2.3 拉普拉斯方程
更新时间:2023-05-17 07:18:01 阅读量: 实用文档 文档下载
- 2.3号是什么星座推荐度:
- 相关推荐
2.3 拉普拉斯方程和分离变量法一、拉普拉斯方程在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的. 在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的. ① 例如: 例如: 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部,电场是 电子光学系统的静电透镜内部, 由分布于电极上的自由电荷决定的。 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是: 这些问题的特点是: 自由电荷只出现在一些导体的表面上, 自由电荷只出现在一些导体的表面上,在空间 中没有其他自由电荷分布。 中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界, 如果我们选择这些导体的表面作为区域 的边界, 的边界 则V 内部自由电荷密度ρ=0,电势所满足的泊松方程化 内部自由电荷密度 = , 为比较简单的情形: 为比较简单的情形:
=02
拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程。
注意:求解区域内 = , 注意:求解区域内ρ=0,产生电场的电荷全部分布 的边界上,他们的作用通过边界条件反映出来。 于V 的边界上,他们的作用通过边界条件反映出来。所 以,这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 解。
二、分离变量法分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐 标相互分离, 标相互分离,即将场量分解为单一坐标函数的乘积 的形式,求出通解。 的形式,求出通解。然后再根据给定的边界条件求 出实际问题的特解。 出实际问题的特解。 不同坐标系中拉氏方程的通解不同。 不同坐标系中拉氏方程的通解不同。
拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标 = 2 + 2 + 2 = 0 、 x y z2 2 2 2
(1 )若
= (x, y) 2 = + + = 0 2 2 =022 2 2
d X +αX = 0 2 dx 2 dY + βY = 0 2 dy∞
2
x
y
z
( x , y ) = ( a + bx )( c + dy )+ ∑ (am em =1 mx
+ bm e
mx
)( c m cos my + d m sin my )
(2)若 = (x),与
y, z
无关。 无关。
d =0 2 dx2
= Ax + B
2. 球坐标中的通解: 球坐标中的通解:
bnm m (R,θ,φ) = ∑(anmR + n+1 )P (cosθ) cos mφ n R n,mn
dnm m + ∑(cnmR + n+1 )Pn (cosθ)sin mφ R n,mn
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数,在具体问题中由边界条件确 为积分常数, 定。
若问题具有轴对称性,电势不依赖于Φ 若问题具有轴对称性,电势不依赖于Φ,通解为 不依赖于 bn n = ∑(anR + n+1 )P (cosθ) n R n 其中为勒让德函数 P (cosθ ) -----为勒让德函数 n
P (cosθ ) =1 , 01 P (cosθ ) = (3cos2 θ 1 ) 2 2 若问题具
有球对称性
P (cosθ) = cosθ, 11 P (cosθ ) = (5cos2 θ 3cosθ) 3 2
b = a+ R
3. 平面极坐标系(二维问题): 平面极坐标系(二维问题): 二维问题的解: 二维问题的解:
= (A + B0 ln r)(C0 + D θ) 0 0+ ∑(A rn + Bnr n )(Cn cos nθ + Dn sin nθ) nn
若二维问题又具有轴对称性,则电势与θ无关 若二维问题又具有轴对称性,1 即 = (r) , (r ) =0 r r r
= A+ Bln r
分离变量法的解题步骤: 三. 分离变量法的解题步骤: 根据界面的形状选择适当坐标系。 ① 根据界面的形状选择适当坐标系。 建立坐标系,写出场量所满足的方程,写出通解 ② 建立坐标系,写出场量所满足的方程,写出通解。 写出边界条件和衔接条件(即 不同区域分界面上 ③ 写出边界条件和衔接条件 即:不同区域分界面上 的边值关系)。 的边值关系 。 ④ 根据定解条件,求出通解中的积分常数。 根据定解条件,求出通解中的积分常数。 求出的积分常数代入通解表达式, ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式,得到实际 问题的解。 问题的解。 关键步骤: 关键步骤: ① 充分利用对称性,写出简单的通解。 充分利用对称性,写出简单的通解。 ② 正确写出边界条件,不能有遗漏。 正确写出边界条件,不能有遗漏。
四.应用举例1、两无限大平行导体板,相距为 l ,两板间电势 、两无限大平行导体板, 两板间电势 差为V 与 r 无关),一板接地, 差为 (与 x, y, z无关 ,一板接地,求两板间的 电势 和 E。 解:(1)边界为平面,故 :( )边界为平面, 应选直角坐标系 设为参考点 设为 下板 S1 = 0,设为参考点 (2)定性分析:因在 )定性分析:Z
V
= V (常数),可考虑 常数)
z =l
lx
O
y
与 x, y 无关。 无关。
(3) 列出方程并给出解: 列出方程并给出解:
=02
d =0 2 dz2
方程的解: 方程的解: (4) 定常数: 定常数:
= Az + B (0 < z < l)B=0V A= l Al = V
(z = 0) = 0
(z = l) = V
V 电势: 电势: = z l
(0 < z < l)
r d r Vr (5) E = = ez = ez dz l
V E = = 常数 l
一个内径和外径分别为R 的导体球壳, 例 2 一个内径和外径分别为 2和R3的导体球壳,带 电荷Q,同心地包围一个半径为 的导体球( 电荷 ,同心地包围一个半径为R1的导体球(R1 <R2)。使这个导体球接地,求空间各点的电势 使这个导体球接地, 使这个导体球接地 和这个导体球的感应电荷。 和这个导体球的感应电荷。 解:以球心为原点建立球坐标系,导体壳外和壳内 以球心为原点建立球坐标系, 的电势均满足方程 2 = 0 ,问题具有球对称 不依赖于角度θ和 。 性,电势 不依赖于角度 和φ。设导体壳
外 和壳内的电势分别为 b 1 = a + , (R > R3) R d 2 = c + , (R2 > R > R ) 1 R
边界条件为: 边界条件为: (1)内导体接地 2 R=R1 = 1 R→∞ = 0 ) (2)整个导体球壳为等势体 2 R=R2 = 1 R=R3 )
(3)球壳带总电荷 ,因而 )球壳带总电荷Q, 1 2 Q ∫ dS + ∫ dS = R R ε0 R=R R=R2 3 Q Q + 1 , , 由这些边界条件得 a = 0 b = 4πε0 4πε0 Q Q 1 c = , = 1 d 4πε0R 4πε0 1 其中R 1 3 Q = 1 Q 1 1 1 R R2 + R 1 3
利用这些值, 利用这些值,得电势的解
Q+ Q 1 1 = , (R > R ) 3 4πε0R Q 1 1 2 = 1 , (R2 > R > R ) 1 R R 4 0 πε 1 导体球上的感应电荷为
2 ε0 ∫ dS = Q 1 R R=R 1
如图所示的导体球(带电Q 和不带电荷的导体球壳, 3.如图所示的导体球(带电Q)和不带电荷的导体球壳,用分 离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 边界为球形,选球坐标系, 解:(1)边界为球形,选球坐标系, 电荷分布在有限区, 电荷分布在有限区,选 球壳内: 球壳内: 球壳外 性, 与 (2)设球壳内为I区,壳外为II区。 设球壳内为I 壳外为II区 IIr→ ∞
=0
Q
R 3I
1 = 0 2 2 = 02
II
OR2
R 1
电荷在球上均匀分布, 电荷在球上均匀分布,场有球对称
θ,φ
无关
d 2 =C+ R = a+ b 1 R
(R > R3 ) (R < R < R2 ) 1
1 ∞ = 0 C = 0 2 (3)确定常数 1 ② R=R , 0 =σ ε 1 R Q 1 b 2 Q = ε0 ∫ dS =+ε0 2 4π R b= 1 S1 R R 4πε0 R=R 1 1① R →∞ ③ 导体壳为等势体
d 2 = R
2 S = 1 S3
2
d Q 1 = a+ R 4πε0 R2 3
r nR
④ 在导体壳上 Q =
∫S
2
σ2dS + ∫ σ3dS = 0S3
r n
σ2 = ε0 1 n S2 2 σ3 = ε0 nS3
1 2 ∫ ε0 dS ∫ ε0 dS = 0 S2 S3 n n 2 1 ε0[ ∫ dS ∫ dS] = 0 S2 S3 R R
dS dS b ∫ +d ∫ =0 S2 R2 S3 R2
(4) )
1 = 2
Q 4πε0RQ
Q b4π + d4π = 0 d = b = 4πε0 Q 1 1 a= ( ) 4 0 R3 R2 πε R3 < R <∞R < R < R2 1
Q 1 1 2 = + ( ) 1 4πε0 R 4πε0 R3 R2(5)球壳上的感应电荷 ) 壳外面 壳内面
2 Q 1 ′ = ∫ ε0 Q dS = ∫S3 R2 dS = Q S3 n 4 π 1 1 ′ Q′ = ∫ ε0 dS =∫ dS = QS2
′ Q′ + Q′ = 0 以上结果均与高斯定理求解一致。 以上结果均与高斯定理求解一致。
n
S2
R
求电势。 求电势。 的介质球置于均匀外电场 例4:电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场E0中, : 以介质球的球心为坐标原点, 解: 以介质球的球心为坐标原点,以E0方向为极轴建立 球坐标系。 球坐标系。 设球的半径为R 球外为真空。 设球的半径为 0, ,球外为真空。介
质球的存在使空 间分为两均匀区域—球外区域和球内区域 球外区域和球内区域。 间分为两均匀区域 球外区域和球内区域。两区域内 部都没有自由电荷,因此电势均满足拉普拉斯方程。 部都没有自由电荷,因此电势均满足拉普拉斯方程。
代表球内的电势。 以 代表球外区域的电势, 2 代表球内的电势。 1 代表球外区域的电势,两区域的通解为: 两区域的通解为:
bn 1 = ∑(anR + n+1 )P (cosθ), (R > R0 ) n R nn
dn 2 = ∑(cnR + n+1 )Pn (cosθ), (R < R0 ) R nn
无穷远处, 无穷远处,
1 → E0Rcosθ = E0RP (cosθ), 1因而 应为有限值, R = 0 处, 2 应为有限值,因此
a1 = E0, n = 0 adn = 0
(n ≠1)
在介质球面上( 在介质球面上(R=R0),
1 = 2,
1 2 ε0 =ε R R
比较P 的系数, 比较 n的系数,得:
ε ε0 b = E0R3 , 1 0 ε + 2ε0 3 0 ε c = E0 1 ε + 2ε0
bn = cn = 0, (n ≠1 )所有常数已经定出, 所有常数已经定出,因此本问题的解为
ε ε0 E R cosθ 1 = E0Rcosθ + ε + 2ε0 R2 3ε0 2 = E0Rcosθ ε + 2ε03 0 0
在球内总电场作用下, 在球内总电场作用下,介质的极化强度为
v v v ε ε0 v P = χeε0E = (ε ε0 )E = 3ε0E0 内 ε + 2ε0介质球的总电偶极矩为
v v 4π 3 v ε ε0 3 p= R0 P = 4πε0R0 E0 3 ε + 2ε0球外区域电势 所产生的电势
1的第二项就是这个电偶极矩
v v 3 1 p R ε ε0 E0R0 = cosθ 3 2 4πε0 R ε + 2ε0 R
例5半径 a,带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体, σ的无限长圆柱导体, 求导体柱外空间的电势和电场。 求导体柱外空间的电势和电场。解:电荷分布在无限远,电势零点可选在有限区,为简单可 电荷分布在无限远,电势零点可选在有限区, 选柱坐标系。 选在导体面 r = a 处,即 ( (r = a) ≡ 0) 选柱坐标系。 对称性分析: 对称性分析: ① 导体为圆柱,柱上电荷均匀 导体为圆柱, 分布, 分布, 一定与 θ 无关。 无关。 柱外无电荷, ② 柱外无电荷,电场线从面上 发出后,不会终止到面上, 发出后,不会终止到面上,只 能终止到无穷远,且在导体面 能终止到无穷远, r 方向, 上电场只沿 er 方向,可认为 无关, 与z无关, = (r) 无关 y r o z θ x
正在阅读:
2.3 拉普拉斯方程05-17
家政服务员培训计划与培训大纲精编版01-13
三看县域发展“狼宁乡”04-09
社会实践领导讲话开营01-20
电力电子技术》(第四版) 机械工业出版社(王兆安 黄俊)版 课后答案05-22
出院膳食指导05-21
第1章 销售与收款循环审计习题05-29
产品研发过程中的成本控制管理11-07
多塔作业专项方案12-05
学习党的百年历史心得体会03-27
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 拉普拉斯
- 方程
- 2.3
- 数字电视技术考试基本知识
- 爆破工程安全专项施工方案
- 一般员工述职报告 简短
- 赫赛汀治疗HER2过度表达的转移性乳腺癌的观察和护理
- 2014年造价工程师考试《建设工程造价管理》试题及参考答案
- 基于网络层次分析法的农村土地流转经济绩效评价
- 教师招聘《中学教育心理学》通关试题每日练卷7399
- 各大国际酒店集团旗下酒店品牌详解
- 第一章 单项填空 第十节 定语从句(2011年6月最新更新)
- AltiumDesigner的U盘电路设计实验报告
- 中维JVS-D6000系列网络硬盘录像机使用说明书
- 柳州总体规划文本(2010-2020)
- 科学数据共享工程-公用数据元目录20060219
- 邓小平理论概论试题及答案
- 新郑市农家乐旅游管理办法(试行)
- 新理念外语网络教学平台第二版综合问题详解B2U6 E
- 入团志愿书填写说明
- 刑事侦查学复习资料
- 第8章 电力电子技术
- 淄博市市容和环境卫生管理办法(修正)