特殊平行四边形教案第二课时

第三章 证明（三）

２．特殊平行四边形（二）

一、学生知识状况分析

在八年级教材中，学生已经对菱形、正方形的性质及其判别方法，通过一些直观的方法进行了大量的探索，所以学生对所要学习的结论已经有所了解。其次经历了《证明（一）》、《证明（二）》的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。再次在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

因为这节课所涉及的很多命题，学生已有所了解，对于这些命题，教科书利用提问的方式让学生联想回忆，然后利用已有的定理证明它们，让学生从中体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。因此，本节课注重新旧知识的结合及学生推理能力的提高，而不要追求证明题的数量和证明的技巧。对证明方法和证明过程的体验，成为本节课的重点。

此外，这部分题目多数有多种思路，注意引导学生选用不同的知识点、从不同的角度思考问题；注意让学生对解题思路和办法进行辨析，从而能对众多解法作优化选择；注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法，而不是给学生一个固有的模式往题目中套。

三、教学准备

1、课前布置学生动手制作一个菱形和一个正方形。

2、课前需要对学生进行分组，前后桌4人一组，每组包括能力不同的学生，设组长1名，中心发言人1名。组长主要负责引领和鼓舞同学学习积极性。

四、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知（分为两部分）；第三环节：归纳应用（分为两部分）；第四环节：感悟与收获；第五环节：布置作业。

（一）设置问题情境，引入新课

我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形—---菱形，大家还记得它吗？——我们来共同回忆一下。

1、菱形的定义

2、菱形的性质

3、菱形的判别方法

师：菱形的这些性质和判别方法我们是怎样得到的?那么你能用几何推理过程来证明它们吗？这节课我们就来证明菱形的性质和判别方法。

设计意图：（1）以问题串的形式引入新课，让学生明确本节课所要解决的问题。

（2）让学生回忆菱形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。

实际效果：因为前面对平行四边形及矩形的学习，学生回答问题比较有针对性，能概括地从“边、角、对角线”等几个方面回答，较有条理。当然也有个别学生语言表述不到位，需老师同学适时点拨、补充、鼓励。

（二）探究新知Ⅰ

师：同学们自己推证菱形性质，行吗？

说明：小组内交流，中心发言人回答，及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。

学生A：平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分而菱形是特殊的平行四边形，所以菱形也具有平行四边形具有的一切性质。

学生B：菱形是一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等可以获得菱形的四条边都相等。

学生C：因为菱形的两条对角线将菱形分割成了四个全等的三角形，所以我们可以得到菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

师：谁能说出B、C两个同学所说的菱形性质的已知，求证呢？

学生D：已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=BC

求证：AB=BC=CD=AD

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AD=BC，AB=CD

B

D 又∵AB=BC

∴AB=BC=CD=AD

学生E：已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点

求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD，OB=OD

∴AC⊥BD，AC平分∠BAD

（等腰三角形的三线合一）

同理得：AC平分∠BCD

BD平分∠ ABC和∠ADC

设计意图：首先引导学生类比平行四边形的性质感知菱形性质的特殊性，符合学生的认知规律。其次整个过程重新回顾了命题证明需经历的步骤，为进一步发展学生的推理论证能力奠定了基础。再次整个过程采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考菱形性质的论证过程，目的在于加深学生对性质本身的理解和掌握，同时也丰富了交流的内容，激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的。

实际效果：课堂学习气氛浓厚，大多数同学会象B同学和C同学那样运用合情推理的方式论证，对于D同学的问题，个别学生在回答已知时，只写了已知：如图，四边形ABCD是菱形，未注明里面已隐含的一组相等的邻边，导致证明时，遇到了困难。另外对于E同学的问题，学生们回答的思路也是多角度的，有想到利用等腰三角形三线合一的，也有利用三角形全等的。在多种思路中老师引导同学做了优化选择，并且利用课件作了展示，加深了印象。

（三）归纳应用Ⅰ

1、菱形的性质：

（1）菱形具有平行四边形的一切性质

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

师：接下来我们来看一个例题以熟悉巩固菱形的性质。

2、利用性质解决问题

例2 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.

通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABCD的边长改为10cm.

你又能获得那些结论？并说明你的理由。

设计意图：设置开放性题目是培养学生的创造性思维的有效方式之一，同时也有利于学生积极地参与数学活动。本环节将教材的例题加以改编，以开放题的形式呈现，让学生从多B A D D C

角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性。两个问题的设置渗透了从一般到特殊的思维方法。

实际效果：由于问题开放性较大，不同层次的学生都能根据自己的发现，提出不同的问题。所以学生情绪高涨，讨论热烈，思维完全放开，有见地的结论不断涌现。课堂上利用课件展示了对角线AC及菱形面积的求解过程，使学生进一步感受了数学几何语言的严谨性。 师：同学们再来看例题的图形，你还会发现什么？

3、方法总结：

学生F：菱形的每一条对角线可以把菱形分成两个全等的三角形，菱形的两条对角线可以把菱形分成四个全等的直角三角形，因此关于菱形问题往往可以转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。

学生G：如果菱形的两条对角线长分别为a、b则菱形面积为ab

设计意图：由于学生的智力差异，每道例题学完后，总有部分

学生对例题所讲的思想方法、解题思路掌握得不牢靠，在例题教学

后回顾和总结解题思路则显得十分必要。在反思中，学生对例题进

行再认识、再理解、再提高，既培养了学生归纳、概括的能力，又

B C D F 训练了学生思维的深刻性。 E

4、试一试：（1）已知：菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点且BE=DF。

求证：(1)△ABE≌△ADF

（2）连接AC你能确定AC与EF的关系吗？

（３）已知菱形的对角线长分别为6、8，则周长为20 面积为24

设计意图：华罗庚说过：学数学而不练，犹如入宝山而空返，该练习将新旧知识联系起来，深化对菱形性质的理解，提高学生对问题的转换能力与探索能力。

5、想一想：请同学们拿出课前准备的正方形，观察它与我们刚学习的菱形有什么不同？正方形是怎样定义的？正方形具有哪些性质？你能证明他们吗？

设计意图：学生经历了矩形、菱形性质的探索、论证过程，不难想到：从正方形的定义出发探讨正方形所具有的性质，这既是对矩形、菱形性质本身及探索方法的巩固，又把证明作为了探索活动的自然延续和必要发展，更有利于学生对证明的全面理解。

实际效果：虽然学生对于正方形的书面定义有所淡忘，但大多数学生都知道正方形是特殊的矩形和菱形，应该具有矩形和菱形具有的一切性质。对于正方形性质的证明，课堂上学生们采用的是合情推理的方法，只要条理清楚，言之有据，老师均给予了肯定和鼓励，另外在学生叙述的基础上，老师利用课件进行了总结，加深印象。

师：同学们归纳、论述的很好，但不知在具体的问题情景中大家是否会用，不妨试一试！

6、例3如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使

CE=AC，连结AE，交CD于F，你能求出∠AFC的度数吗？

解：∵正方形ABCD

∴∠BAD=90°

∠∠×90°=45° 2

∠D=90°， AD∥BC

∵AD∥BC

∴∠DAE=∠E

∵CE=AC

∴∠CAE=∠E

∴∠DAE=∠×45°=22.5° 2

∴∠AFC=∠DAE+∠D=22.5°+90°=112.5°

22练一练：若AC=4 ;正方形面积 8 1D 112

设计意图:既是对正方形的性质的落实，又进一步发展了学生的推理能力，根据学生的回答，利用课件加以演示，引导学生使用规范性的几何语言清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据。对于正方形面积的求法可以借助于勾股定理，也可以用对角线之积的一半来完成，对于想到后者的同学要肯定其思维的灵活性。

实际效果:课堂上学生们探索了各种不同的解题思路,通过交流比较能作优化选择。

（四）探究新知Ⅱ

内容：

问题引入：请大家将课前准备的菱形拿出，以小组为单位用自己手中的工具：直尺、三角板或圆规迅速检查一下你们小组成员所做的四边形是不是菱形，你是怎样检查的？你为什么要这样做？用你的检查方法判断你们小组有几个人做得不标准？

你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗?那么满足什么条件的四边形是菱形?你能证明吗？

设计意图：每一个学生都经历了制作菱形的过程，做前学生就必然要考虑怎样做，并且他会以自己做的标准检测同伴所做的图形，达到了同学间知识的交流与互补。另外培养了学生良好的思维习惯，通过直觉感知的知识，还须得到理论的证明，形成辨证唯物主义的思维方式。

实际效果：因为所用工具及在测量过程中出现的误差，小组成员间有了争议。被测者想了各种方法去说服测量者，达到了让学生进一步体会证明的必要性的目的。另外经历了平行四边形、矩形的学习，个别学生想到判定定理与性质定理是互为逆命题，由菱形的性质定理想到菱形可能具有的判别方法。

归纳要点Ⅱ：菱形的判别方法：

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

说明：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，其他的判别方法要求学生：选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性。

A 学生H

: ABCD中,对角线AC ⊥

BD于

D

B C 是菱形 证明：∵ ∴AO=CO

又∵AC ⊥BD

∴AB=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）

∴ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

A 学生I：已知: 在四边形 ABCD中D

求证: 四边形 ABCD是菱形

证明：∵AB=CD，BC=AD

∴ABCD是平行四边形

又∵AB=BC

∴四边形 ABCD是菱形

实际效果：个别学生在书写已知、求证时存在困难，有将条件、结论混淆的，有语言叙述罗嗦、不严谨的。同样，在证明的论述过程中也有学生出现了语言

罗嗦、不严谨的情况。为此，老师不要急于求成，多

找几个同学补充，使学生参与到使用规范的数学语言

D

表述论证的过程中，培养学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人思维的能力。

（五）应用Ⅱ

1、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

2、已知两条对角线，怎样用尺规作一个菱形

3、拓展延伸：已知△ABC中AB＝AC，M为底边BC上任意一点，

过M点做AC，AB的平行线交AC于P，交AB于点Q。则M位于BC什么位置时，四边形AQMP为菱形，并说明理由。

设计意图：旨在体现因材施教、分层教学的原则，让不同层次的学生都能得到提高，学生完成各自任务后，小组间先交流，讲解，后集体订正。练习1是菱形判定方法探究的继续，对于练习2，其做法需要作一些分析转换，在操作过程中让学生体验对角线互相垂直平分的四边形是菱形。练习3是分析法、综合法的综合运用，目的是：培养培养学生思维的广阔性和灵活性。

4、想一想：

师：你手中的正方形是怎样制作的？除了利用定义我们可以判断正方形外，你还有哪些方法？你能证明它们吗？

说明：小组内交流，教师关注各小组中每个学生参与的积极性及小组内的合作交流情况，对于正方形的判别，大多数学生习惯于合情推理的论述方式，教师要重视学生语言表述的条理性及严谨性。另外教师利用课件及时总结，让学生学以致用。

（六）感悟与收获：

师：通过本节课你学习到了哪些知识？对你有什么帮助？

（师可以从以下几个方面进行提示：⒈整节课的感悟；⒉探索总结的规律；⒊某个知识点的困惑；⒋你的新发现；⒌学到的数学思想方法。）

设计意图：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。

（七）布置作业

必做题：书P96第6、7题；

选做题：P90第3题，P94第2题。

五、教学反思

1、在教学中，着重采用了“回顾-引导-类比-探索”的教学方法，配合小组合作，教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法；提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，有利于提高学生的逻辑思维水平。另外小组合作学习，极大地调动了学生学习的积极性、主动性，满足了学生的表现欲，课堂气氛活跃。

2、设置开放性的例题及习题，采用分层练习，满足了不同层次学生的学习需要，加大了课堂容量，实现了在合作中共同提高的目的。

3、注意改进的方面：提出问题以后，应该留给学生充分的独立思考时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。另外课堂上学生口述的时间过多，书写时间少，有必要进一步加强巩固。

此外，教学关键在于适应，教学中需要根据自己班级学生的状况，对例习题进行修缮，对于学生学力一般的班级，建议删去部分例习题。

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