t)]?F[?(t??0)]根据定义

????????????????(t??0)ej?t?dt???

???????????????e?j?0t????????????函数抽样性质）?于是

F[F(t)]?2?f(??)???????对称性质）?????????????????e?j??0

将上式中的（-ω）换成t可得2?f(t)???e例14. 已知f(t)??cos??t?解：因为

?j?0t?，所以有f(t)???j?0t?e?? ??????，试求其频谱F（ω）

1j?1?j?j4t3cos??t??????e?e?e3?e?j4t

?22?利用频移性质可得

F(ej4t)?2??(??4)F(e?j4t)?2??(??4)j

于是F[?cos??t????3????????e?(??4)??e?j?3?(??4)

例15.求下图（a）所示三角脉冲信号的频谱。三角脉冲的分段函数表示为

???2A(t?)??????????当???t?????22????2Ax(t)???(t?)???????当???t??

?22?????????????????????????????当t????2?

解：方法一、 按傅氏变换的定义求解。因为x（t）是偶函数，傅氏变换为：

?X(f)??x(t)?cos2?ftdt??????????????2?2?02A?(t?)cos2?ftdt?2?????????????????????????????????????4A?4A[?2tcos2?ftdt?0??202??tcos2?ftdt]??4A[sin2?ft??2012?f?201(cos2?ft??1)?(2?f)224A1?????????????(1?2sin2?1)2?(2?f)???f????????????sinc()?2?x（t）的幅值频谱如图(b)所示。 方法二、 利用卷积定理求解。

??2sin2?ftdt?sin2?ft?0]

4?f?三角脉冲x（t）可以看成两个等宽矩形脉冲x1?t?和x2?t?的卷积。如下图所示。

因为

??f?X1?f??sinc()22

?2A?f?X2?f????sinc()2?2根据时域两函数的卷积对应频域函数的乘积：

X?f??X1?f??X2?f?x(t)?x1(t)?x2(t)所以X?f???A?f?f??Asinc2(?f?)sinc2(X?) ?2222例1.求余弦信号x(t)?Xcos?t的绝对值解：绝对均值为

?x和均方根值xrms。

1Tx(t)dt?0T1T2Xcos?tdt? ??????T?0T?x??T4T?4Xcos?tdt

??????均方根值为

2Xsin?tT?T4?T4?2X?0.636X?xrms?2x?2x1T2??x(t)dtT?0

1TX2T22??????(Xcos?t)dt?cos?tdt??00TTX2T1X2??????(1?cos2?t)dt?T?022所以 xrms?X?0.707X 2例2.已知某信号的自相关函数Rx(?)?100cos100??，试求：（1）该信号的均值?x；（2）均方值?x ；（3）功率谱

2Sx(f) 。

解：（1）由于Rx(?)?100cos100??为周期不衰减的函数，则原信号x(t)应为同频率的正弦信号，即x(t)?Asin100?t。根据信号均值的定义得?x?（2）根据自相关函数的性质可知Rx(0)所以 ?x（1）

21T?T0Asin100?tdt?0

??2x

?Rx(0)?100cos(100?t?0)?100

自相关函数与自谱是一对傅立叶变换对关系，并且

F(cos2?fot)?1[?(f?fo)??(f?fo)] 2fo?50式中

?Sx(f)?F[Rx(?)]??????????????F[100cos100??]???????????????????f???????f?????642

例3. 已知某信号的自相关函数为Rx(?)?方根值xrms。 解：因为?x2?sin(502?)，试求该信号的均方值?x及均

2?Rx(0)

642Rx(?)?并且

?sin(502?)???????????6400sin(502?)502???0

???2x?Rx(0)?lim6400???xrms??2x?sin(502?)?6400502?1?2a?求它的自功e???cos2?fo?????(a?0)，

46400?80例4. 已知某信号的自相关函数为Rx(?)?率谱密度函数 。

Sx(f)??Rx(?)?e?j2?f?d?????1?2a??j2?f??e?ed???4解：根据自谱定义： 10(2a?j2?f)?1??(2a?j2?f)?????????????ed???ed???044111a???????????(?)?42a?j2?f2a?j2?f4a2?(2?f)2????????????例5.某信号的自相关函数为Rx(?)?解：由上例知 F(e1?2a?e?cos2?f0?求信号的自谱，并画出它们的图形。 414?2a?)?a 2224a?4?f1[?(f?fo)??(f?fo)] 2并且，cos2?fo?的傅立叶变换为F(cos2?fo?)?两信号在时域中的乘积的傅立叶变换，等于该信号的傅立叶变换在频域中的卷积，即：

1?2a?1?2a?F(e?cos2?f?)?F(e)?F(cos2?fo?) o44a1)?[?(f?fo)??(f?fo)]4a2?4?2f22所以，该信号的自谱为：

1aa???????????[2?2]222224a?4?(f?fo)4a?4?(f?fo)Sx(f)?(其自谱如下图所示

例6.已知均值为零的信号1x(t)的自相关函数为Rx(?)，则当x(t)??x?x1(t)时，求

1。 Rx(?)的表达式（式中，?x为 x(t) 的直流分量）解：按定义

T1Rx(?)?limx(t)?x(t??)dtT??2T??TT1???????????lim[?x?x1(t)][?x?x1(t??)]dt

T??2T??T2????????????x?Rx1(?)例7.测得某信号的自相关函数图形如下所示，试分析该图形是Rx(?) 图形还是Rxy(?)图形？为什么？从中可获得该信号的那些信息？

解：由相关分析可知，自相关函数Rx(?)是一个偶函数，它在Rx(0)有最大值；互相关函数

Rxy(?)是非偶函数它在Rxy(0)也不一定为最大。因为图中图形为非偶函数图形，且

R(0)?最大，所以，该图形是互相关函数Rxy(?)的图形。由图中还可获知，信号 x(t) 与

y(t)是两个同频的周期信号，圆频率为ω；均值为零。对应的信号幅值为xo?,yo，两信号

相位差φ。用公式表示为

xo??yo?A?2??? T2??1??T例8.下图所示两信号x?t?和y?t?，求当τ=0时，x?t?和y?t?的互相关函数值Rxy(0)。并说明理由。

解：由于方波信号y?t?的傅立叶级数展开式为

x(t)?411(sin?0t?sin3?0t?sin5?0t??) ?35仅有基频分量的频率?o与x?t?的频率一致。根据同频相关，不同频不相关的原则，在互相关函数中将仅存基频?o成分。并且由图示可知， 基频分量

4sin?0t与x(t)?cos?0t间存在有90°的相位差。所以互相关?函数的表达式如下：

x0?y00R(?)?cos(???90) xy2当τ=0时，它们的互相关函数值为零，即

Rxy(0)?0

例9.信号x?t?由两个频率和相位角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为

x(t)?A?1t??1)?A?2t??2，求该信号的自相关函数)Rx(?)。 1cos(2cos(解：设

x(t)?y(t)?z(t)y(t)?A1cos(?1t??1) z(t)?A2cos(?2t??2)则x?t?的自相关函数可表示为Rx(?)?Ry(?)?Ryz(?)?Rzy(?)?Rz(?)

因为?1??2则Rzy(?)?0?;?Ryz(?)?0

Rx(?)?Ry(?)?Rz(?)所以

A12A2???????????cos?1??cos?2?22例10.下图所示的延时环节，输入为x?t?，输出为y(t)?x(t?T)。试求x?t?的自相关函数

Rx(?)与其互相关函数Rxy(?)之间的关系。

解：因为y(t)?x(t?T) 所以x(t)?y(t?T)

1TRx(?)?limx(t)x(t??)dtT??2T??T1T???????????limx(t)y(t?T??)dt 根据定义：

T??2T??T???????????Rxy(??T)所以 Rx(?)?Rxy(??T)

例11.应用巴塞伐尔定理求

????sinc2(t)dt的积分值。

解：由于抽样函数sinc?ct的频谱是窗函数，如下式所示 F(sinc?ct)??[u(???c)?u(???c)] ?c当?c?1时则有 F(sinct)?窗函数的图形如下图所示。

?[u(??1)?u(??1)] ?c

根据巴塞伐尔定理： 则有：

????1x(t)dt??Z(?)d? ??2?2????sinc2(t)dt???2d?????

?1例12.某一系统的输入信号为x(t)，若输出信号y(t)与输入信号x(t)波形相同，并且输入的自相关函数Rx(?)和输入-输出的互相关函数的关系式为Rx(?)?Rxy(??T)如下图所示，试说明该系统起什么作用？

解：因为y(t)与x(t)的波形形状相同，可设y(t)?Ax(t?T0)

1Tx(t)x(t??)dtT??2T??T1Tlimx(t)y(t??)dt式中，A??,??T0为常数。则有 Rxy(?)?T ??2T??T1T????????????limx(t)Ax(t?T0??)dtT??2T??TRx(?)?lim又因为

Rx(?)?Rxy(??T)

1T??2T即

1?limT??2T???lim?T?TTx(t)x(t??)dt

??Tx(t)Ax(t?T0???T)dt恒成立，显然可得 A?1???,T0??T

1TRx(?)?limx(t)?x(t??)dtT??2T??T1T???????????lim[?x?x1(t)][?x?x1(t??)]dtT??2T??Ty(t)?x(t?T)2????????????x?Rx1(?)????????x(t)??(t?T) 所以

得 h(t)??(t?T)，H(j?)?e?jT?该系统为一延时系统。 例13.对三个正弦信号

x1(t)?cos2?t,,x2(t)?cos6?t??,?x3(t)?cos10?t进行采样，

采样频率

fs?4Hz。求三个采样输出序列，比较这三个结果并解释频率混叠现象。

解：时域采样脉冲序列 g(n)??n?????(t?nT)

??x(t)的采样序列为

x(n)?x(t)?g(t)?????????x(t)?n???

??(t?nT)?????????x(nT)1x(n)?cos(2??1Ts?4f?4Hz4 当采样频率s时，则采样间隔

11?x1(n)?x1(n)?cos(2??n)?cosn442?11?x2(n)?x2(n)?cos(6??n)?cos?n442所以

?11?x3(n)?x3(n)?cos(10??n)?cos?n442x1(n)?x2(n)?x3(n)?可见不同频率的信号经过相同频率采样，其结果却不一样了。原因在于后两者不满足奈奎斯特采样定理，发生了频率折叠。

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