2015高考真题数学考点42 随机抽样、用样本估计总体、变量间的相

考点42 随机抽样、用样本估计总体、

变量间的相关关系、统计案例

一、选择题

1. (2015·四川高考文科·T3)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 ( ) A.抽签法

B.系统抽样法 D.随机数法

C.分层抽样法

【解析】选C.因为题干中总体是由差异明显的三个部分组成的,所以选择分层抽样法.

2．（2015·安徽高考理科·T6）若样本数据

x1，x2，???，x10的标准差为8，则数据2x1?1，2x2?1，

???，2x10?1的标准差为（ ）

A.8 B.15 C.16

D.32

【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差。 【解析】选C。样本数据

x1，x2，???，x10的标准差DX=8，则DX=64，而样本数据2x1?1，2x2?1，

222???，2x10?1的方差D（2X-1）=2DX?2?64，所以其标准差为2?64?16。

3. (2015·北京高考文科·T4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为 ( ) A.90

类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 B.100

C.180 人数 900 1 800 1 600 4 300

D.300

【解题指南】分层抽样总体与样本中各层的比相同. 【解析】选C.设样本中老年教师人数为n人,

320n?,解得n=180. 16009004．(2015·山东高考文科·T6)为比较甲、乙两地14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( ) A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

x1?x2???x5(x1?x)2?(x2?x)2???(x5?x)2【解题指南】由x?和s?求解.

55【解析】选B. x甲?26?28?29?31?3128?29?30?31?32?29，x乙??30，

55(26?29)2?(28?29)2?(29?29)2?(31?29)2?(31?29)218，s甲??55(28?30)2?(29?30)2?(30?30)2?(31?30)2?(32?30)210. s乙??555.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是 ( )

A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【解析】选D.由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关. 6．(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是 ( )

A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【解析】选D.由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关. 7.(2015·湖北高考理科·T2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ( ) A.134石 C.338石

B.169石 D.1 365石

【解题指南】简单随机抽样,样本估计总体. 【解析】选B.设这批米内夹谷x石,则由题意知, 即x?28x?, 254153428?1534?169. 2548．(2015·湖北高考文科·T2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ( ) A.134石 C.338石

B.169石 D.1 365石

【解析】选B.设这批米内夹谷x石,则由题意知,

28x28?,即x??1534?169. 25415342549. （2015·重庆高考理科·Ｔ3）重庆市2013年各月的平均气温（?C）数据的茎叶图如下： 0 8 9 1 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2

则这组数据的中位数是（ ） A.19

B.20

C.21.5

D.23

【解题指南】直接利用中位数的概念进行计算即可.

【解析】选B.由中位数的概念可知，该组数据的从小到大顺序排列的第6和第7个数据的平均数即所要求的中位数，为20.

10. （2015·重庆高考文科·Ｔ4）同（2015·重庆高考文科·Ｔ3）重庆市2013年各月的平均气温（?C）数据的茎叶图如下： 0 8 9 1 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2

则这组数据的中位数是（ ） A.19

B.20

C.21.5

D.23

【解题指南】直接利用中位数的概念进行计算即可.

【解析】选B.由中位数的概念可知，该组数据的从小到大顺序排列的第6和第7个数据的平均数即所要求的中位数，为20.

11．(2015·福建高考理科·T4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

收入x(万元) 支出y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 ( ) A.11.4万元

B.11.8万元

C.12.0万元

D.12.2万元

【解题指南】样本点的中心(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。)一定在回归直线上.

_8.2?8.6?10.0?11.3?11.96.2?7.5?8.0?8.5?9.8?10，y??8,所以【解析】选B.由题意得x?55_=8-0.76×10=0.4,所以=0.76x+0.4,把x=15代入得到=11.8.

12. (2015·陕西高考理科·T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( )

A.167 B.137 C.123 D.93

【解题指南】根据扇形统计图可得初中部女教师所占比例为70%,高中部女教师所占比例为40%,再用各自的总人数乘以所占的比例即可求得答案. 【解析】选B.初中部女教师人数为110×70%=77, 高中部女教师人数为150×40%=60, 则该校女教师的人数为77+60=137, 故B正确.

13. (2015·陕西高考文科·T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( )

A.93 B.123 C.137 D.167

【解题指南】根据扇形统计图可得初中部女教师所占比例为70%,高中部女教师所占比例为40%,再用各自的总人数乘以所占的比例即可求得答案. 【解析】选C.初中部女教师人数为110×70%=77, 高中部女教师人数为150×40%=60, 则该校女教师的人数为77+60=137.

14. (2015·湖北高考文科·T4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是 ( )

A.x与y正相关,x与z负相关 B.x与y正相关,x与z正相关 C.x与y负相关,x与z负相关 D.x与y负相关,x与z正相关

【解析】选C.因为变量x和y满足关系y=-0.1x+1,其中-0.1<0,所以x与y成负相关;又因为变量y与z正相关,不妨设z=ky+b(k>0),则将y=-0.1x+1代入即可得到:z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k<0,所以x与z负相关.

二、填空题

15．(2015·湖北高考文科·T14)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中的a= .

(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .

【解题指南】利用频率和为1,求得a,由消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率,求得消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数.

【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3,消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000. 答案:(1)3 (2)6000

16．(2015·福建高考文科·T13)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 . 【解题指南】首先计算出男生人数,再计算出男女比例,从而确定抽取男生人数.

【解析】由题意知,男生人数=900-400=500,所以抽取比例为男生︰女生=500∶400=5∶4,样本容量为45,所以抽取的男生人数为45×错误！未找到引用源。=25. 答案:25

17. (2015·江苏高考·T2)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 【解题指南】利用平均数的概念计算即可. 【解析】x?答案:6

18. (2015·广东高考文科·T12)已知样本数据x1,x2,?,xn的均值错误！未找到引用源。=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,?,2xn+1的均值为 .

【解析】因为样本数据x1,x2,?,xn的均值错误！未找到引用源。=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,?,2xn+1的均值为2错误！未找到引用源。+1=2×5+1=11. 答案:11

x1?x2???xn,所以这组数据的平均数为错误！未找到引用源。.

n三、解答题

19. (2015·广东高考文科·T17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如

图.

(1)求直方图中x的值.

(2)求月平均用电量的众数和中位数.

(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?

【解析】(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1得: x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075. (2)月平均用电量的众数是错误！未找到引用源。

因为?0.002?0.0095?0.011??20?0.45?0.5，所以月平均用电量的中位数在?220,240?内，设中位数为a，由?0.002?0.0095?0.011??20?0.0125??a?220??0.5得：a?224，所以月平均用电量的中位数是224

(2)月平均用电量为?220,240?的用户有0.0125?20?100?25户， 月平均用电量为?240,260?的用户有0.0075?20?100?15户， 月平均用电量为?260,280?的用户有0.005?20?100?10户， 月平均用电量为?280,300?的用户有0.0025?20?100?5户， 抽取比例?111?，

25?15?10?551?5户。 5所以月平均用电量在?220,240?的用户中应抽取25?20. (2015·北京高考理科·T16)(13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:

A组:10,11,12,13,14,15,16 B组:12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率.

(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

【解题指南】(1)古典概型的概率计算.(2)由乙的康复时间分别求出对应甲的康复时间,再求概率.(3)利用数据平移调整顺序不影响方差可得结论.

1C33【解析】(1) P(t?14)?1?。

C77(2)当a=25时,假设乙的康复时间为12天,则符合题意的甲有13天,14天,15天,16天,共4人; 若乙的康复时间为13天,则符合题意的甲有14天,15天,16天,共3人; 若乙的康复时间为14天,则符合题意的甲有15天,16天,共2人; 若乙的康复时间为15天,则符合题意的甲有16天,共1人.

当乙的康复时间为其他值时,由于甲的最大康复时间为16天,均不符合题意. 所以符合题意的甲、乙选择方式共4+3+2+1=10种. 因为甲、乙组合情况共C7?C7?49种, 又因为任何组合情况都是等可能的,故P(t甲>t乙)=(3)a=11或a=18.

21.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T18)(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可).

1110. 49

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分

满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 【解析】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图.

通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.

(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”;

则CA1与CB1相互独立,CA2与CB2相互独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2) =P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2),

1614108，，，， 20202020164108故P(CA1)?,P(CA2)?,P(CB1)?,P(CB2)?.

20202020101684????0.48 所以P(C)?20202020由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2的频率分别为

22.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度 评分分组 频数 2 8 14 10 6 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 【解析】(1)

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散. (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,

P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

23. (2015·广东高考理科·T17)某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 44 40 41 33 40 45 42 43 年龄 工人 编号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 31 38 39 43 45 39 38 36 年龄 工人 编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 年龄 工人 编号 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39 年龄 (1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据.

(2)计算(1)中样本的平均值和方差.

(3)36名工人中年龄在错误！未找到引用源。-s与错误！未找到引用源。+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?

【解析】（1）由题条件知所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37； （2）由（1）知可得其样本的均值为x?方差为:

44?40?36?43?36?37?44?43?37?40，

9s2???44?40???40?40???36?40???43?40???36?40???37?40???44?40???43?40???37?40???1222224?02???4??32???4????3??42?32???3? 9100? 910(3)由（2）知s?，

3?222222222

??

所以

x?s?110130,x?s?， 33所以年龄在x?s与x?s之间的共有23人， 所占百分比为：

23?63.89%. 3624． （2015·重庆高考文科·Ｔ17）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份 时间代号t 储蓄存款y(千亿元) 2010 1 5 2011 2 6 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10 ??a?； (1)求y关于t的回归方程?y?bt（2）用所求回归方程预测该地区2015年(t?6)的人民币储蓄存款.

????a?中，b附：回归方程?y?bt?ty?ntyiii?1nn?ti2?nti?12??y?bt?. ,a【解题指南】（1）直接利用回归系数公式求解即可，（2）利用回归方程代入直接进行计算即可. 【解析】（1）列表计算如下：

i 1 2 3 4 5 ti 1 2 3 4 5 15 yi 5 6 7 8 10 36 ti2 1 4 9 16 25 55 tiyi 5 12 21 32 50 120 ?1n151n36这里n?5,t??ti??3,y??yi??7.2.

ni?15ni?15又ltt??ti?1n2i?nt?55?5?3?10,lty??tiyi?nty?120?5?3?7.2?12,

2i?12n??从而bltyltt?12??y?bt??7.2?1.2?3?3.6, ?1.2,a10

故所求回归方程为?y?1.2t?3.6.

（2）将t?6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为

?y?1.2?6?3.6?10.8（千亿元）

25.(2015·新课标全国卷Ⅰ·理科·T19)(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

错误！未找到引用源。(xi-错误！未找到引用源。) 2错误！未找到引用源。(wi-错误！未找到引用源。) 2错误！未找到引用源。(xi-错误！未找到引用源。)(yi-错误！未找到引用源。) 错误！未找到引用源。(wi-错误！未找到引用源。)(yi-错误！未找到引用源。) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。wi.

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d错误！未找到引用源。哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程.

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=错误！未找到引用源。,=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。.

【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+d错误！未找到引用源。适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

(2)令w=错误！未找到引用源。,先建立y关于w的线性回归方程.

??由于d?(w?w)(y?y)iii????(w?w)ii????????.???? ?.?=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=563-68×6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68错误！未找到引用源。. (3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68错误！未找到引用源。=576.6, 年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润z的预报值

=0.2(100.6+68错误！未找到引用源。)-x=-x+13.6错误！未找到引用源。+20.12. 所以当错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=6.8,即x=46.24时,取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.

26.(2015·新课标全国卷Ⅰ·文科·T19)(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

错误！未找到引用源。(xi-错误！未找到引用源。) 2错误！未找到引用源。(wi-错误！未找到引用源。) 2错误！未找到引用源。(xi-错误！未找到引用源。)(yi-错误！未找到引用源。) 错误！未找到引用源。(wi-错误！未找到引用源。)(yi-错误！未找到引用源。) 46.6

563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。wi.

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d错误！未找到引用源。哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程.

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:

①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=错误！未找到引用源。,=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。.

【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+d错误！未找到引用源。适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

(2)令w=错误！未找到引用源。,先建立y关于w的线性回归方程.

??由于d?(w?w)(y?y)iii????(w?w)ii????????.???? ?.?=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=563-68×6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68错误！未找到引用源。. (3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68错误！未找到引用源。=576.6, 年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润z的预报值

=0.2(100.6+68错误！未找到引用源。)-x=-x+13.6错误！未找到引用源。+20.12. 所以当错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=6.8,即x=46.24时,取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.

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