2017 - 2018学年高中数学第一章直线多边形圆2.3弦切角定理学案北师大版选修
更新时间:2023-09-20 22:55:01 阅读量: 自然科学 文档下载
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2.3 弦切角定理
[对应学生用书P19]
[自主学习]
1.弦切角的定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 2.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半.
[合作探究]
弦切角的三要素是什么?
提示:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)一边与圆相切.
[对应学生用书P20]
弦切角的计算 [例1] 如图,AB为⊙O的直径,CD切⊙O于D,AB延长线交CD于点C,若∠CAD=25°,求∠C.
[思路点拨] 本题主要考查弦切角定义及定理的应用.解此题时,需连接BD,创设弦切角∠CDB,然后求∠C.
[精解详析] 连接BD.∵AB为直径, 则∠BDA=90°.
又CD为⊙O的切线,切点为D, ∴∠BDC为弦切角. ∴∠BDC=∠CAD=25°. ∴∠CDA=90°+25°=115°.
在△ACD中,∠C=180°-∠A-∠CDA=40°.
1
利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素.确定大小时,要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角.
1.如图,CD是⊙O的切线,T为切点,A是TB上的一点,若∠TAB=100°,则∠BTD的度数为( )
A.20° C.60°
B.40° D.80°
解析:选D 如图,作四边形ABET,因为四边形ABET是圆内接四边形,
所以∠E=180°-∠A=80°, 又CD是⊙O的切线,T为切点, 所以∠BTD=∠E=80°.
弦切角定理的应用 [例2] 如图,AB为⊙O的弦,CD切⊙O于P,AC⊥CD于C,BD⊥DC于
D,PQ⊥AB于Q.求证:PQ2=AC·BD.
[思路点拨] 本题主要考查弦切角定理的应用,解题时连接PA、PB证明△ACP∽△PQB,△BDP∽△PQA后可证PQ=AC·BD.
[精解详析] 连接PA,PB,如图所示. ∵CD切⊙O于P, ∴∠1=∠2.
∵AC⊥CD于C,PQ⊥AB于Q, ∴∠ACP=∠PQB=90°. ∴△ACP∽△PQB. ∴AC∶PQ=PA∶BP. 同理,△BDP∽△PQA, ∴PQ∶BD=PA∶BP.
∴AC∶PQ=PQ∶BD,即PQ=AC·BD.
利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角,从而寻找角的等量关系.
2
2
2
2.如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.求证:RP=RQ.
证明:作直径BC,连接CQ,因为BC是⊙O的直径, 所以∠B+∠C=90°, 因为OA⊥OB,
所以∠B+∠BPO=90°. 所以∠C=∠BPO. 又∠BPO=∠RPQ, 所以∠C=∠RPQ. 又因为RQ为⊙O的切线, 所以∠PQR=∠C. 所以∠PQR=∠RPQ. 所以RP=RQ.
[例3] 如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,求线段AE的长.
[思路点拨] 本题考查利用弦切角定理进行计算问题.解此题时,连接BE,AC,OC.可知△AEB为直角三角形,利用角的关系确定∠EBA=30°可求AE.
[精解详析] 连接OC,BE,AC,则BE⊥AE. ∵BC=4,∴OB=OC=BC=4, 即△OBC为正三角形, ∴∠CBO=∠COB=60°. 又直线l切⊙O于C, ∴∠DCA=∠CBO=60°,
3
∵AD⊥l,∴∠DAC=90°-60°=30°, 1
而∠OAC=∠ACO=∠COB=30°,∴∠EAB=60°.
21
在Rt△BAE中,∠EBA=30°,∴AE=AB=4.
2
弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁,利用弦切角定理时,注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角.
3.如图,PA,PB是⊙O的切线,点C在AB上,CD⊥AB,CE⊥PA,
CF⊥PB,垂足分别为D,E,F.
求证:CD=CE·CF. 证明:连接CA,CB. 因为PA,PB是⊙O的切线, 所以∠CAP=∠CBA, ∠CBP=∠CAB.
又因为CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB, 所以Rt△CAE∽Rt△CBD, Rt△CBF∽Rt△CAD, 所以=,=
2
CACECBCF,
CBCDCACDCECDCDCF2
所以=,即CD=CE·CF.
本课时常考查弦切角定理及应用,题目难度中等.
[考题印证]
如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明:
4
(1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. [命题立意]
本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三角形的判定与性质. [自主尝试] (1)由AC与⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ACB∽△DAB. 从而=, 即AC·BD=AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA, 得△EAD∽△ABD. 从而=, 即AE·BD=AD·AB. 结合(1)的结论,AC=AE.
ACABDADBAEADBABD[对应学生用书P21] 一、选择题
1.如图,AB是⊙O的直径,DB,DC分别切⊙O于B,C两点,若∠ACE=25°,则∠D为( )
A.50°
B.55°
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