第一章 信号与系统的基本概念

更新时间:2023-04-27 15:12:01 阅读量: 实用文档 文档下载

说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。

第一章信号与系统的基本概念

§1.1 绪言

信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业(通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程)的必修课。重要性体现在两个方面:一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础;二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。

在教学计划中起着承前启后的作用,前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换(傅立叶变换和拉普拉斯变换),还有电路分析基础;而其本身是后续专业课(通信原理、数字信号处理)的基础。

信号

研究的主要内容:顾名思义系统

合成:信号

一个典型的电系统—通信系统

信息源转换电信号电信号还原受信者(声音、文字、图象)

/响应

通信系统

○1系统:控制系统抽象为理想化的模型,讨论激励与响应的关系

经济系统

○2信号:时间的函数f(t),一维函数,确定信号

* 信号与系统的关系:互相依存

信号是运载消息的工具,要很好的利用信号,需经过系统的传输、

处理.

系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组

合。离开了信号,系统就失去了意义.

§1.2 信号

一.定义:信号是带有信息的(如声音、图象等)随时间(或空间)

变化的物理量。

本课程主要研究电信号(电流、电压)。

二.信号的分类:从不同的角度

1 从函数的定义域(时间)是否连续:

○1连续时间信号:在连续的时间范围内有定义。t是连续的,f (t)可是,也可不是

表达方式时间的函数(解析式),如f(t)=Asinπt

波形图表示:

上述两种表达方式,可以互换。信号和函数两个词可互相通用○2离散时间信号:在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义,

其余无定义

序列f (k )=2k ,k ≥0

表达方式 图形表示:

序列值f (k )={0、1、2、4、8、……}

2 从信号的重复性:

1 周期信号:定义在(-∞,+∞)区间,每隔一定时间T 重复变化

连续f (t )=f (t+mT )

离散f (k )=f (k+mK ) K 为整数

2 非周期信号:不具有周期性的信号 例:正弦序列f (k )=sink β β为角频率,反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性

按定义:sink β=sin(β·k+m ·2π)

β=6π时,

βπ2 =12,为整数,是周期序列,k =12 β=318π时,βπ2=4

31,为有理数,是周期序列,k =31 β=21时,

βπ2 =4π,为无理数,是非周期序列 t f (kt )??→?简化

f (k ) 0 T 2T 3T 间隔相等 kT

3 实信号:物理可实现的

复信号:实际上不能产生,但理论分析重要——复指数信号 表达式:f (t )=e st ,-∞<t <+∞, δ= σ+j ω

f (t )=e (σ+j ω)t =e σ t ·e j ωt = e σ t cos ωt+j e σ t sin ωt

σ>0,增幅振荡 σ<0,衰减振荡 σ=0,等幅振荡

当ω=0,f (t )= e σt 为实指数信号

当σ=ω=0,f (t )=1,为直流信号

重要特性:对时间的微分和积分仍然是复指数信号。

4.从能量有限和功率有限的角度:

能量信号:也就是能量有限信号,0<E <∞(p=0),如矩形脉

冲、衰减的指数

功率信号:也就是功率有限信号,0<P <∞(E —>∞),如周

期信号、阶跃信号

信号f (t )的能量E def ∞→T lim ?-T T f (t )|2dt

信号f (t )的功率P def ∞→T lim T 1?-2/2/T T |f (t )|2dt

§1.3 信号的基本运算

一 加法和乘法

f(·)=f 1(·)+f 2(·) 瞬时和

f(·)=f 1(·)·f 2(·) 瞬时积

例1.3-1 -2

f 1(k)+ f 2(k) = 2k +2-k k=-1、-2

k+1 +2-k k ≥0

0 k <-2

f 1(k)× f 2(k) = 1 k=-1、-2

(k+1)×2-k k ≥0

二 反转和平移

反转: f(t)—>f(- t) 以纵坐标为轴反折 实轴 虚轴

f (t )

e σt

ωt

0 2-k 2k t f 1(k)

f 2(k) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t

2k k+1

倒相: f(t)—>-f(t) 以横坐标为轴反折

平移:右移 f(t)—>f(t-t 0)

左移 f(t)(t )—>f(t+t 0)

t

t f(t) t -f(t)

f(t) t f(t-1)

平移与反折结合:f(t)—>f(-t-t0)

注意:先平移后反转f[-(t+t0)]

若先反转f(-t)则f(-t-t0)为左移

t

三尺度变换(横坐标展缩)f(t)—>f(at)

若a>1,以原点(t=0)为基准,压缩1/a

若0<a<1,以原点(t=0)为基准,展宽1/a

若a<0,反转并压缩或展宽至1/|a|

t2

1

四复合运算f(t)—>f(-at+b)

顺序:先平移f(t)—>f(t+b);再反转f(-t+b);最后尺度变换f(-at+b).

逆符合运算f(-at+b)—>f(t)

顺序:先尺度变换f(-t+b);再反转f(t+b);最后平移f(t)

f(-t-1)

-2 -1 0 1 2

f(t-1)

t

0 1 2

f(t-1)

t

f(t)

t

例:已知f(5-2t)的波形如图,试画出f(t)的波形

解题思路:f(5-2t)?????→?=倍展宽乘

22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5右移f(5+t-5)= f(t)

f (5+t ) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 f (5-t )

0 1 2 3 4 5 6

t

f (t ) -1 0 1 2 3

t f (5-2t )

0 1 3/2 2 5/2 3

1

t t

§1.4 阶跃函数和冲激函数

重要性:完成信号的时域分解

f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和

f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和

可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活

必要性:不是普通函数,而是奇异函数,有许多特殊的性质 重 点:引入两个函数的概念,讨论)(t δ的性质

一 阶跃函数和冲激函数的定义 0, t <0

1 阶跃函数)(t εdef ∞→n lim r n (t)= 2

1, t=0 波形: 1, t >0

2 冲激函数)(t δdef ∞

→n lim p n (t) 幅度—>∞ 宽度—>0 强度始终为1 波形:

表达式:

0 t <n

1 r n (t)= +212n t -n 1<t <n 1 —>)(t ε [条件:n —>∞,斜率无限大,区间

1 t >n 1 (-n 1,n

1

)—>0]

0 t <-n

1 r n ‘(t)= p n (t)= 2n -n 1<t <n 1 —>)(t δ [条件:n —>∞,幅度无限大,宽度—>0]

0 t >n 1 p n (t)的强度始终为1

3 )(t ε与)(t δ的关系

)(t δ=

dt

t d )(ε )(t δ=dx t t ?∞-)(δ(注意积分上、下限)= 0,t >0 1,t <0

4 冲激函数的另2种定义

1 荻拉克给出 )(t δ=0, t ≠0 ?∞∞-=1)(t δ,函数波形下的面积为1

该定义物理概念较明确,最易理解

2 )(t δ的广义函数定义 (严格的数学定义) 检验函数)(t ?:连续的,具有任意阶导数,且)(t ?及其各阶导

数在无限远处急速下降(|t|—>∞,比1/|t|m

下降更快)的普通函数(如e -| t 2|等)

按广义函数理论,)(t δ意义为:?∞∞

-=)0()()(??δt t )(t δ作用于)(t ?的效果是给它赋值)0(? 5 )(t δ的移位及强度表示:

)(t δ: t=0处的冲激

)(1t t -δ: t= t 1处的冲激

)(2t t A -δ: t=t 2处,强度为A

)(3t t A --δ: t=t 3处,强度为-A

二 )(t δ的性质

1 取样性质(筛选性质):)0()()(??δ=∞∞-?dt t t

2 与普通函数的乘积:f(t))(t δ= f(0))(t δ

∵?∞∞-[ f(t))(t δ])(t ?dt=?∞∞-)(t δ[f(t))(t ?]dt=f(0))0(?

又?∞∞-[f(0))(t δ])(t ?dt= f(0)?∞∞

-)(t δ)(t ?dt= f(0))0(? ∴ 按广义函数相等的原理可得:

f(t))(t δ= f(0))(t δ

?∞∞-)(t δf(t)dt=?∞

∞-)(t δf(0)dt= f(0)

注意公式成立的条件:f(t)、)(t ?也必须属于急降的检验函数。

例:t ·)(t δ=0·)(t δ=0

e -αt ·)(t δ= e -α0·)(t δ=)(t δ

?∞∞

-e -3t-1)(t δdt=e -3·0-1·1=e -1(其中1为强度) 3 移位 ?∞∞-)(1t t -δ)(t ?dt=)(1t ?

对普通函数f(t),也有 f(t))(1t t -δ= f(t 1))(1t t -δ

?∞∞

-f(t))(1t t -δdt= f(t 1) 分段连续函数在区间(-∞,∞ )的导数。

跳跃度 J i =f(t i+)-f(t i-)

广义函数概念:t i 处导数为:J i )(i t t -δ

∴ f ‘(t)= f ‘c (t)+∑i

J i )(i t t -δ

例:1.4-2 求f ‘(t) -∞<t <∞

解:f(t) = 0 t <0,t >3

2+3

2

t 0<t <3

方法一:直接用上述结论

两个间断点

t 1=0,J 1= f(0+)-f(0-)=2

t 2=3,J 2= f(3+)-f(3-)=0-4=-4

∴ f ‘(t)=32[)(t ε-)3(-t ε]+2)(t δ-4)3(-t δ

方法二:从函数求导

f(t)=(2+32t)[)(t ε-)3(-t ε]

f ‘(t) =(2+32t)‘[)(t ε-)3(-t ε] +(2+32t)[)(t ε-)3(-t ε]‘ =3

2

[)(t ε-)3(-t ε]+(2+32t)[)(t δ-)3(-t δ] =32[)(t ε-)3(-t ε]+2)(t δ-4)3(-t δ

所求得的f ‘(t)如下图

4 尺度变换:)(at δ=

||1a )(t δ 实际是强度变化,而不是展缩 推导:从?∞

∞-)(at δ)(t ?dt 研究:

若a >0,|a|=a ,令x=at

∵ ?∞∞-)(at δ)(t ?dt=?∞

∞-)(x δ||)(a dx a x ?=|

|1a )0(? 而?∞∞-)(||1t a δ)(t ?dt=|

|1a )0(? ∴ )(at δ=|

|1a )(t δ 若a <0,同理可证

5 奇偶性:)(t δ是偶函数

取a=-1,)(t -δ=)(t δ

三 )(t δ的导数和积分

1 导数定义:)('t δ:

?∞∞-)('t δ)(t ?dt= -?∞

∞-)(t δ)('t ?dt = -)0('?

推导:分步积分 )('t δ=?∞∞-)('t δ)(t ?dt

=)('t δ)(t ?|∞∞--?

∞-)(t δ)('t ?dt = 0-?∞∞-)('t δ)('t ?dt = -)0('?

n 阶导数:)()(t n δ:?∞∞-)()(t n δ)(t ?dt =(-1)n )()(t n ?

2 导数的性质:

与f (t )的乘积:f(t))('t δ= f(0))('t δ- f `(0))(t δ 移位:

f(t))('1t t -δ= f(t 1))('1t t -δ- f `(t 1))(1t t -δ

∞∞-f(t))('1t t -δdt = - f `(t 1)

尺度变换:)('at δ=||1a ·a 1)('t δ

)()(at n δ=||1a ·n

a 1)()(t n δ 奇偶性:取a = - 1,)()(t n -δ=(-1)n )()(t n δ

当n 为偶数时,有)()(t n -δ=)()(t n δ 是偶函数

当n 为奇数时,有)()(t n -δ

= -)()(t n δ 是奇函数 3 )(t δ的积分:

积分的区间为(-∞,t)时,区间为(-∞,+∞)时

)(t δ=?∞

-t

)('x δdx ?∞∞-)(t δdt=1 )(t ε=?∞-t )(x δdx ?∞∞-)('t δdt=0

非普通,仅是表达形式

r(t)=?∞-t )(t εdx =?t 0

1·dx =t ·)(t ε 普通积分

* 有关信号的几个概念:

1.无时限信号:在t (-∞,+∞)内均有f(t)≠0

2.有始信号:t <t 1时f(t)= 0, t >t 1时f(t)≠0

3.有终信号:t <t 2时f(t)≠0,t >t 2时f(t)= 0

4.因果信号:t <0时f(t)=0;

t >0时f(t)≠0 , f(t)·v(t)表示

5.反因果信号:t ≥ 0时f(t)=0;

t <0时f(t)≠0 , f(t)·v(-t)

6.时限信号:在(t 1,t 2)内,f(t)≠0

*.抽样信号:f(t)=t t sin =Sa(t) -∞<t <∞ 性质:(1)是t 的偶函数。

(2)0

lim →t f(t)= f(0)=1 (3)当t=k π(k=2,1±±……)时,f(t)=0

(4)?∞∞-f(t)dt=?∞∞-t

t sin dt=π (5)±∞

→T lim t t sin =0

例:写出f(t)的时域表达式,并画出波形,求f(t)、f ‘(t)、f ‘‘(t)

f(t) = sint[v(t)-v(t-π)]

f `‘(t)= cost[v(t)-v(t-π)] + sint[)(t δ-)(πδ-t ]

= cost[v(t)-v(t-π)]

f ‘‘(t)= - sint[v(t)-v(t-π)] + cost[)(t δ-)(πδ-t ]

= - sint[v(t)-v(t-π)] + )(t δ+)(πδ-t

§ 1.5 系 统

系统分析:实际物理问题→数学模型→求出解答→结果的物理解释。 主要讨论:? 即时系统(无记忆系统):响应仅取决于激励,即电阻

组成,用代数方程描述

? 动态系统(记忆系统):相应与激励有关,而且与过

去历史状态有关(初始条件) 。含有记忆元件(电

容、电感),由微分方程描述。

系统的描述: ? 数学模型

? 框图表示

两种描述可互换。

1.系统的数学模型

? 连续系统 —微分方程

例1.R LC串联电路

由KVL: u L(t)+ u R(t)+ u C(t)= u S(t)

由各元件端口电压与电流的关系:i(t)=C*u C’(t)

u R(t)=R*i(t)=R*C*u C’(t)

u L(t)=L*i’(t)=L*C*u C”(t)

整理:u C”(t)+R/L* u C’(t)+1/L/C * u C(t)=1/L/C * u S(t)

二阶线性微分方程求解:需已知初始条件 u C(0), u C’(0).

结论:有以上数例可见,虽然系统的具体内容各不相同,但描述各系统的数学模型都是微分方程,因此在系统分析中,常抽去系统的物理含义,而作为一般意义下的系统来研究,以便于揭示系统的一般特性。? 离散系统---差分方程

例1:人口问题

y(k) = y(k-1) + a*y(k-1) – b*y(k-1) + f(k)

↓↓↓↓↓

第k年人口第(k-1)年人口出生死亡迁入

整理:y(k)-(1+a-b)*y(k-1)=f(k) ? 一阶差分方程

? 结论:有以上数例可见,虽然系统的内容各不相同,但描述这些离散时间系统的数学模型都是差分方程,因而也能用相同

的数学方法来分析。

2.系统的框图表示

? 连续系统:基本单元有三个:积分器、加法器、数乘器

例1.5-2、已知框图表示,写出微分方程。

解:设右方积分器的输出为x(t)

左输出:x”(t)=f(t)-a0*x(t)-a1*x’(t)

→f(t)=x”(t)+ a1*x’(t)+ a0*x(t) (1)

右输出:y(t)= b2*x”(t)+ b1*x’(t)+ b0*x(t) (2) 为求y(t)与f(t)的关系,消去中间变量x(t)及其导数。

由(2): a0*y= b2*( a0*x”)+ b1*( a0*x’)+ b0*( a0*x)

a1*y’= b2*( a1*x”)’+ b1*( a1*x’)’+ b0*( a1*x)’

y”= b2*(x”)”+ b1*(x’)”+ b0*(x)”

相加:y”+ a1*y’+ a0*y= b2*[x”+ a1*x’+ a0*x]”

+b1*[x”+ a1*x’+ a0*x]’+ b0*[x”+ a1*x’+ a0*x]

∴ y”(t)+ a1*y’(t)+ a0*y(t)= b2*f”(t)+ b1*f’(t)+ b0*f(t)

?离散系统:延迟单元,加法器、数乘器

f(k) →→ y(k)=f(k-1)

例1.5-3、已知离散系统框图,写出差分方程。

解:2个延迟单元为二阶系统,设左边延迟单元输入为x(k)

左○∑:x(k)=f(k)-a0*x(k-2)- a1*x(k-1)→

x(k)+ a1*x(k-1)+ a0*x(k-2)=f(k) (1)

右○∑: y(k)= b2*x(k)- b0*x(k-2) (2) 为消去x(k),将y(k)按(1)式移位。

a1*y(k-1)= b2* a1*x(k-1)+ b0* a1*x(k-3) (3) a0*y(k-2)= b2* a0*x(k-2)-b0* a0*x(k-4) (4)

(2)、(3)、(4)三式相加:y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)=

b2*[x(k)+ a1*x(k-1)+a0*x(k-2)]- b0*[x(k-2)+a1*x(k-3)+a0*x(k-4)]

∴ y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)= b2*f(k)- b0*f(k-2)═>差分方程

? 结论:已知框图,写方程的步骤。

(1)选中间变量x(.)。

(2)写出个加法器输出信号的方程。

(3)消去中间变量。

? 动态系统是否为线性系统:

例1、y(t)= f(t)*x(0)+ ∫t0f(x)dx 非线性

分解特性: 当 f(t)=0时,应得到y x (t)←x(0) , 实际 y(t)=0.

当x(t)=0时,得到y f (t)= ∫t0f(x)dx

∴不满足。

例2: y(t)= t*x(t)+sint*f(t)

分解特性:令f(t)=0, y x(t)= t*x(t).

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/vxpq.html

Top