现代信号处理试题

1、已知xa(t)?2cos(2?f0t)式中f0=100HZ,以采样频率fs=400Hz对xa(t)进行采样，得

?a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： 到采样信号x（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；

（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)的傅里叶变换。 解：（1）

??Xa(j?)??xa(t)e??????j?tdt??2cos(?0t)e???j?tdt

??(ej?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以表示成：

Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)] （2）

?a(t)?xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)a0n?????

x(n)?2cos(?0nT),???n??2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：

（1）最小记录时间Tpmin （2）最大取样时间Tmax （3）最少采样点数Nmin

（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。 解：（1）已知F?50Hz

11??0.02s F50111（2） Tmax????0.5ms 3fsmin2fmax2?10Tp0.02s??40 （3） Nmin?T0.5?10?3s（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频率分辩率提高1倍（F变成原来的12）

Tp0.04sNmin???80

T0.5?10?3s

Tpmin?3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率fs ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率2?总是对应模拟频率fs 。

2fsfs??100Hz 2NN2?2??) ，不能提一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率(N2NN也增加一倍，采样频率由fs到2fs 增加一倍，但模拟频率的采样间隔

高模拟频率的分辨率。

4、在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用

？

解：在A/D 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

1?a25、已知H(z)?,0?a?1，分析其因果性和稳定性。 ?1(1?az)(1?az)解： H(z)的极点为z?a,z?a?1，

（1） 收敛域a?1?z??，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)?(an?a?n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。 （2）收敛域0?z?a，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应，这是一个非因果且不收敛的序列。 h(n)?(a?n?anu)?(n?1)（3）收敛域a?z?a，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)?an，这是一个收敛的双边序列。

6、什么叫做数字滤波器？FIR和IIR的比较和各自的设计方案？

答：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 FIR：有限脉冲响应滤波器 IIR：无限脉冲响应滤波器

★ IIR极点可存在与单位圆的任何地方,有较强的幅度选择性,但相位特性差。 FIR相位呈线性，但幅度特性需高阶才可调节的较好。 ★ FIR计算不产生振荡,误差影响小,可以采用FFT算法。

IIR有稳定问题，有限字长可能产生振荡，同阶递归算法速度受到限制。 ★ IIR可用模拟滤波器成果，得到有效的封闭式公式，设计工作量小，要求低。 FIR仅窗函数有公式，但无显式表达通、阻带，需要计算机辅助设计。 ★ IIR设计已规格化，频率特性为分段常数的滤波器。

FIR主要适应特殊应用，且高阶IIR不易达到指标的滤波器。 ＩＩＲ数字滤波器设计 ★直接设计：

原型变换（由一低通经过频率变形设计低通、高通、带通、带阻等） 频域设计（零、极点配置；幅度平方函数）， 时域设计（帕德（Pade）逼近；波形形成）

★ 优化技术设计（依据一定的优化准则进行设计） ＦＩＲ数字滤波器设计

★线性相位： 零点的镜像存在。 偶对称： 奇对称： ★窗函数（时域加权平均）：矩形，三角，余弦，布莱克曼(Blackman)系列，凯塞(Kaiser)系列，高斯

★频率取样：在H(z)的单位圆上等分取样(是否带初相) ★优化技术设计：（依据一定的优化准则进行设计） 7、有一连续信号xa(t)?2cos(2f???），式中f?20Hz， ??1) 求xa(t)的周期；

?1π, 2?a(t)的表达式； 2) 用采样间隔T=0.02S对xa(t)进行采样，写出采样信号x?a(t)的时域离散信号（序列x(n)的波形，并求出x(n)的周期。 3) 画出对应x解：（1）xa(t)的周期是Ta?1?0.05s f?a(t)?（2）x?n?????cos(2?fnT??)?(t?nT)

?n????cos(40?nT??)?(t?nT)

w?0.8?，

（3）x(n)的数字频率为

2?5? w2周期N?5。

x(n)?cos(0.8?n??/2)，画出其波形如题12解图所示。

8：长度为N=10的两个有限长序列

?1,?0?n?4?1,?0?n?4 x2(n)?? x1(n)??0,?5?n?9?1,?5?n?9??作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)(圆周卷积)，循环卷积区间长度L=10。 解：x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示

jw9：若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部为HR(e)?1?cos(w)，求序列的h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。

?1jw1?jw?FT[he(n)]??he(n)e?jwn 解：HR(e)?1?cos(w)?1?e?e22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0

?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1

?2h(n),n?0??0,othern?e??H(e)?jwn????h(n)e??jwn?1?ejw?2ejw/2cosw 210、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？

答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与?有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。 11、写出香农公式表示式，简述香农公式的含义？

答：若噪声n(t)的单边功率谱密度为n0，则在信道带宽B内的噪声功率为N?n0B。

s)(b/s)n0B香农公式可以表示为：。

香农公式的意义：公式表明增大信号功率S或减小噪声功率N（或减小噪声功率谱密度n0C?Blog2(1?）

可以增加信道容量，增大信道带宽B也可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大。香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速率。 12、为消除码间干扰，基带系统特性应满足什么条件？

答：码间干扰是指接收信号中除当前码元波形以外的其它码元波形在当前抽样时刻的总和，它对当前码元ak的判决起着干扰作用，所以称为码间干扰。 若想消除码间干扰应有统应满足：

时域条件：h(kTS)?频域条件为：

?ah[(k?n)T0S?t0]?0，假设延迟t0?0，无码间串扰的基带系

?1,k?00,k为其他整数

?h(??i2?i?)?TS ?? TSTs13、某宽带调频系统，调制信号为m(t)?cos(2??104t)，载频出信噪比为30dB。试求：

（1）调频指数m ？

ffc?100MHz，最大的频

率偏移?f?50kHz，信道噪声的单边功率谱密度n0?10?12W/Hz。若要求系统解调器输

（2）调频信号的带宽BFM ？ （3）调频信号的频域表达式？ 解：

mf??ff?m50k?5 10k

（1）

BFM?2(fm??f)?120kHz（2）SFM(t)?Acos(2?fct?5sin2??104t)

G?3m2(1?mf?)f得：

04532S/NS10200.5A2001 ????A?7.3?104(V) N1G4509n0?2B92故SFM(t)?7.3?10?4cos(2??107t?5sin2??104t)

14、已知电话信道的带宽为3.4kHZ，信道输出信噪比S/N=30dB,该信道输出128个符号，个符号等概率出现且相互统计独立，试求： （1） 该电话信道的信道容量。

（2） 无误码时最高的传输符号速率。

S)?3.4?103log2(1001)?3.39?104(b/s) N4C3.3?9103??4.84?1 （2）H?log128?7(bit) RB? 02H7解：（1）C?Blog2(1?15、自设试题：

FF观测取数据x(n) T 模的平方 1/N

（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？ （2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。 （3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。

（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。

解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。

2.图中所示的是周期图法

?(ejw)Pxx ?(ejw)?1PxxN1?xx(m)?3. rN?x(n)en?0N?m?1N?12?jwn

??n?0?(e)?x(n)x(n?m) PBT*jwm????r?xx(m)e?jwn

周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算。

4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作

估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。

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