第一章 信号与系统的基本概念
更新时间:2023-04-27 15:12:01 阅读量: 实用文档 文档下载
- 第一章夺子推荐度:
- 相关推荐
第一章信号与系统的基本概念
§1.1 绪言
信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业(通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程)的必修课。重要性体现在两个方面:一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础;二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。
在教学计划中起着承前启后的作用,前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换(傅立叶变换和拉普拉斯变换),还有电路分析基础;而其本身是后续专业课(通信原理、数字信号处理)的基础。
信号
研究的主要内容:顾名思义系统
合成:信号
一个典型的电系统—通信系统
信息源转换电信号电信号还原受信者(声音、文字、图象)
/响应
通信系统
○1系统:控制系统抽象为理想化的模型,讨论激励与响应的关系
经济系统
○2信号:时间的函数f(t),一维函数,确定信号
* 信号与系统的关系:互相依存
信号是运载消息的工具,要很好的利用信号,需经过系统的传输、
处理.
系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组
合。离开了信号,系统就失去了意义.
§1.2 信号
一.定义:信号是带有信息的(如声音、图象等)随时间(或空间)
变化的物理量。
本课程主要研究电信号(电流、电压)。
二.信号的分类:从不同的角度
1 从函数的定义域(时间)是否连续:
○1连续时间信号:在连续的时间范围内有定义。t是连续的,f (t)可是,也可不是
表达方式时间的函数(解析式),如f(t)=Asinπt
波形图表示:
上述两种表达方式,可以互换。信号和函数两个词可互相通用○2离散时间信号:在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义,
其余无定义
序列f (k )=2k ,k ≥0
表达方式 图形表示:
序列值f (k )={0、1、2、4、8、……}
2 从信号的重复性:
○
1 周期信号:定义在(-∞,+∞)区间,每隔一定时间T 重复变化
连续f (t )=f (t+mT )
离散f (k )=f (k+mK ) K 为整数
○
2 非周期信号:不具有周期性的信号 例:正弦序列f (k )=sink β β为角频率,反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性
按定义:sink β=sin(β·k+m ·2π)
β=6π时,
βπ2 =12,为整数,是周期序列,k =12 β=318π时,βπ2=4
31,为有理数,是周期序列,k =31 β=21时,
βπ2 =4π,为无理数,是非周期序列 t f (kt )??→?简化
f (k ) 0 T 2T 3T 间隔相等 kT
3 实信号:物理可实现的
复信号:实际上不能产生,但理论分析重要——复指数信号 表达式:f (t )=e st ,-∞<t <+∞, δ= σ+j ω
f (t )=e (σ+j ω)t =e σ t ·e j ωt = e σ t cos ωt+j e σ t sin ωt
σ>0,增幅振荡 σ<0,衰减振荡 σ=0,等幅振荡
当ω=0,f (t )= e σt 为实指数信号
当σ=ω=0,f (t )=1,为直流信号
重要特性:对时间的微分和积分仍然是复指数信号。
4.从能量有限和功率有限的角度:
能量信号:也就是能量有限信号,0<E <∞(p=0),如矩形脉
冲、衰减的指数
功率信号:也就是功率有限信号,0<P <∞(E —>∞),如周
期信号、阶跃信号
信号f (t )的能量E def ∞→T lim ?-T T f (t )|2dt
信号f (t )的功率P def ∞→T lim T 1?-2/2/T T |f (t )|2dt
§1.3 信号的基本运算
一 加法和乘法
f(·)=f 1(·)+f 2(·) 瞬时和
f(·)=f 1(·)·f 2(·) 瞬时积
例1.3-1 -2
f 1(k)+ f 2(k) = 2k +2-k k=-1、-2
k+1 +2-k k ≥0
0 k <-2
f 1(k)× f 2(k) = 1 k=-1、-2
(k+1)×2-k k ≥0
二 反转和平移
反转: f(t)—>f(- t) 以纵坐标为轴反折 实轴 虚轴
f (t )
e σt
ωt
0 2-k 2k t f 1(k)
f 2(k) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t
2k k+1
倒相: f(t)—>-f(t) 以横坐标为轴反折
平移:右移 f(t)—>f(t-t 0)
左移 f(t)(t )—>f(t+t 0)
t
t f(t) t -f(t)
f(t) t f(t-1)
平移与反折结合:f(t)—>f(-t-t0)
注意:先平移后反转f[-(t+t0)]
若先反转f(-t)则f(-t-t0)为左移
t
三尺度变换(横坐标展缩)f(t)—>f(at)
若a>1,以原点(t=0)为基准,压缩1/a
若0<a<1,以原点(t=0)为基准,展宽1/a
若a<0,反转并压缩或展宽至1/|a|
t2
1
四复合运算f(t)—>f(-at+b)
顺序:先平移f(t)—>f(t+b);再反转f(-t+b);最后尺度变换f(-at+b).
逆符合运算f(-at+b)—>f(t)
顺序:先尺度变换f(-t+b);再反转f(t+b);最后平移f(t)
f(-t-1)
-2 -1 0 1 2
f(t-1)
t
0 1 2
f(t-1)
t
f(t)
t
例:已知f(5-2t)的波形如图,试画出f(t)的波形
解题思路:f(5-2t)?????→?=倍展宽乘
22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5右移f(5+t-5)= f(t)
f (5+t ) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 f (5-t )
0 1 2 3 4 5 6
t
f (t ) -1 0 1 2 3
t f (5-2t )
0 1 3/2 2 5/2 3
1
t t
§1.4 阶跃函数和冲激函数
重要性:完成信号的时域分解
f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和
f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和
可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活
必要性:不是普通函数,而是奇异函数,有许多特殊的性质 重 点:引入两个函数的概念,讨论)(t δ的性质
一 阶跃函数和冲激函数的定义 0, t <0
1 阶跃函数)(t εdef ∞→n lim r n (t)= 2
1, t=0 波形: 1, t >0
2 冲激函数)(t δdef ∞
→n lim p n (t) 幅度—>∞ 宽度—>0 强度始终为1 波形:
表达式:
0 t <n
1 r n (t)= +212n t -n 1<t <n 1 —>)(t ε [条件:n —>∞,斜率无限大,区间
1 t >n 1 (-n 1,n
1
)—>0]
0 t <-n
1 r n ‘(t)= p n (t)= 2n -n 1<t <n 1 —>)(t δ [条件:n —>∞,幅度无限大,宽度—>0]
0 t >n 1 p n (t)的强度始终为1
3 )(t ε与)(t δ的关系
)(t δ=
dt
t d )(ε )(t δ=dx t t ?∞-)(δ(注意积分上、下限)= 0,t >0 1,t <0
4 冲激函数的另2种定义
○
1 荻拉克给出 )(t δ=0, t ≠0 ?∞∞-=1)(t δ,函数波形下的面积为1
该定义物理概念较明确,最易理解
○
2 )(t δ的广义函数定义 (严格的数学定义) 检验函数)(t ?:连续的,具有任意阶导数,且)(t ?及其各阶导
数在无限远处急速下降(|t|—>∞,比1/|t|m
下降更快)的普通函数(如e -| t 2|等)
按广义函数理论,)(t δ意义为:?∞∞
-=)0()()(??δt t )(t δ作用于)(t ?的效果是给它赋值)0(? 5 )(t δ的移位及强度表示:
)(t δ: t=0处的冲激
)(1t t -δ: t= t 1处的冲激
)(2t t A -δ: t=t 2处,强度为A
)(3t t A --δ: t=t 3处,强度为-A
二 )(t δ的性质
1 取样性质(筛选性质):)0()()(??δ=∞∞-?dt t t
2 与普通函数的乘积:f(t))(t δ= f(0))(t δ
∵?∞∞-[ f(t))(t δ])(t ?dt=?∞∞-)(t δ[f(t))(t ?]dt=f(0))0(?
又?∞∞-[f(0))(t δ])(t ?dt= f(0)?∞∞
-)(t δ)(t ?dt= f(0))0(? ∴ 按广义函数相等的原理可得:
f(t))(t δ= f(0))(t δ
?∞∞-)(t δf(t)dt=?∞
∞-)(t δf(0)dt= f(0)
注意公式成立的条件:f(t)、)(t ?也必须属于急降的检验函数。
例:t ·)(t δ=0·)(t δ=0
e -αt ·)(t δ= e -α0·)(t δ=)(t δ
?∞∞
-e -3t-1)(t δdt=e -3·0-1·1=e -1(其中1为强度) 3 移位 ?∞∞-)(1t t -δ)(t ?dt=)(1t ?
对普通函数f(t),也有 f(t))(1t t -δ= f(t 1))(1t t -δ
?∞∞
-f(t))(1t t -δdt= f(t 1) 分段连续函数在区间(-∞,∞ )的导数。
跳跃度 J i =f(t i+)-f(t i-)
广义函数概念:t i 处导数为:J i )(i t t -δ
∴ f ‘(t)= f ‘c (t)+∑i
J i )(i t t -δ
例:1.4-2 求f ‘(t) -∞<t <∞
解:f(t) = 0 t <0,t >3
2+3
2
t 0<t <3
方法一:直接用上述结论
两个间断点
t 1=0,J 1= f(0+)-f(0-)=2
t 2=3,J 2= f(3+)-f(3-)=0-4=-4
∴ f ‘(t)=32[)(t ε-)3(-t ε]+2)(t δ-4)3(-t δ
方法二:从函数求导
f(t)=(2+32t)[)(t ε-)3(-t ε]
f ‘(t) =(2+32t)‘[)(t ε-)3(-t ε] +(2+32t)[)(t ε-)3(-t ε]‘ =3
2
[)(t ε-)3(-t ε]+(2+32t)[)(t δ-)3(-t δ] =32[)(t ε-)3(-t ε]+2)(t δ-4)3(-t δ
所求得的f ‘(t)如下图
4 尺度变换:)(at δ=
||1a )(t δ 实际是强度变化,而不是展缩 推导:从?∞
∞-)(at δ)(t ?dt 研究:
若a >0,|a|=a ,令x=at
∵ ?∞∞-)(at δ)(t ?dt=?∞
∞-)(x δ||)(a dx a x ?=|
|1a )0(? 而?∞∞-)(||1t a δ)(t ?dt=|
|1a )0(? ∴ )(at δ=|
|1a )(t δ 若a <0,同理可证
5 奇偶性:)(t δ是偶函数
取a=-1,)(t -δ=)(t δ
三 )(t δ的导数和积分
1 导数定义:)('t δ:
?∞∞-)('t δ)(t ?dt= -?∞
∞-)(t δ)('t ?dt = -)0('?
推导:分步积分 )('t δ=?∞∞-)('t δ)(t ?dt
=)('t δ)(t ?|∞∞--?
∞
∞-)(t δ)('t ?dt = 0-?∞∞-)('t δ)('t ?dt = -)0('?
n 阶导数:)()(t n δ:?∞∞-)()(t n δ)(t ?dt =(-1)n )()(t n ?
2 导数的性质:
与f (t )的乘积:f(t))('t δ= f(0))('t δ- f `(0))(t δ 移位:
f(t))('1t t -δ= f(t 1))('1t t -δ- f `(t 1))(1t t -δ
∞∞-f(t))('1t t -δdt = - f `(t 1)
尺度变换:)('at δ=||1a ·a 1)('t δ
)()(at n δ=||1a ·n
a 1)()(t n δ 奇偶性:取a = - 1,)()(t n -δ=(-1)n )()(t n δ
当n 为偶数时,有)()(t n -δ=)()(t n δ 是偶函数
当n 为奇数时,有)()(t n -δ
= -)()(t n δ 是奇函数 3 )(t δ的积分:
积分的区间为(-∞,t)时,区间为(-∞,+∞)时
)(t δ=?∞
-t
)('x δdx ?∞∞-)(t δdt=1 )(t ε=?∞-t )(x δdx ?∞∞-)('t δdt=0
非普通,仅是表达形式
r(t)=?∞-t )(t εdx =?t 0
1·dx =t ·)(t ε 普通积分
* 有关信号的几个概念:
1.无时限信号:在t (-∞,+∞)内均有f(t)≠0
2.有始信号:t <t 1时f(t)= 0, t >t 1时f(t)≠0
3.有终信号:t <t 2时f(t)≠0,t >t 2时f(t)= 0
4.因果信号:t <0时f(t)=0;
t >0时f(t)≠0 , f(t)·v(t)表示
5.反因果信号:t ≥ 0时f(t)=0;
t <0时f(t)≠0 , f(t)·v(-t)
6.时限信号:在(t 1,t 2)内,f(t)≠0
*.抽样信号:f(t)=t t sin =Sa(t) -∞<t <∞ 性质:(1)是t 的偶函数。
(2)0
lim →t f(t)= f(0)=1 (3)当t=k π(k=2,1±±……)时,f(t)=0
(4)?∞∞-f(t)dt=?∞∞-t
t sin dt=π (5)±∞
→T lim t t sin =0
例:写出f(t)的时域表达式,并画出波形,求f(t)、f ‘(t)、f ‘‘(t)
f(t) = sint[v(t)-v(t-π)]
f `‘(t)= cost[v(t)-v(t-π)] + sint[)(t δ-)(πδ-t ]
= cost[v(t)-v(t-π)]
f ‘‘(t)= - sint[v(t)-v(t-π)] + cost[)(t δ-)(πδ-t ]
= - sint[v(t)-v(t-π)] + )(t δ+)(πδ-t
§ 1.5 系 统
系统分析:实际物理问题→数学模型→求出解答→结果的物理解释。 主要讨论:? 即时系统(无记忆系统):响应仅取决于激励,即电阻
组成,用代数方程描述
? 动态系统(记忆系统):相应与激励有关,而且与过
去历史状态有关(初始条件) 。含有记忆元件(电
容、电感),由微分方程描述。
系统的描述: ? 数学模型
? 框图表示
两种描述可互换。
1.系统的数学模型
? 连续系统 —微分方程
例1.R LC串联电路
由KVL: u L(t)+ u R(t)+ u C(t)= u S(t)
由各元件端口电压与电流的关系:i(t)=C*u C’(t)
u R(t)=R*i(t)=R*C*u C’(t)
u L(t)=L*i’(t)=L*C*u C”(t)
整理:u C”(t)+R/L* u C’(t)+1/L/C * u C(t)=1/L/C * u S(t)
二阶线性微分方程求解:需已知初始条件 u C(0), u C’(0).
结论:有以上数例可见,虽然系统的具体内容各不相同,但描述各系统的数学模型都是微分方程,因此在系统分析中,常抽去系统的物理含义,而作为一般意义下的系统来研究,以便于揭示系统的一般特性。? 离散系统---差分方程
例1:人口问题
y(k) = y(k-1) + a*y(k-1) – b*y(k-1) + f(k)
↓↓↓↓↓
第k年人口第(k-1)年人口出生死亡迁入
整理:y(k)-(1+a-b)*y(k-1)=f(k) ? 一阶差分方程
? 结论:有以上数例可见,虽然系统的内容各不相同,但描述这些离散时间系统的数学模型都是差分方程,因而也能用相同
的数学方法来分析。
2.系统的框图表示
? 连续系统:基本单元有三个:积分器、加法器、数乘器
例1.5-2、已知框图表示,写出微分方程。
解:设右方积分器的输出为x(t)
左输出:x”(t)=f(t)-a0*x(t)-a1*x’(t)
→f(t)=x”(t)+ a1*x’(t)+ a0*x(t) (1)
右输出:y(t)= b2*x”(t)+ b1*x’(t)+ b0*x(t) (2) 为求y(t)与f(t)的关系,消去中间变量x(t)及其导数。
由(2): a0*y= b2*( a0*x”)+ b1*( a0*x’)+ b0*( a0*x)
a1*y’= b2*( a1*x”)’+ b1*( a1*x’)’+ b0*( a1*x)’
y”= b2*(x”)”+ b1*(x’)”+ b0*(x)”
相加:y”+ a1*y’+ a0*y= b2*[x”+ a1*x’+ a0*x]”
+b1*[x”+ a1*x’+ a0*x]’+ b0*[x”+ a1*x’+ a0*x]
∴ y”(t)+ a1*y’(t)+ a0*y(t)= b2*f”(t)+ b1*f’(t)+ b0*f(t)
?离散系统:延迟单元,加法器、数乘器
f(k) →→ y(k)=f(k-1)
例1.5-3、已知离散系统框图,写出差分方程。
解:2个延迟单元为二阶系统,设左边延迟单元输入为x(k)
左○∑:x(k)=f(k)-a0*x(k-2)- a1*x(k-1)→
x(k)+ a1*x(k-1)+ a0*x(k-2)=f(k) (1)
右○∑: y(k)= b2*x(k)- b0*x(k-2) (2) 为消去x(k),将y(k)按(1)式移位。
a1*y(k-1)= b2* a1*x(k-1)+ b0* a1*x(k-3) (3) a0*y(k-2)= b2* a0*x(k-2)-b0* a0*x(k-4) (4)
(2)、(3)、(4)三式相加:y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)=
b2*[x(k)+ a1*x(k-1)+a0*x(k-2)]- b0*[x(k-2)+a1*x(k-3)+a0*x(k-4)]
∴ y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)= b2*f(k)- b0*f(k-2)═>差分方程
? 结论:已知框图,写方程的步骤。
(1)选中间变量x(.)。
(2)写出个加法器输出信号的方程。
(3)消去中间变量。
? 动态系统是否为线性系统:
例1、y(t)= f(t)*x(0)+ ∫t0f(x)dx 非线性
分解特性: 当 f(t)=0时,应得到y x (t)←x(0) , 实际 y(t)=0.
当x(t)=0时,得到y f (t)= ∫t0f(x)dx
∴不满足。
例2: y(t)= t*x(t)+sint*f(t)
分解特性:令f(t)=0, y x(t)= t*x(t).
正在阅读:
第一章 信号与系统的基本概念04-27
全册习题(附答案)-深圳版小学英语五年级下册(非常全面-强烈推荐)11-17
除四害标准及考核办法05-03
国际贸易实务习题(公用版答案)03-02
西安交通大学18年3月课程考试《Java语言》作业考核试题01-25
陶艺工作室规章制度06-03
那件事让我很羞愧作文07-10
K12教育学习资料高考英语二轮复习 阅读理解一百六十集选练(80)06-21
快乐的节日作文400字06-30
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 信号
- 概念
- 基本
- 系统
- 心理C级证书面试题2-如何帮助学生学会正确评价自己
- 第05讲 考点解析班(五)(2012年新版)
- 2021高中历史考试主观题解题技巧总结
- 2019-2020年苏教版小学语文五年级下册25 望月练习题第三十二篇
- 【精编完整版】单片机原理毕业论文_基于AT89C52的电子时钟设计
- 人教版六年级英语上册单元检测卷Unit 6 How do you feel
- 理正深基坑f-spw常见疑难问题解答高清扫描
- 2012年高考数学第一轮系统复习精品小练习(教师版 115页)
- ITSS运维服务能力成熟度评估合同-模板5
- 高考英语熟词生义500词例释
- 英语牛津教材1B-Unit1教案--优秀 The Third Period Let’s learn.doc
- 山东省潍坊高密市2020届高三模拟一数学试题(附答案及解析)
- 《佛说天地八阳神咒经》注音版(可直接A4纸打印,欢迎广为流传,功德无量)
- 立式电驱动自动饲料混合搅拌机设计
- 2.产学研合作协议书.参考
- 两个字母的单词及其它2字母组合
- 电磁场与电磁波(第三版)课后答案__谢处方
- -学年第二学期七年级组工作计划模板(完整版)
- 2017年福建省高考政治试卷(全国新课标Ⅰ)
- 中职骨干教师个人培训总结怎么写文档3篇