第一章 信号与系统的基本概念

第一章信号与系统的基本概念

§1.1 绪言

信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业（通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。重要性体现在两个方面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。

在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换），还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础。

信号

研究的主要内容：顾名思义系统

合成：信号

一个典型的电系统—通信系统

信息源转换电信号电信号还原受信者（声音、文字、图象）

/响应

通信系统

○1系统：控制系统抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系

经济系统

○2信号：时间的函数f(t)，一维函数，确定信号

* 信号与系统的关系：互相依存

信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、

处理.

系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组

合。离开了信号，系统就失去了意义.

§1.2 信号

一.定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间）

变化的物理量。

本课程主要研究电信号（电流、电压）。

二.信号的分类：从不同的角度

1 从函数的定义域（时间）是否连续：

○1连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。t是连续的，f （t）可是，也可不是

表达方式时间的函数（解析式），如f（t）=Asinπt

波形图表示：

上述两种表达方式，可以互换。信号和函数两个词可互相通用○2离散时间信号：在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义，

其余无定义

序列f （k ）=2k ，k ≥0

表达方式 图形表示：

序列值f （k ）=｛0、1、2、4、8、……｝

2 从信号的重复性：

○

1 周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T 重复变化

连续f （t ）=f （t+mT ）

离散f （k ）=f （k+mK ） K 为整数

○

2 非周期信号：不具有周期性的信号 例：正弦序列f （k ）=sink β β为角频率，反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性

按定义：sink β=sin(β·k+m ·2π)

β=6π时，

βπ2 =12，为整数，是周期序列，k =12 β=318π时，βπ2=4

31，为有理数，是周期序列，k =31 β=21时，

βπ2 =4π，为无理数，是非周期序列 t f （kt ）??→?简化

f （k ） 0 T 2T 3T 间隔相等 kT

3 实信号：物理可实现的

复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f （t ）=e st ，-∞＜t ＜+∞， δ= σ+j ω

f （t ）=e （σ+j ω）t =e σ t ·e j ωt = e σ t cos ωt+j e σ t sin ωt

σ＞0，增幅振荡 σ＜0，衰减振荡 σ=0，等幅振荡

当ω=0，f （t ）= e σt 为实指数信号

当σ=ω=0，f （t ）=1，为直流信号

重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。

4．从能量有限和功率有限的角度：

能量信号：也就是能量有限信号，0＜E ＜∞（p=0），如矩形脉

冲、衰减的指数

功率信号：也就是功率有限信号，0＜P ＜∞（E —＞∞），如周

期信号、阶跃信号

信号f （t ）的能量E def ∞→T lim ?-T T f （t ）|2dt

信号f （t ）的功率P def ∞→T lim T 1?-2/2/T T |f （t ）|2dt

§1.3 信号的基本运算

一 加法和乘法

f(·)=f 1(·)+f 2(·) 瞬时和

f(·)=f 1(·)·f 2(·) 瞬时积

例1.3-1 -2

f 1(k)+ f 2(k) = 2k +2-k k=-1、-2

k+1 +2-k k ≥0

0 k ＜-2

f 1(k)× f 2(k) = 1 k=-1、-2

(k+1)×2-k k ≥0

二 反转和平移

反转： f(t)—＞f(- t) 以纵坐标为轴反折 实轴 虚轴

f （t ）

e σt

ωt

0 2-k 2k t f 1(k)

f 2(k) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t

2k k+1

倒相： f(t)—＞-f(t) 以横坐标为轴反折

平移：右移 f(t)—＞f(t-t 0)

左移 f(t)（t ）—＞f(t+t 0)

t

t f(t) t -f(t)

f(t) t f(t-1)

平移与反折结合：f(t)—＞f(-t-t0)

注意：先平移后反转f[-（t+t0）]

若先反转f（-t）则f（-t-t0）为左移

t

三尺度变换（横坐标展缩）f(t)—＞f(at)

若a＞1，以原点（t=0）为基准，压缩1/a

若0＜a＜1，以原点（t=0）为基准，展宽1/a

若a＜0，反转并压缩或展宽至1/|a|

t2

1

四复合运算f(t)—＞f(-at+b)

顺序：先平移f(t)—＞f(t+b)；再反转f(-t+b)；最后尺度变换f(-at+b).

逆符合运算f(-at+b)—＞f(t)

顺序：先尺度变换f(-t+b)；再反转f(t+b)；最后平移f(t)

f（-t-1）

-2 -1 0 1 2

f（t-1）

t

0 1 2

f（t-1）

t

f（t）

t

例：已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形

解题思路：f(5-2t)?????→?=倍展宽乘

22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5右移f(5+t-5)= f(t)

f （5+t ） -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 f （5-t ）

0 1 2 3 4 5 6

t

f （t ） -1 0 1 2 3

t f （5-2t ）

0 1 3/2 2 5/2 3

1

t t

§1.4 阶跃函数和冲激函数

重要性：完成信号的时域分解

f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和

f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和

可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活

必要性：不是普通函数，而是奇异函数，有许多特殊的性质 重 点：引入两个函数的概念，讨论)(t δ的性质

一 阶跃函数和冲激函数的定义 0， t ＜0

1 阶跃函数)(t εdef ∞→n lim r n (t)= 2

1， t=0 波形： 1， t ＞0

2 冲激函数)(t δdef ∞

→n lim p n (t) 幅度—＞∞ 宽度—＞0 强度始终为1 波形：

表达式：

0 t ＜n

1 r n (t)= +212n t -n 1＜t ＜n 1 —＞)(t ε [条件：n —＞∞，斜率无限大，区间

1 t ＞n 1 （-n 1，n

1

）—＞0]

0 t ＜-n

1 r n ‘(t)= p n (t)= 2n -n 1＜t ＜n 1 —＞)(t δ [条件：n —＞∞，幅度无限大，宽度—＞0]

0 t ＞n 1 p n (t)的强度始终为1

3 )(t ε与)(t δ的关系

)(t δ=

dt

t d ）（ε )(t δ=dx t t ?∞-）（δ（注意积分上、下限）= 0，t ＞0 1，t ＜0

4 冲激函数的另2种定义

○

1 荻拉克给出 )(t δ=0， t ≠0 ?∞∞-=1)(t δ，函数波形下的面积为1

该定义物理概念较明确，最易理解

○

2 )(t δ的广义函数定义 （严格的数学定义） 检验函数)(t ?：连续的，具有任意阶导数，且)(t ?及其各阶导

数在无限远处急速下降（|t|—＞∞，比1/|t|m

下降更快）的普通函数（如e -| t 2|等）

按广义函数理论，)(t δ意义为：?∞∞

-=)0()()(??δt t )(t δ作用于)(t ?的效果是给它赋值)0(? 5 )(t δ的移位及强度表示：

)(t δ： t=0处的冲激

)(1t t -δ： t= t 1处的冲激

)(2t t A -δ： t=t 2处，强度为A

)(3t t A --δ： t=t 3处，强度为-A

二 )(t δ的性质

1 取样性质（筛选性质）：)0()()(??δ=∞∞-?dt t t

2 与普通函数的乘积：f(t))(t δ= f(0))(t δ

∵?∞∞-[ f(t))(t δ])(t ?dt=?∞∞-)(t δ[f(t))(t ?]dt=f(0))0(?

又?∞∞-[f(0))(t δ])(t ?dt= f(0)?∞∞

-)(t δ)(t ?dt= f(0))0(? ∴ 按广义函数相等的原理可得：

f(t))(t δ= f(0))(t δ

?∞∞-)(t δf(t)dt=?∞

∞-)(t δf(0)dt= f(0)

注意公式成立的条件：f(t)、)(t ?也必须属于急降的检验函数。

例：t ·)(t δ=0·)(t δ=0

e -αt ·)(t δ= e -α0·)(t δ=)(t δ

?∞∞

-e -3t-1)(t δdt=e -3·0-1·1=e -1（其中1为强度） 3 移位 ?∞∞-)(1t t -δ)(t ?dt=)(1t ?

对普通函数f(t)，也有 f(t))(1t t -δ= f(t 1))(1t t -δ

?∞∞

-f(t))(1t t -δdt= f(t 1) 分段连续函数在区间（-∞，∞ ）的导数。

跳跃度 J i =f(t i+)-f(t i-)

广义函数概念：t i 处导数为：J i )(i t t -δ

∴ f ‘(t)= f ‘c (t)+∑i

J i )(i t t -δ

例：1.4-2 求f ‘(t) -∞＜t ＜∞

解：f(t) = 0 t ＜0，t ＞3

2+3

2

t 0＜t ＜3

方法一：直接用上述结论

两个间断点

t 1=0，J 1= f(0+)-f(0-)=2

t 2=3，J 2= f(3+)-f(3-)=0-4=-4

∴ f ‘(t)=32[)(t ε-)3(-t ε]+2)(t δ-4)3(-t δ

方法二：从函数求导

f(t)=(2+32t)[)(t ε-)3(-t ε]

f ‘(t) =(2+32t)‘[)(t ε-)3(-t ε] +(2+32t)[)(t ε-)3(-t ε]‘ =3

2

[)(t ε-)3(-t ε]+(2+32t)[)(t δ-)3(-t δ] =32[)(t ε-)3(-t ε]+2)(t δ-4)3(-t δ

所求得的f ‘(t)如下图

4 尺度变换：)(at δ=

||1a )(t δ 实际是强度变化，而不是展缩 推导：从?∞

∞-)(at δ)(t ?dt 研究：

若a ＞0，|a|=a ，令x=at

∵ ?∞∞-)(at δ)(t ?dt=?∞

∞-)(x δ||)(a dx a x ?=|

|1a )0(? 而?∞∞-)(||1t a δ)(t ?dt=|

|1a )0(? ∴ )(at δ=|

|1a )(t δ 若a ＜0，同理可证

5 奇偶性：)(t δ是偶函数

取a=-1，)(t -δ=)(t δ

三 )(t δ的导数和积分

1 导数定义：)('t δ：

?∞∞-)('t δ)(t ?dt= -?∞

∞-)(t δ)('t ?dt = -)0('?

推导：分步积分 )('t δ=?∞∞-)('t δ)(t ?dt

=)('t δ)(t ?|∞∞--?

∞

∞-)(t δ)('t ?dt = 0-?∞∞-)('t δ)('t ?dt = -)0('?

n 阶导数：)()(t n δ：?∞∞-)()(t n δ)(t ?dt =（-1）n )()(t n ?

2 导数的性质：

与f （t ）的乘积：f(t))('t δ= f(0))('t δ- f `(0))(t δ 移位：

f(t))('1t t -δ= f(t 1))('1t t -δ- f `(t 1))(1t t -δ

∞∞-f(t))('1t t -δdt = - f `(t 1)

尺度变换：)('at δ=||1a ·a 1)('t δ

)()(at n δ=||1a ·n

a 1)()(t n δ 奇偶性：取a = - 1，)()(t n -δ=(-1)n )()(t n δ

当n 为偶数时，有)()(t n -δ=)()(t n δ 是偶函数

当n 为奇数时，有)()(t n -δ

= -)()(t n δ 是奇函数 3 )(t δ的积分：

积分的区间为(-∞，t)时，区间为(-∞，+∞)时

)(t δ=?∞

-t

)('x δdx ?∞∞-)(t δdt=1 )(t ε=?∞-t )(x δdx ?∞∞-)('t δdt=0

非普通，仅是表达形式

r(t)=?∞-t )(t εdx =?t 0

1·dx =t ·)(t ε 普通积分

* 有关信号的几个概念：

1．无时限信号：在t （-∞，+∞）内均有f(t)≠0

2．有始信号：t ＜t 1时f(t)= 0, t ＞t 1时f(t)≠0

3．有终信号：t ＜t 2时f(t)≠0，t ＞t 2时f(t)= 0

4．因果信号：t ＜0时f(t)=0；

t ＞0时f(t)≠0 ， f(t)·v(t)表示

5．反因果信号：t ≥ 0时f(t)=0；

t ＜0时f(t)≠0 ， f(t)·v(-t)

6．时限信号：在（t 1，t 2）内，f(t)≠0

*．抽样信号：f(t)=t t sin =Sa(t) -∞＜t ＜∞ 性质：（1）是t 的偶函数。

（2）0

lim →t f(t)= f(0)=1 （3）当t=k π(k=2,1±±……)时，f(t)=0

（4）?∞∞-f(t)dt=?∞∞-t

t sin dt=π （5）±∞

→T lim t t sin =0

例：写出f(t)的时域表达式，并画出波形，求f(t)、f ‘(t)、f ‘‘(t)

f(t) = sint[v(t)-v(t-π)]

f `‘(t)= cost[v(t)-v(t-π)] + sint[)(t δ-)(πδ-t ]

= cost[v(t)-v(t-π)]

f ‘‘(t)= - sint[v(t)-v(t-π)] + cost[)(t δ-)(πδ-t ]

= - sint[v(t)-v(t-π)] + )(t δ+)(πδ-t

§ 1.5 系 统

系统分析：实际物理问题→数学模型→求出解答→结果的物理解释。 主要讨论：? 即时系统（无记忆系统）：响应仅取决于激励，即电阻

组成，用代数方程描述

? 动态系统（记忆系统）：相应与激励有关，而且与过

去历史状态有关（初始条件） 。含有记忆元件（电

容、电感），由微分方程描述。

系统的描述： ? 数学模型

? 框图表示

两种描述可互换。

1．系统的数学模型

? 连续系统 —微分方程

例1．R LC串联电路

由KVL: u L(t)+ u R(t)+ u C(t)= u S(t)

由各元件端口电压与电流的关系:i(t)=C*u C’(t)

u R(t)=R*i(t)=R*C*u C’(t)

u L(t)=L*i’(t)=L*C*u C”(t)

整理：u C”(t)+R/L* u C’(t)+1/L/C * u C(t)=1/L/C * u S(t)

二阶线性微分方程求解：需已知初始条件 u C（0）, u C’(0).

结论：有以上数例可见，虽然系统的具体内容各不相同，但描述各系统的数学模型都是微分方程，因此在系统分析中，常抽去系统的物理含义，而作为一般意义下的系统来研究，以便于揭示系统的一般特性。? 离散系统---差分方程

例1：人口问题

y(k) = y(k-1) + a*y(k-1) – b*y(k-1) + f(k)

↓↓↓↓↓

第k年人口第(k-1)年人口出生死亡迁入

整理：y(k)-(1+a-b)*y(k-1)=f(k) ? 一阶差分方程

? 结论：有以上数例可见，虽然系统的内容各不相同，但描述这些离散时间系统的数学模型都是差分方程，因而也能用相同

的数学方法来分析。

2．系统的框图表示

? 连续系统：基本单元有三个：积分器、加法器、数乘器

例1．5-2、已知框图表示，写出微分方程。

解：设右方积分器的输出为x(t)

左输出：x”(t)=f(t)-a0*x(t)-a1*x’(t)

→f(t)=x”(t)+ a1*x’(t)+ a0*x(t) (1)

右输出：y(t)= b2*x”(t)+ b1*x’(t)+ b0*x(t) (2) 为求y(t)与f(t)的关系，消去中间变量x(t)及其导数。

由（2）： a0*y= b2*( a0*x”)+ b1*( a0*x’)+ b0*( a0*x)

a1*y’= b2*( a1*x”)’+ b1*( a1*x’)’+ b0*( a1*x)’

y”= b2*(x”)”+ b1*(x’)”+ b0*(x)”

相加：y”+ a1*y’+ a0*y= b2*[x”+ a1*x’+ a0*x]”

+b1*[x”+ a1*x’+ a0*x]’+ b0*[x”+ a1*x’+ a0*x]

∴ y”(t)+ a1*y’(t)+ a0*y(t)= b2*f”(t)+ b1*f’(t)+ b0*f(t)

?离散系统：延迟单元，加法器、数乘器

f(k) →→ y(k)=f(k-1)

例1．5-3、已知离散系统框图，写出差分方程。

解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k)

左○∑:x(k)=f(k)-a0*x(k-2)- a1*x(k-1)→

x(k)+ a1*x(k-1)+ a0*x(k-2)=f(k) (1)

右○∑: y(k)= b2*x(k)- b0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。

a1*y(k-1)= b2* a1*x(k-1)+ b0* a1*x(k-3) (3) a0*y(k-2)= b2* a0*x(k-2)-b0* a0*x(k-4) (4)

(2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)=

b2*[x(k)+ a1*x(k-1)+a0*x(k-2)]- b0*[x(k-2)+a1*x(k-3)+a0*x(k-4)]

∴ y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)= b2*f(k)- b0*f(k-2)═>差分方程

? 结论：已知框图，写方程的步骤。

（1）选中间变量x(.)。

（2）写出个加法器输出信号的方程。

（3）消去中间变量。

? 动态系统是否为线性系统：

例1、y(t)= f(t)*x(0)+ ∫t0f(x)dx 非线性

分解特性： 当 f(t)=0时，应得到y x (t)←x(0) , 实际 y(t)=0.

当x(t)=0时，得到y f (t)= ∫t0f(x)dx

∴不满足。

例2： y(t)= t*x(t)+sint*f(t)

分解特性：令f(t)=0, y x(t)= t*x(t).

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vxpq.html