2014大兴一模北京市大兴区2014届高三统一练习数学理含答案

北京市大兴区2014年高三统一练习

数学（理科）

本试卷分两部分，第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）共4页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，

将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A???1,0,1?，B?xx?1?0，那么A?B等于

A. ??1,0,1? B. ?0,1? C. (?1,??) D. ??1,??? （2）复数

??1?i? A. ?i B. i C. ?2i D. 2i 1?i12π C. 1 D. 2 (??R)的距离是 A. B. 242π（4）将函数y?sin2x的图像向左平移个单位后，所得图像的解析式是

6（3）在极坐标系中，点(1,0)到直线?? A. y?sin(2x?) B.y?sin(2x?) C. y?sin(2x?) D.y?sin(2x?) （5）“x?0”是“x?π3π3π6π61≥2”的 xA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （6）不等式组??0≤2x?y≤6,91836185在坐标平面内表示的图形的面积等于 A. B. C. D.

5555?0≤x?2y≤312（7）某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

（8）给出下列函数：①f(x)?x；②f(x)?2x；③f(x)?log2x；④f(x)?sinx．则满足关系式f?()?f()?f()?f?()的函数的序号是

A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④

12321232第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

1x2?y2?1的离心率等于 . （10）??1xdx? . （9）椭圆4（11）在锐角VABC中,a?3，b?4，SVABC?33，则角C?__.

（12）当圆x+y=4的圆心到直线y?kx?1的距离最大时，k? ． （13）已知数列?an?满足a1?a2?1，an?2??22?2an,n为偶数，则a5?a6? ； 前2n项和S2n? ．

?an?1,n为奇数,

（14）如图所示，点A,B是圆O上的两点，?AOB?120?，点D是圆周上异于A，B的任意一点，线段OD与线段AB交

uuuruuruuuruuuruuruuur于点C.若OC?mOA?nOB，则m?n? ；若OD??OA??OB，则???的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）已知f(x)?cos2x?4sinx．（I）求f???π?（II）求f(x)的最大值以及取得最大值时x?的值；

4??的值．

（16）（本小题共13分）为了改善空气质量，某市规定，从2014年3月1日起，对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行碳排放检 测，记录如下：（单位：g/km）

80 110 120 140 150 甲 100 120 120 100 160 乙 （I）根据表中的值，比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性（写出判断过程）；

（II）现从被检测的甲、乙品牌汽车中随机抽取2辆车，用?表示抽出的二氧化碳排放量超过130g/km的汽车数量，求?的分布列．注：方差s?21[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2]，其中x为x1,x2,???,xn的平均数 n（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PDC?底面ABCD，已知?PDC是等腰直角三角形，其中?PDC为直角，底面ABCD是边长为2的正方

??????B?PF3形，（I）求证： （II）若P，E是PC的中点，F是PB上的点．PA∥平面EDB；

求证：PB?平面EFD； （III）求二面角C?PB?D的大小 ．

2（18）（本小题共13分）已知函数f(x)?(x?)，g(x)?lnx.

12 （Ⅰ）求y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

3. 2（19）（本小题共14分）已知点F(1,0)，直线l:x??1，动点P到点F的距离与到直线l的距离相等．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求证：对任意x?(0,??)，都有h(x)? （Ⅱ）直线m:y?3x?b与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值. （20）（本小题共13分）对于各项均为正数的无穷数列{an}，记bn?an?1(n?N?)，给出下列定义：①若存在实数M，an使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；②若数列{an}为有上界数列，且存在n0(n0?N?)，使an0?M成立，

则称数列{an}为“有最大值数列”；③若bn?1?bn?0，则称数列{an}为“比减小数列”.（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{an}中，a1?1n2，an?1?2?an，求证：数列{an}既是有上界数列又是比减小数

?列；（Ⅲ）若数列{an}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：?n?N，bn?1?bn≤0．

理科参考答案

一、选择题 题号 答案 二、填空题

1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C πn2?n?23n(9) (10) 1 (11) (12) 0 (13) 7；2? (14) 1；(1,2]

322πππ2三、解答题（15）解：（?）f(?)?cos(?)?4sin(?)???0?4?(?)???22......................?5分

4242（II）f(x)?cos2x?4sinx?1?2sinx?4sinx?................................4分

2??2(sinx?1)2?3??

因为?sinx?[?1,1]??所以当?sinx?1即x?π...........7分 f(x)取最大值3????8分 ?2kπ,k?Z时，2（16）（本题满分13分）解: （I）甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均数为:(80?110?120?140?150)?120 甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差为:

1s2甲?[(80?120)2?(110?120)2?(120?120)2?(140?120)2?(150?120)2]?600??????????2分

5乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均数为:(100?120?120?100?160)?120 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差为:

15151s2乙?[(100?120)2?(120?120)2?(120?120)2?(100?120)2?(160?120)2]?480??????????4分

5因为样本的甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差比乙品牌的方差大,所以估计乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量比甲品牌稳定. ???????????????????5分 （II）由题意可知，?P(??0)?0327?0,1,2 ??????????????????????1分

1317C?C1C?CC?C77?, ????????7分 ?,P(??1)??,P(??2)?222C1015C1015C10152307 ? P(?) 0 1 2 随机变量?的分布列是?????????????8分

771 151515（17）（本题满分14分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于点O，连结EO,因为ABCD是正方形，所以O为AC中点,又因为E为PC中点，所以EO为△CPA的中位线,所以EO∥PA .??2分

因为EO?平面EDB , PA?平面EDB,所以PA∥平面EDB.?????4分

（Ⅱ）因为侧面PDC⊥底面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,又因为侧面PDC是等腰直角三角形，其中∠PDC为直角 所以PD⊥DC.又PD?平面PCD,所以PD?平面ABCD.又 AD⊥CD， 得DA、DC、DP两两垂直. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz. ???1分 D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1）A (2, 0, 0), C

????????(0, 2, 0).设F（x，y，z），由PB?3PF得： （2，2，?2）=3(x,y,z?2)

224224所以x?y?z?F(,,)???2分 所以，，，

333333.

????????????????????????????224PB?DE?0PB又PB?(2,2,?2)，所以DE?(0,1,1)，DF?(,,)，?DF?0

333 ???4分 所以PB?DE，PB?DF，且DE?DF于D。 所以PB?平面EFD. ???5分

（Ⅲ） 由（Ⅰ）知 PD⊥平面ABCD,又因为AC?平面ABCD,所以AC⊥PD,又AC⊥BD,所以AC⊥平面PBD.

所以平面PBD的法向量是AC?(?2,2,0). ???1分

?????设平面PBC的法向量n?(x,y,z) 由（Ⅱ）知PB?(2,2,?2),PC?(0,2,?2)

??????n?P?0B?2x?2y?2z?0?则有?????所以? 令z=1 得n=(0,1,1) . ???3?C??2y?2z?0?n?P?0分 则

cosAC,n?AC?nAC?n??2?0?2?1?0?122?2?1???4分 2.

?由图可知二面角C-PB-D的平面角为锐角,所以二面角C-PB-D的大小为60. ???5分

(x)?2x?1，???????2分 （18）（本小题共13分）解：（Ⅰ）f?11??????4分 所以切线方程为y?x????????5分 441212x2?x?1(x?1)(2x?1)(x)?2x?1??（Ⅱ）h(x)?(x?)?lnx，（x?0）h?=?????2分

2xx1f?(x)=0，得x????????3分

2x 111 (0,) (,??) 222- 0 + h?(x) 减 极小值 增 h(x) (0)?1，f(0)?由题意k?f? ???????5分 ?1?11312?所以h(x)?hmin(x)?h极小值=????6分 即???8分 （x）?h?1?lnh(x)?1?ln2?1?ln2?1?lne??2?2222??（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）依题意，动点P的轨迹C是以F(1,0)为焦点，l:x??1为准线的抛物线 ---------2分

22 设轨迹C的方程为y?2px(p?0)， 则p?2 所以动点P的轨迹C的方程为 y?4x ----------4分

?y?3(x?1)

2?y?4xp412消元得：3x?10x?3?0，解得D点的横坐标为x?3或x? 由抛物线定义知：FD?x??4或 -------3分

233 （Ⅱ）解法一：因为F(1,0)，故直线FD的方程为y?3(x?1) -----------1分 联立方程组???y?3x?b又由?2 消元得：3y2?4y?4b?0。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

??y?4x4?y?y?12?3?AB?(x1?x2)2?(y1?y2)28??1?3b ---------7分 则??16?163b?0且? -------5分 所以

3?y?y?4b12?3?84因为FABD为平行四边形，所以AB?FD 所以?1?3b?4或， ----------9分

33353解得b??或，代入??0成立。----------10分

412（Ⅱ）解法二：因为F(1,0)，故直线FD的方程为y?3(x?1)-----------1分

?y?3(x?1)12312)-------3分 联立方程组?消元得：3x?10x?3?0，解得x?3或x? 故点D(3,23)或D(,?2333?y?4x?y?3x?b 当D(3,23)时，设A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程组?消元得：3x2?(23b?4)x?b2?0（*） 2?y?4xb223b?4根据韦达定理有x1?x2??①， x1?x2?② -----------5分

33又因为四边形是平行四边形，所以FA?FD?FB， 将坐标代入有x2?x1?2 ③ -----------6分

?3b?5?3b?153?3b?1?3b?5b2代入①有x1?，x2? 代入②有 整理得b??-----------8分 ??12333331233)时，同理可解得b?此时（*）的判别式??0,符合题意----------9分 当D(,? ---------10分

43311n1/?（20）（本题满分13分）解：（Ⅰ）an?，bn?nn?1n(n?1)

n?1n11??0且显然an??1，且存在n?1,a1?1， bn?1?bn??(n?1)(n?2)n(n?2)(n?1)1所以数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列。???3分

n（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2?an?an?1?2，显然2?a1?2，假设n=k时命题成立，即2?ak?2

当n=k+1时，ak?1?2?ak?2?2?2 ak?1?2?ak?2?2?2

所以，当n=k+1时，命题成立，即2?an?2；

下面证明an?1?an即an?1?an222222因为，所以a?a2?a?2a?a?a?2?a??(a?2)(a?1)n?1n?0，nnnnnn。n?1。

。

由an?2?2?an?122an，?1?an?2?2?an?1??，an?1?an?2?an，两式相除得：??a?， 2?an?n?1??an?2?an?22?an?1an?1???；下面证明 ?0即??a?a2?aan?1nn，?n?1?22?an?2?an?2?an?2?an?2an?2an?1,?1????1?所以a，?a?aaan?1?n?1??n?1?an?1n?1n2即需证明(2?an?1)an?(2?an)an?1，即需证明2an?2an?1，而2an?2an?1已证明成立，

?an?2?an?22?an?1an?1?????所以，即bn?1?bnbn?1?bn?0?a?， an?12?aann?n?1?所以，数列{an}既是比减少数列又是有上界数列；???6分

（Ⅲ）用反证法，假设对于?n?N?，bn?1?bn，即

an?2aa?n?1???2?t，因为无穷数列{an}各项为正且an?1ana1单调递增，所以t?1。

anaaa?n?n?1???2?tn?1，所以an?a1tn?1。当n?lnM?lna1?1，时，a1an?1an?2a1lntan?M，所以无穷数列{an}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列{an}，?n?N?，

bn?1?bn≤0．??4分

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