2012全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题4：三角形四边形存在性问题

第1页 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编

专题4：三角形四边形存在性问题

24. （2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C 的坐标为（－18，0）。

（1）求点B 的坐标；

（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线DE 的解析式；

（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的 四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）过点B 作BF ⊥x 轴于F ，

在Rt △BCF 中

∵∠BCO=45°，BC=122，∴CF=BF=12 。

∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。

∴点B 的坐标为（－6，12）。

（2）过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，

∵OD=2BD ，∴OD=23

OB 。 ∵AB ∥DG ，∴△ODG ∽△OBA 。

∵DG OD OG 2AB OB OA 3

===，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D （－4，8），E （0，4）。 设直线DE 解析式为y=kx+b （k≠0）

∴ 4k b 8 b 4-+=??=?，解得k 1 b 4=-??=?

。∴直线DE 解析式为y=－x+4。 （3）结论：存在。

点Q的坐标为：（22，－2 2），（－22，2 2），（4，4），（－2，2）。

【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。

【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。

（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。

（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：

设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，

则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=42。

①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。

则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=42－4。

易知△P1NF为等腰直角三角形，

∴P1N=NF=2

P1F=4－22。

设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－22）=22。

又ON=OF－NF=22，∴Q1（22，－22）。

②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－22，22）。

③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。

此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。

④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。

由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，

由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。

由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（－2，2）。

综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：

Q1（22，－22），Q2（－22，22），Q3（4，4），Q4（－2，2）。

25. （2012黑龙江绥化10分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F

第2页

第3页 点的坐标是（2，4）．

（1）求G 点坐标；

（2）求直线EF 解析式；

（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。

∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°。

∴BG =G 点的坐标为（3，4

。

（2）设直线EF 的解析式是y=kx+b ，

在Rt △BFG 中，FB 1cos BFG FG 2

∠==，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°。 ∴AE=AFtan ∠AFE=2tan60°

E 点的坐标为（0，4－

）。

又F 点的坐标是（2，4），

∴b 42k b 4?=-??+=??

解得k b 4?=??=-?? ∴直线EF

的解析式为y 4=+-

（3）存在。M

），

），

8 ）。 【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

第4页 【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB －AF=1，则在Rt △BFG 中，利用勾股定理求出BG 的长，从而得到CG 的长，从而得到G 点坐标。

（2）由题意，可知△AEF 为含30度角的直角三角形，从而可求出E 点坐标；又F 点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF 的解析式。

（3）分FG 为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四

边形的形状：

若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以

下情形：

①FG 为平行四边形的一边，且N 点在x 轴正半轴上，如图1所示。

过M 1点作M 1H ⊥x 轴于点H ，易证△M 1HN 1≌△GBF ，

∴M 1H=GB=3，即y M1=3。

由直线EF 解析式y 3x 423=+-，求出M1343x -=

。 ∴M 1（3433- ，）。 ②FG 为平行四边形的一边，且N 点在x 轴负半轴上，如图2所示。 仿照与①相同的办法，可求得M 2（

143 3-- ，）。 ③FG 为平行四边形的对角线，如图3所示。

过M 3作FB 延长线的垂线，垂足为H ．易证△M 3FH ≌△GN 3C ，

则有M 3H=CG=43，所以M 3的纵坐标为8－3。

代入直线EF 解析式，得到M 3的横坐标为

1+43。 ∴M 3（1+4383- ，）。 综上所述，存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为：M 1

（3433- ，），M 2（143 3-- ，），M 3（1+4383- ， ）。 26. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两条直角边0A 、08分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程x 2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒l 个单位长度的速度向点O 运动；同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．

(1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q 的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由x2－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。

∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)，B(4，0)。

(2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。

由题意得，AP=t, AQ=5－2t 。分两种情况讨论：

①当∠APQ=∠AOB时，如图1，△APQ∽△AOB。

∴AP AQ

AO AB

=，即

t52t

35

-

=解得t=

15

11

。∴Q（

2018

1111

，）。

②当∠AQP=∠AOB时，如图2，△APQ∽△ABO。

∴AP AQ

AB AO

=，即

t52t

53

-

=解得t=

25

13

。∴Q（

1230

1313

，）。

（3）存在。M1（422

55

，），M2（

42

55

，），M3（

48

55

-，）。

【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。

（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。

（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（412

55，）。

若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则

第5页

①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标

相同，纵坐标为

1222

+2=

55

。∴M1（

422

55

，）。

②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标

相同，纵坐标为122

2=

55

-。∴M2（

42

55

，）。

③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。

由Q（412

55

，）得M3的横坐标为

44

20=

55

?--，纵坐标为

128

22=

55

?-。∴M3（

48

55

-，）。

综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为

（422

55

，）或（

42

55

，）或（

48

55

-，）。

27. （2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过O，D，C三点．

（1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。

由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。

由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。

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第7页 设AD=x ，则BD=CD=8﹣x ，由勾股定理，得x 2+42=（8﹣x ）2，解得，x=3。

∴AD=3。

∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点D （3，10），C （8，0），

∴9a+3b=1064a+8b=0???，解得2a=316

b=3?-??????。∴抛物线的解析式为：2216y x x 33=-+。 （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE ，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t ，EP=2t ，∴PC=10﹣2t 。

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE ∽△QPC ， ∴CQ CP EA ED =，即t 102t 45-=，解得40t 13

=。 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE ∽△PQC ， ∴

PC CQ AE ED =，即102t t 45-=，解得25t 7

=。 ∴当40t 13=或257时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似。 （3）存在符合条件的M 、N 点，它们的坐标为：①M 1（﹣4，﹣32），N 1（4，﹣38）；

②M 2（12，﹣32），N 2（4，﹣26）；③M 3（4，323

），N 3（4，﹣143）。 【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED ≌△CBD ，在Rt △CEO 中求出OE 的长，从而可得到AE 的长；在Rt △AED 中，AD=AB ﹣BD 、ED=BD ，利用勾股定理可求出AD 的长．进一步能确定D 点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE ，若以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t 的值。

（3）假设存在符合条件的M 、N 点，分两种情况讨论：

①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，

那么M 点必为抛物线顶点。 由()222

16232y x x x 43333=-+=--+得抛物线顶点，则：M （4，323

）。 ∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则N （4，﹣

143）。

②EC为平行四边形的边，则EC MN，

设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，

此时N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，

此时N（4，﹣26）、M（12，﹣32）。

综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，

32

3

），N3（4，﹣

14

3

）。

28. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．

（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；

（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；

（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；

（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），

∴

4a+2b1=0

16a+4b1=0

-

?

?

-

?-

，解得

1

a=

4

b=0

?

?

?

??

。∴二次函数的解析式为y=

1

4

x2﹣1。

（2）当﹣2＜x＜2时y＜0。

（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；

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第9页 当m=2时，P 点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；

当m=4时，P 点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。

由此发现|PO|2=|PH|2。

设P 点坐标为（m ，n ），即n=14

m 2﹣1 |OP|2= m 2+ n 2，|PH|2=（n+2）2=n 2+4n+4=n 2+m 2。

∴对于任意实数m ，|PO|2=|PH|2。

（4）存在。由（3）知OP=PH ，只要OH=OP 成立，△POH 为正三角形。

设P 点坐标为（m ，n ），|OP|2= m 2+ n 2，|OH|2=4+ m 2，

由|OP|=|OH|得，m 2+ n 2=4+ m 2，即n 2=4，解得n=±2。

当n=﹣2时，n=

14

m 2﹣1不符合条件， 当n=2时，由2=14m 2﹣1解得m=±23。 ∴故当m=±23时可使△POH 为正三角形．

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。

【分析】（1）根据二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象过点A （2，0）和B （4，3），待定系数法求出a 和b 的值，抛物线的解析式即可求出。

（2）令y=14

x 2﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x ＜2时y ＜0。 （3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进行证明。

（4）由（3）知OP=OH ，只要OH=OP 成立，△POH 为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m 和n 的表达式，令两式相等，求出m 和n 的值。

29. （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x 2﹣（m 2﹣2）x ﹣2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足

12111+=x x 2

． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．

第10页

【答案】解：（1）∵二次函数y=x 2﹣（m 2﹣2）x ﹣2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，

∴令y=0，即x 2﹣（m 2﹣2）x ﹣2m=0 ①，则有：x 1+x 2=m 2﹣2，x 1x 2=﹣2m 。

∴2121212x +x 11m 11+===x x x x 2m 2

--，化简得到：m 2+m ﹣2=0，解得m 1=﹣2，m 2=1。 当m=﹣2时，方程①为：x 2﹣2x+4=0，其判别式△=b 2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x 轴没

有交点，不符合题意，舍去；

当m=1时，方程①为：x 2+x ﹣2=0，其判别式△=b 2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x 轴有两个不

同的交点，符合题意。

∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x 2+x ﹣2。

（2）存在。理由如下：

假设在直线y=x+3上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形。

如图所示，连接PA ．PB ．AC ．BC ，过点P 作PD ⊥x 轴于D 点。

∵抛物线y=x 2+x ﹣2与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，

∴A （﹣2，0），B （1，0），C （0，2）。

∴OB=1，OC=2。

∵PACB 为平行四边形，∴PA ∥BC ，PA=BC 。

∴∠PAD=∠CBO ，∴∠APD=∠OCB 。

在Rt △PAD 与Rt △CBO 中，

∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC ，∠APD=∠OCB ，

∴Rt △PAD ≌Rt △CBO （AAS ）。

∴PD=OC=2，即y P =2。

第11页 ∵直线解析式为y=x+3，∴x P =﹣1。∴P （﹣1，2）。

∴在直线y=x+3上存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形，P 点坐标为（﹣1，2）。

【考点】二次函数综合题，二次函数与x 点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m 的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m 的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m 的值，需要进行检验，把不符合题意的m 值舍去。

（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P 点的纵坐标，从而得到P 点的横坐标，从而求得P 点坐标。

30. （2012湖南衡阳10分）如图，A 、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO （O 为坐标原点）方向向点O 作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为t （0＜t ＜

103

）秒．解答如下问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BO ？

（2）设△AQP 的面积为S ，

①求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；

②若我们规定：点P 、Q 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则新坐标（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）称为“向量PQ”的坐标．当S 取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

【答案】解：（1）∵A 、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。

∴2222AB OB OA 6810=+=+=。

如图①，当PQ ∥BO 时，AQ=2t ，BP=3t ，则AP=10﹣3t 。

∵PQ ∥BO ，∴

AP AQ AB AO =，即103t 2t 105-=，解得t=2011。 ∴当t=2011

秒时，PQ ∥BO 。 （2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。∴△APD∽△ABO。

∴AP PD

AB OB

=，即

103t PD

106

-

=，解得PD=6﹣

9

5

t。

∴

2

2

119995

S AQ PD2t6t=t+6t=t+5 225553

????

=??=??----

? ?

????

。

∴S与t之间的函数关系式为：S=

2

95

t+5

53

??

--

?

??

（0＜t＜

10

3

）。

∴当t=5

3

秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。

②如图②所示，当S取最大值时，t=5

3

，

∴PD=6﹣9

5

t=3，∴PD=

1

2

BO。

又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=1

2

OA=4。∴P（4，3）。

又AQ=2t=10

3

，∴OQ=OA﹣AQ=

14

3

，∴Q（

14

3

，0）。

依题意，“向量PQ”的坐标为（14

3

﹣4，0﹣3），即（

2

3

，﹣3）．

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（2

3

，﹣3）。

【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。

【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式AP AQ

AB AO

=，求出t的

值。

（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造

平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得AP PD

AB OB

=求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关

于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。

②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。

31. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数

1

y=x+2

2

-分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线

y=﹣x2+bx+c过A、B两点．

第12页

第13页 （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．

【答案】解：（1）∵1y=x+22

-分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B （4，0）。

将x=0，y=2代入y=﹣x 2+bx+c 得c=2；

将x=4，y=0代入y=﹣x 2+bx+c 得0=﹣16+4b+2，解得b=

72。 ∴抛物线解析式为：y=﹣x 2+72

x+2。 （2）如图1，设MN 交x 轴于点E ，则E （t ，0），BE=4﹣t 。

∵OA 21tan ABO OB 42

∠===， ∴ME=BE?tan ∠ABO=（4﹣t ）×1

2 =2﹣

12

t 。 又∵N 点在抛物线上，且x N =t ，∴y N =﹣t 2+72

t+2。 ∴()222N 1MN y ME t t 22t t 4t=t 2+42=-=-++--=-+--（）。 ∴当t=2时，MN 有最大值4。

（3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）．

如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可

能位置有三种情形。

（i ）当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），

由AD=MN ，得|a ﹣2|=4，解得a 1=6，a 2=﹣2，

第14页 从而D 为（0，6）或D （0，﹣2）。

（ii ）当D 不在y 轴上时，由图可知D 为D 1N 与D 2M 的交点，

由D 1（0，6），N （2，5）易得D 1N 的方程为y=12-x+6；

由D 2（0，﹣2），M （2，1）D 2M 的方程为y=

32x ﹣2。 由两方程联立解得D 为（4，4）。

综上所述，所求的D 点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）首先求得A 、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。

（2）求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值。

（3）明确D 点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限，是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标。

32. （2012湖北鄂州12分）已知：如图一，抛物线c bx ax y 2++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线 段BC 于点E 、D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P

运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设OP

ED OP ED s ?+=

，当 t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。

第

15页

【答案】解：（1）在y x 2=-中，由x=0得y=－2，∴C （0，－2）。

由 y=0得 x=2，∴A （2，0）。

∵AB=2，∴B （4，0）。

∴可设抛物线的解析式为()()y a x 2x 4=--，代入点C （0，－2）得1a 4=-

。 ∴抛物线的解析式为()()2113y x 2x 4x x 2442

=---=-+-。 （2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4－2t 。 ∵ED ∥BA ，∴△CED ∽△COB 。 ∴ED CE OB CO =，即ED t 42=。∴ED=2t 。 ∴()()()222t+42t ED OP 41s ===ED OP 2t 42t 4t +8t t 1+1

-+=??----。 ∴当t=1时，()2t 1+1--有最大值1。

∴当t=1时，ED OP s ED OP

+=?的值最小，最小值是1。 （3）存在。设BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，由B （4，0），C （0，－2）得

4k+b=0b=2??-?，解得1k=2b=2

????-?，∴C 所在直线的解析式为1y=x 22-。 由题意可得：D 点的纵坐标为t －2，则D 点的横坐标为2t 。

∴()())22BD 42t t 2=52t =-+--。 又2222BC OB OC 4225++=

∵∠PBD=∠ABC ，∴以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况： 当BP BD AB BC =时，即52t 2t 225

-=，解得2t 3=；

当BP BC

BD BA

=时，即

(

)

25

52t

=

-

，解得

10

t

7

=。

综上所述，当

2

t

3

=或

10

t

7

=时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x－2）（x－4），代入点C的坐标求出a即可。

（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出△CED∽△COB ，从而

ED CE

OB CO

=，求出

ED=2CE=2t，根据

()2

ED OP1

s=

ED OP t1+1

+

=

?--

，根据二次函数的最值求出即可。

（3）以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：

BP BD

AB BC

=和

BP BC

BD BA

=代入求出即可。

33. （2012福建宁德13分）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

(1)直接写出点A、B的坐标：A( ，)、B( ，)；

(2)若抛物线y＝－

1

3x

2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是；

(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN

与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(4)当

7

2

≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．

【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。

第16页

第17页 （2）2110y x +

x 833

--＝。 （3）存在。 设M 2110m m +m 833??-- ???

，， 则N （m ，0）MN=2110m +m 833

--，NA=6－m 。 又DA=4，CD=8，

①若点M 在点N 上方，MN NA CD DA

=，则△AMN ∽△ACD 。 ∴2110m +m 86m 3384

---=，即2m 16m+60=0-，解得m=6或m=10。 与点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点不符。

∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。

②若点M 在点N 下方，MN NA CD DA

=，则△AMN ∽△ACD 。 ∴2110m m+86m 3384

--=，即2m 4m 12=0--，解得m=－2或m=6。 与点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点不符。

∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。

③若点M 在点N 上方，MN NA DA CD

=，则△AMN ∽△ACD 。 ∴2110m +m 86m 3348

---=，即22m 23m+66=0-，方程无解。 ∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。

④若点M 在点N 下方，MN NA DA CD

=，则△AMN ∽△ACD 。 ∴2110m m+86m 3348--=，即22m 17m+30=0-，解得m=52

或m=6。 当m=

52

时符合条件。 ∴此时存在点M （52，74-），使△AMN 与△ACD 相似。

第18页 综上所述，存在点M （52，74-），使△AMN 与△ACD 相似。 （4）设P （p ，2110p +

p 833--）， 在2110y x +x 83

3

--＝中，令y=0，得x=4或x=6。 ∴ 7 2≤x≤7分为 7 2

≤x ＜4，4≤x ＜6和6≤x≤7三个区间讨论： ①如图，当 7 2≤x ＜4时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H 则OH=p ，HA=6－p ，PH=21

10p p+833

-。 ∴ABP OAB APH OBPH S S S S ???=--梯形

()()222

211110111068p p+8+8p 6p p p+82233233p +6p=p 3+9

????=??-?-?-?-?- ? ?????=--- ∴当 7 2

≤x ＜4时，ABP S ?随p 的增加而减小。 ∴当x= 7 2时，ABP S ?取得最大值，最大值为354。 ②如图，当4≤x ＜6时，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，过点A

作AG ⊥BC 于点G 。

则BH= p ，HG=6－p ，PH=221

10110p +p 8+8=p +p 3333

---， ∴ABP BPH ABG PHGA S S +S S ???=-梯形

()()2222111011101p +p p+p +p+86p 682332332p +6p=p 3+9

????=?-??-?--?? ? ?????=--- ∴当4≤x ＜6时，ABP S ?随p 的增加而减小。

∴当x=4时，ABP S ?取得最大值，最大值为8。

③如图，当6≤x≤7时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H 。 则OH=p ，HA= p －6，PH=21

10p p+833

-。 ∴ABP OAB APH OBPH S S S S ???=--梯形

第19页 ()()222

2111011110p p+8+8p 68p 6p p+82332233p 6p=p 39

????=?-?-??-?-?- ? ?????=---

∴当6≤x≤7时，ABP S ?随p 的增加而增加。

∴当x=7时，ABP S ?取得最大值，最大值为7。

综上所述，当x= 7 2时，ABP S ?取得最大值，最大值为354。 【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。

【分析】（1）由OD ＝10，OB ＝8，矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合，可得OA 2=AB 2－OB 2=102－82=36，∴OA=6。∴A （6，0），B （0，－8）。

（2）∵抛物线y ＝－ 1 3

x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ， ∴12+6b+c=0c=8-??-?，解得10b=3c=8

????-?。 ∴这条抛物线的解析式是2110y x +

x 833

--＝。 （3）分①若点M 在点N 上方，MN NA CD DA =，②若点M 在点N 下方，MN NA CD DA

=，③若点M 在点N 上方，MN NA DA CD =，④若点M 在点N 下方，MN NA DA CD

=四种情况讨论即可。 （4）根据二次函数的性质，分 7 2≤x ＜4，4≤x ＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。 34. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．

（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物 线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E 放在线段 AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1） 中的抛物线交于第一象限的点M ．

①设AE=x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ；

第20页 ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求 点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）B （3，0），C （0，3）。

∵A （—1，0）B （3，0）

∴可设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()()y=a x+1x 3a 0-≠ 。

又∵C （0，3）在抛物线上，∴()()3=a 0+103-，解得3a=-。 ∴经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 ()()3y=x+1x 33--即2323y=x +x+333

-。 （2）①当△OCE ∽△OBC 时，则OC OE OB OC

=。 ∵OC=3， OE=AE —AO=x －1， OB=3，∴

33=。∴x=2。 ∴当x=2时，△OCE ∽△OBC 。

②存在点P 。

由①可知x=2，∴OE=1。∴E （1，0）。 此时，△CAE 为等边三角形。

∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。

∴点C 与点M 关于抛物线的对称轴23

b 3x===12a 32--???- ???

对称。 ∵C （0，3），∴M （2，3）。

过M 作MN ⊥x 轴于点N （2，0），

第21页 ∴

∴ EN=1。

∴

EM 2==。

若△PEM 为等腰三角形，则：

ⅰ)当EP=EM 时, ∵EM=2，且点P 在直线x=1上，∴P(1，2)或P （1，－2）。

ⅱ）当EM=PM 时，点M 在EP 的垂直平分线上，∴P(1

，) 。

ⅲ）当PE=PM 时，点P 是线段EM 的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1

∴综上所述，存在P 点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1

，1

△EPM 为等腰三角形。

【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。

【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC 和AB 的长，从而求得点

B 、

C 的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。

（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。

②求得EM 的长，分EP=EM ， EM=PM 和PE=PM 三种情况求解即可。

35. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=4

1x 2 + 1(如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；

(2)已知y 轴上一点A(0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角 形，求点P 的坐标；

(3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在，

直接写出所有．．

满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

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